Đề thi olympic cấp THCS học 2012 – 2013 Môn Thi: Toán 8

 UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN
PHềNG GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC







ĐỀ THI OLYMPIC CẤP THCS 
HỌC 2012 – 2013
Mụn thi: Toỏn 8
Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)



Cõu 1 ( 4 điểm) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử 
 a ) A = x2 – x – 6 	
 b) B = 
Cõu 2 ( 5 điểm) 
 Giải cỏc phương trỡnh sau :
x3 + x2 – 4x – 4 = 0
 b) 
Cõu 3 (5điểm)
 Biết a + b + c = 0 Tớnh : B = 

Chứng minh bất đẳng thức : , với a, b là cỏc số dương
 Áp dụng tỡm giỏ trị nhỏ nhất của M = với x, y dương và x + y = 2
Cõu 4 : (5 điểm)
 	Cho tam giỏc đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một gúc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luụn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh :
a) BD.CE = 
b) DM, EM lần lượt là tia phõn giỏc của cỏc gúc BDE và CED.
c) Chu vi tam giỏc ADE khụng đổi. 
Cõu 5: ( 1 điểm )
Cho hỡnh vuụng ABCD . Dựng phớa trong hỡnh vuụng tam giỏc AFB cõn tại F cú gúc ở đỏy là 150 . Chứng minh CDF là tam giỏc đều.
	
 …..………….. Hết ……………….

Họ tờn thớ sinh ………………………………… số bỏo danh……
Lưu ý : Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm

PHềNG GD – ĐT NGHĨA ĐÀN


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2012 – 2013
MễN THI : TOÁN 8


Cõu 
í 
 Đỏp ỏn 
 Điểm





 1

a
 Ta cú : A = x2 – x – 6 = x2 – 4 – x – 2 
 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)	
1đ


 = (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3)
1đ




b
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
 	= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
 	= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
 	= (x2 + 7x + 11)2 - 52
 	= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
 	= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)

0,5 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ








 2


a
x3 + x2 – 4x – 4 = 0 
1,0đ




1,0đ


Vậy phương trỡnh đó cho cú tập nghiệm là S = {-1, -2; 2}
0,5đ





 b




 

 



1,0đ


0,5đ
0,5đ

0,5đ










3


a
Từ a + b + c = 0 ị a + b = - c ị a2 + b2 –c2 = - 2ab
0,5 đ


 Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac
0,5đ


 B = 
1 đ





b
* Ta cú (1) 
0,5đ


 đỳng với mọi a, b dương
Suy ra BĐT (1) đỳng
 Dấu “ =” xẩy ra khi a = b
0,5đ


0,5đ



*Áp dụng:
Ta cú M = = 


0,5đ


 Mặt khỏc 
 ( 1)

0,25đ


Và hay (2)
0,25đ


Từ (1) và (2) M 8.1 + 5.1 = 13 hay M 13
0,25 đ


+ M = 13 khi (1) và (2) xẩy ra dấu “ = ” a = b = 1
 Vậy GTNN của M = 13 khi a = b = 1

0,25đ




4

 Hỡnh vẽ 	










a
 Trong tam giỏc BDM ta cú : 
 Vỡ nờn ta cú : 
 Suy ra: 


0,5đ


Kết hợp với 
Suy ra: ( g – g) ( 1) 

0,5đ


Suy ra , từ đú BD.CE = BM.CM
 Vỡ BM = CM = , nờn ta cú BD.CE = 
0,5đ

0,5đ






b
Từ (1) suy ra mà BM = CM nờn ta cú :
 

0,5đ


Kết hợp với suy ra ( c –g – c)	
0,5đ


Từ đú suy ra , do đú DM là tia phõn giỏc của gúc BDE
0,5đ


 Chứng minh tương tự ta cú EM là tia phõn giỏc của gúc CED 	
0,5đ



Gọi H, I, K là hỡnh chiếu của M trờn AB, DE, AC
Ta chứng minh được: DH = DI, EI = EK 	






0,25đ



0,25đ


Chu vi tam giỏc ADE = AD +DE + EA = AD +( DI + IE) + AE
= ( AD + DH ) + ( AE + EK) = AH + AK = 2AH ( vỡ AH = AK)

0,25


Vậy chu vi tam giỏc ADE bằng 2AH khụng đổi
0,25
Cõu 5 

âu 6: ( 2,5 đ’)	 	

K
F
A
B
C
D

	








Lấy điểm K ở trong hỡnh vuụng sao cho tam giỏc AKD cõn tai K cú gúc KDA bằng150
Suy ra : (1) .
Ta cú (theo cỏch vẽ) nờn AK = AF (2).
Từ (1) và (2) suy ra : đều .
Khi đú ( c.g.c) AD = DF = DC ( 3)
Mặt khỏc : ( c.g.c) DF = CF ( 4 ) 
Từ (3) và (4) suy ra : đều.
Lưu ý: Nếu HS chứng minh được tam giỏc DCF cõn cho 0,5 đ















0,25đ


0,25đ

0,25đ

0,25đ

Lưu ý : Học sinh làm cỏch khỏc mà đỳng vẫn cho điểm tối đa