Đề thi thử đại học lần thứ 2 môn: Toán

TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
NGUYÊN TẤT THÀNH 
(Đề có 01 trang) 
 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ 2 NĂM 2014 
 Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể giao đề. 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 
Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số x 2y
x 1


. (1) 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 
b) Tìm m để đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm A, B tạo thành tam 
giác OAB thỏa mãn 111 
OBOA
 với O là gốc tọa độ. 
Câu 2. (1 điểm). Giải phương trình:  3 3x x x x2 2 sin cos cos 2 sin x cos2 2 2 2 4
   
   
   

    
Câu 3. (1 điểm). Giải phương trình: 32 33x 5 x 1 8x 5 0     . 
Câu 4. (1 điểm). Tính tích phân: 
2
0
cos 2xI sin x sin x dx
1 3cos x

 
 
 
 
 . 
Câu 5. (1 điểm). Cho hình trụ có trục OO’ bằng bán kính đáy và bằng a. Gọi A là điểm thuộc 
đường tròn tâm O, A’ là điểm thuộc đường tròn tâm O’ sao cho AA’ = 2a. Tính thể tích của tứ 
diện OAA’O’. 
Câu 6. (1 điểm). Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
thức: .S x y y z z x      
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm). Thí sinh chỉ làm 1 trong 2 phần A hoặc B. 
A. Theo chương trình chuẩn. 
Câu 7a. (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh 
AB: 2x + y – 1 = 0, phương trình cạnh AC: 3x + 4y + 6 = 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam 
giác ABC biết M(1; -3) nằm trên cạnh BC thỏa mãn: 3MB = 2 MC . 
Câu 8a. (1 điểm). Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm M(3; 1; 1), N(4; 8; -3), P(2, 9, -7) và mặt 
phẳng (Q): x + 2y – z – 6 = 0. Tìm trên (Q) điểm A sao cho AM AN AP 
  
 nhỏ nhất. 
Câu 9.a (1 điểm). Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 2 2(z i) (z i) 5z 5 0     
B. Theo chương trình nâng cao. 
Câu 7.b. (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):    2 2x - 1 + y - 2 = 4 và 
điểm N(2; 1). Tìm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0 điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp 
tuyến MA, MB đến (C) (với A, B là 2 tiếp điểm) và đường thẳng AB đi qua N. 
Câu 8b. (1 điểm). Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; 3; 0), B(0; 2 ; 0) và đường 
thẳng d có phương trình: 
x t
y 0
z 2 t







 
. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC có 
chu vi nhỏ nhất. 
Câu 9b. (1 điểm). Giải hệ phương trình: 
 2 25 5
2y x y x 1
log x 3y 1 log y 2x 4y 1
2 2 2 

       
 
----------------------------Hết-------------------------- 
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
64
2
-2
-4
5
1
O 1 x
y
2
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LẦN 2 NĂM 2014 
Câu Nội dung Điểm 
1.a a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
1
2



x
xy . 1 điểm 
Tập xác định :  \ 1 
Giới hạn và tiệm cận: 
 lim 1
 

x
y l im 1
 

x
y 
 Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 
1
lim

 
x
y 
1
lim

 
x
y 
 Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 
0,25đ 
 Chiều biến thiên 
 2
1'
( 1)


y
x
 >0 với ( ;1) (1; )x     . 
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ;1) và (1; ) 
 Cực trị : Hàm số không có cực trị 
0,25đ 
 Bảng biến thiên 
 x - 1 + 
 y’ + + 
 y + 
 1 
 1 
 -  
0,25đ 
 Đồ thị : 
 Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (2 ; 0) 
 Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0 ; 2) 
 Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ; 1) là tâm đối xứng 
0,25đ 
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
1.b b/ Tìm m để đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm A, B 
tạo thành tam giác OAB thỏa mãn 111 
OBOA
 với O là gốc tọa độ. 
1 điểm 
* Xét phương trình hoành độ: 








(*) .02
1
1
2
2 mmxx
x
mx
x
x 
Phương trình (*) có 2m 4m 8 0 m      suy ra (*) có hai nghiệm phân biệt 
khác 1 với mọi m. Vậy d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B với 
mọi m. 
0,25đ 
* Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) với x1, x2 là hai nghiệm của (*) 
 y1 = -x1 + m; y2 = -x2 + m. 
Ta có: 
.42m 
42422222
2
2
1
2
1
2
1
2
1


m
mmmmxxmmxxOA
Tương tự, 422  mmOB 
0,25đ 
* Từ 111 
OBOA
, ta có: 2421
42
2 2
2


mm
mm
 20  mm 
Vì O, A, B tạo thành tam giác nên giá trị thoả mãn là m = 2 
0,5đ 
2 Giải phương trình: 
  3 3x x x x2 2 sin cos cos 2 sin x cos
2 2 2 2 4
         
   
 (1) 
1 điểm 
* Phương trình (1) tương đương với: 
x x x x x x x 2 x x2 2 sin cos 1 sin cos cos 2 1 sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
                
      
0,25đ 
0
2
cos
2
sin1
2
cos
2
sin2
2
cos2
2
cos
2
sin 2 




 




 
xxxxxxx 
01
2
cos
2
sin1
2
cos2
2
cos
2
sin 




 




 




 
xxxxx 
0,25đ 


















 k
kx
kx
x
xx
;
4
3
4
2
2
2
1
2
cos
2
cos
2
sin




0,5đ 
3 
Giải phương trình: 
 32 33x 5 x 1 8x 5 0     . 
1 điểm 
* Phương trình tương đương với: 
33 2 3 3
33 3 3
x 3x 3x 1 5x 5 x 1 5 x 1
(x 1) 5(x 1) x 1 5 x 1
        
       
0,25đ 
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
* Đặt vxux  3 3 1;1 , phương trình trở thành: 
  3 3 2 2u 5u v 5v (u v) u v uv 5 0 u v           
 (do u2 + v2 + uv + 5 > 0 với mọi u, v) 
0,25đ 
* 1003311 23 3  xxxxxx 0,25đ 
* Phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = -1. 
0,25đ 
4 
Tính tích phân:  







2
0 cos31
2cossinsin

dx
x
xxxI . 
1 điểm 
* 21
2
0
2
0
2
cos31
2cossinsin IIdx
x
xxxdxI 

 

0,25đ 
* 
40
22sin4
1
2
1
2
2cos12
0
1







 

  xxdx
xI 
0,25đ 
*  

2
0
2 cos31
2cossin

dx
x
xxI 
Đặt xdxuduxuux sin32cos31cos31 2  
1
2
;20  uxux  
 
405
118
1
2
7
3
4
5
2
27
2742
27
2 35
2
1
24
2 




   uuuduuuI 
* Vậy 
405
118
4

I 
0,25đ 
0,25đ 
5 
Cho hình trụ có trục OO’ bằng bán kính đáy và bằng a. Gọi A là điểm thuộc 
đường tròn tâm O, A’ là điểm thuộc đường tròn tâm O’ sao cho AA’ = 2a. Tính 
thể tích tứ diện OAA’O’. 
1 điểm 
* Dựng lăng trụ OAB.O’B’A’ 
Ta có OO'A 'A OAB.O'B'A '
1V V
3
 . 
* Tam giác OAB cân có OA = OB = a, AB = 3a 
4
3
2
.3
2
1 2aaadtOAB  
* 
3
OAB.O'B'A'
a 3V
4
 
* 
3
OAO'A'
a 3V
12
 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
O 
O’ 
A 
A’ 
B’ 
B 
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
6 
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
thức 
 .xzzyyxS  
1 điểm 
* Ta có 




 


3
4
4
3
2
3
4
.
2
3
3
4)(
2
3 yx
yx
yxyx 
* Tương tự: 




 
3
4
4
3 zyzy ; 




 
3
4
4
3 xzxz 
*   324222
4
3.  zyxxzzyyxS 
 Có dấu “=” khi 
3
2
 zyx . 
* Vậy maxS = 32 , đạt được khi 
3
2
 zyx 
0,5đ 
0,25đ 
0,25đ 
7a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh 
AB: 2x + y – 1 = 0, phương trình cạnh AC: 3x + 4y + 6 = 0. Tìm tọa độ trọng 
tâm G của tam giác ABC biết M(1; -3) nằm trên cạnh BC thỏa mãn: 
3MB = 2 MC . 
1 điểm 
* Tọa độ A là nghiệm của hệ:  
2x+y - 1=0 x = 2
 hay A 2; -3
3x+4y+6=0 y = -3
 
 
 
* Gọi   3c 6B b;1 2b ,C c;
4
    
 
=>   3c 6MB b 1;4 2b ,MC c 1;
4
      
 
 
* Do M nằm trên cạnh BC và 3MB = 2 MC nên ta có : 3MB 2MC 
 
 hay 
   
 
3 b 1 2 c 1
3b 2c 5 b 3
3c 6 4b c 10 c 23 4 2b 2
4
   
   
              
 
* Vậy      A 2; -3 ; B 3; -5 ; C -2; 0 nên tam giác ABC có trọng tâm 8G 1; -
3
 
 
 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
8a Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm M(3; 1; 1), N(4; 8; -3), P(2, 9, -7) và mặt 
phẳng (Q): x + 2y – z – 6 = 0. Tìm trên (Q) điểm A sao cho AM AN AP 
  
 nhỏ 
nhất. 
1 điểm 
* Tam giác MNP có trọng tâm G(3; 6; -3) 
 AM AN AP 3 AG  
   
* AM AN AP 
  
 nhỏ nhất khi AG

nhỏ nhất => A là hình chiếu vuông góc của 
G trên (Q). 
* Đường thẳng d qua G, vuông góc với (Q) có phương trình: 
0,25đ 
0,25đ 
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com








tz
ty
tx
3
26
3
* Đường thẳng d cắt (Q) tại A, tọa độ A là nghiệm của hệ: 
 )1;2;1(
062
3
26
3












A
zyx
tz
ty
tx
0,25đ 
0,25đ 
9a Giải phương trình sau trên tập số phức: 
 055)()( 222  ziziz 
1 điểm 
* Phương trình tương đương với: 














2
51
01
0)1(5)1(
2
2
222
z
iz
z
z
zz
0,25đ 
0,25đ 
0,5đ 
7b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):    2 2x - 1 + y - 2 = 4 và điểm 
N(2; 1). Tìm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0 điểm M sao cho từ M kẻ được 
hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) (với A, B là 2 tiếp điểm) và đường thẳng AB 
đi qua N. 
1 điểm 
Đường tròn (C) có tâm I(1; 2); bán kính R = 2 
Gọi  M t; -2 - t d 
Nếu T(x; y) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì 
 T C
MT.IT 0



  
0,25đ 
   MT x t; y 2 t , IT x 1; y 2     
 
Do đó ta có hệ: 
   
       
2 2x - 1 + y - 2 = 4 (1)
x t x 1 y 2 y 2 t 0 (2)


      
0,25đ 
Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được    t 1 x t 4 y t 5 0       (*) 
Tọa độ các tiếp điểm kẻ từ M đến (C) thỏa mãn (*) nên phương trình đường 
thẳng AB là    t 1 x t 4 y t 5 0       
0,25đ 
Vì AB đi qua N(2; 1) nên     1t 1 2 t 4 1 t 5 0 t
2
         
Vậy 1 5M ;
2 2
  
 
0,25đ 
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
8b Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; 3; 0), B(0; 2 ; 0) và đường thẳng 
d có phương trình: 
x t
y 0
z 2 t







 
. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác 
ABC có chu vi nhỏ nhất. 
1 điểm 
Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA + CB nhỏ nhất 
Gọi  C t; 0; 2 - t d . Ta có: 
     
   
2 2 22 2
2 22 2
CA t 2 3 2 t 2 t 2 3
CB t 2 2 t 2 t 1 2
       
      
Đặt        u 2 t 2 ;3 , v 2 1 t ;2 u v 2; 5       
   
Áp dụng t/chất u + v u v 
   
, dấu “=” xảy ra khi u

 cùng hướng v

 ta có 
CA CB u + v u v 2 25 3 3      
   
dấu “=” xảy ra khi  
 
2 t 2 3 7t
2 52 1 t

  

Khi đó 
7 3C ; 0; 
5 5
 
 
 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
9b 
Giải hệ phương trình: 
 2 25 5
2y x y x 1 (1)
log x 3y 1 log y 2x 4y 1 (2)
2 2 2 

       
 
1 điểm 
Đk: y > 0 
y x x y x y x y
x y
1(1) 1 1 0 1 x y2 2.2 2.2 22
   
          
0,25đ 
Thay vào (2) được: 
 
   2
2 2
5 5
5
1 2 x 1 1 3
x
 log x 3x 1 log x 2x 4x 1
log x 3      
 
      
  
0,25đ 
Do 5
1 1x 2 x 0 nên 1 x 0
x x
log x 3        
 
  . 
 Đẳng thức xảy ra khi x = 1 
  22 x 1 1 1 x     . Đẳng thức xảy ra khi x = 1 
0,25đ 
Phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 1 
Vậy hệ có nghiệm (1; 1) 
0,25đ 
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com