Đề thi olympic toán lớp 7 năm học : 2013- 2014

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH CAO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7
Năm học : 2013- 2014
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1(5điểm) 
a, Chứng minh rằng : 
Nếu 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x ) 
Thì 
b, Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 30; 120; 16 
Câu 2(4điểm ). Cho f(x) = ax3 + 4x( x2 – 1 ) + 8
	g(x) = x3 -4x(bx + 1 ) + c -3 
Trong đó a , b , c là hằng. Xác định a, b, c để f(x) = g(x) .
Câu 3 (2 điểm). Chứng minh rằng đa thức :
f(x) = -4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 
không có nghiệm nguyên .
Câu 4 (2 điểm). Tìm GTNN của biểu thức sau : 

khi x thayđổi .
Câu 5 (7 điểm). Cho tam giác ABC cântại A , có. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C saocho vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng :
a, Ba điểm C, A, M thẳnghàng.
b, Tam giác AOB cân.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC

Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1 
(5 điểm) 
1. a) 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x )
=>
=>
Biếnđổi : (1)
 (2) 
Từ (1) và (2) =>đpcm .


0,75 đ



1,25đ

0,5đ

b) Gọi 2 số đó là a , b . Ta có :
30( a +b ) = 120( a –b ) = 16ab
Từ điều kiện : 30( a +b ) = 120( a –b ) , tìm được
Từ điều kiện : 120( a –b ) = 16ab , tìm được
Từ đó tìm được : a = 5 ; b = 3 .

0,5 đ

0,5 đ

0,5đ
1 đ
Câu 2 
(4 điểm)
Biến đổi : 
f(x) = ( a + 4 )x3 – 4x + 8
g(x) = x3 – 4bx2 – 4x + c – 3 
f(x) = g(x) 


Kếtluận

0,75đ
0,75đ

1,25 đ


0,75 đ


0,5 đ
Câu 3 
(2 điểm)
Nếu đa thứcf(x) = -4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 có nghiệm thì nghiệm đó là ước của -1 .
Mặt khác Ư(-1) = {} 
Ta có : f(-1) = -11 0	
 F(1) = -3 
Vậy đa thức đã cho không có nghiệm nguyên .
0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
Câu 4 
(2 điểm)
Có ≥ 
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra (x – 2006 )( 2007 – x ) ≥ 0
 2006 
Vậy Amin = 1 2006 

0,75đ

0,75đ
0,5đ
Câu 5 
(7 điểm)
- Vẽ hình đúng








1đ

a, rABC cân tại A , 
=>
XétrBOC có

=>rBOC = rMOC ( c.g.c ) .
=>
Mà nên hai tia CM và CA trùng nhau
Do đó 3 điểm C , O ,M thẳng hàng

0,5 đ

0,75đ

0,75

0,5đ
0,5đ

b,rCBM có CM = CB 
=>rCBM cân tại C ; 
=>

VậyrBAM cântại B 
=> BA = BM = BO
=>rAOB cân tại B .

0,75đ

1đ

0,75đ

0,5đ