Đề thi olympic toán 8 Năm Học : 2013 - 2014 Trường Thcs Thanh Cao

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH CAO
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8
Năm học : 2013 - 2014
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)


Bài 1: (3.5đ) Tìm x biết:
a) 
b) 
c) 

Bài 2: (3đ)Xác định đa thức f(x) thoả mãn khi chia cho x-1 thì dư 4; khi chia cho x+2 thi dư 1; khi chia cho (x-1)(x+2) thì được thương là 5x2 và còn dư.
Bài 3: (3.5)cho x,y,z đôi một khác nhau và 
Tính giá trị của biểu thức A = 
Bài 4: (3đ)Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
( y – 2 ) x2 + (y2 – 6y + 8) x = y2 – 5y + 62
 Bài 5: (4đ)Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm
Chứng minh tam giác AB’C’ đồng dạng với tam giác ABC.
Tính tổng 
AI là phân giác của góc BAC ; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB, chứng minh rằng : AN.BI.CM= BN.IC.AM
Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất ?
Bài 6 (3đ) Cho x,y,z là các số dương thoả mãn : 
Chứng minh rằng : .
---------------










Hướng dẫn chấm :

Bài 1 (3.5đ) T ìm x biết:
a) 
Đúng với x = 7; x = -3 	(1 đ)
b) Tính đúng x = 2014	(1 đ)
c) Biến đổi thành phương trình tích
(2x – 23) (2x - 22) = 0	(1 đ)
Tính được : x = 3 ; x = 2 	(0.5 đ)
B ài 2(3đ) : Từ điều kiện f(x) khi chia cho (x-1) (x-2) còn dư 
ta thấy bậc của đa thức dư không vượt quá 1. Vậy
f(x) = 5x2 (x-1) (x+2) + (ax+b)	(1đ)
Lần lượt cho x các giá trị riêng x = 1; x = - 2 ta được
f(1) = a + b = 4; f(-2) = -2a + b = 1 	a=1; b= 3	(1đ)
Vậy f(x) = 5x2 (x2 + x – 2) + x + 3 = 5x4 + 5x3 – 10x2 +x + 3	(1đ)

Bài 3 (3.5 đ)
Từ 	(0,5đ)
(*) 	(0,5đ)
thêm vào 2 vế của (*)cùng một lượng x2 + yz ta có:
x2 + 2yz = x2 + yz – xy – xz = (x-y) (x - z) 	(0,5đ)
Tương tự ta có 	y2 + 2xz = (y-x) (y-z) 	(0,5đ)
	z2 + 2xy = (z-x) (z-y)	(0,5đ)
Từ đó tính được A = 1	(1đ)

Bài 4 (3đ) :
Ta có : ( y – 2 ) x2 + (y2 – 6y + 8) x = y2 – 5y + 62



Nhận thấy (y-2) + (x-1) = x+y-3, vì thế ta tách 56 thành
 tích của 3 số nguyên sao cho tổng hai số đầu bằng số còn lại.
56 = 1.7.8= 7.1.8 = (-8).1.(-7) = 1.(-8)(-7)= (-8).7.(-1)= 7.(-8)(-1)
(x ;y) = (2 ;9) ; (8 ;3) ; (-7 ;3) ; (2 ;-6) ; (-7; 9) ; (8 ;-6)

Bài 5 (4đ)
a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng 
theo trường hợp đồng dạng thứ 2	(1đ)
b) Tính theo tỉ số diện tích của các tam giác
==1	(1đ)
c) Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam giác ABC; AIB; AIC

Từ đó : 
	(1đ)

Vẽ Cx CC’
- Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC; AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có : BDBC+CD
Tam giác BAD vuông tại A nên: AB2 + AD2 = BD2.
 AB2 + AD2 (BC+CD)2
	AB2 + 4CC’2 (BC +AC)2
4CC’2 (BC +AC)2 – AB2
Tương tự ta có:
	4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
	4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
Chứng minh được 4(AA’2 +BB’2+CC’2) (AB + BC + AC)2

Đẳng thức xảy ra BC=AC=AB ABC đều. 	(1đ)
( Học sinh có thể giải cách khác. ).

Bài 6: (3 đ)

- Chứng minh được (x + y + z)2 	(1.5 đ)
- Áp dụng với :

()2 
	(1.5đ)
---------------------