Đề thi HSG cấp trường năm học 2018-2019 môn Toán Lớp 11 - Trường THPT Nguyễn Du (Có lời giải)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG 
 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU NĂM HỌC 2018 – 2019 
  MÔN TOÁN LỚP 11 
 Thời gian làm bài 180 phút 
Bài 1 : (6đ) Giải các phương trình sau : 
 3 
 1) tg x tgx 1 
 4 
 cos3 x sin 3 x
 2) 2cos 2x 
 sin x cos x
 Bài 2 : (3đ) Chứng minh rằng : a4 b 4 c 4 abc a b c 
 Bài 3 : (3đ) Trong mp Oxy , cho điểm K(3;4) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 
.Viết phương trình đường tròn (C’) tâm K cắt (C) tại hai điểm A , B sao cho AB là cạnh hình vuông 
có 4 đỉnh thuộc (C) 
 2 2
 xy x y x 2 y (1)
 Bài 4 : (4đ) Giải hệ phương trình : 
 x2 y y x 1 2 x 2 y (2)
 Bài 5 : (4đ) Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó 
 có 1 đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. 
 Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận 
 điểm dưới 1. 
 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG – KHỐI 11 – MÔN TOÁN – NH 2018-2019 
Bài 1 : 
 3 2 
 3 tgx 1 tgx 1 
 tg x tgx 1 tgx 1 tgx 1 3 1 0
 4 tgx 1 tgx 1 
1) 
 tgx 1 tgx 1
 3 2 
 tg x 4tg x 5tgx 0 tgx 0
 sin x 0 
2) ĐK: k2 x k2 
 cos x 0 2
 PT cosx sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x 0
 cos x sin x 0 
 1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x
 sin x cos x 1; sin x cos x 1 2 cos x sin x sinx cos x 2
Mà 1 3 
 1 sin x cos x 1 sin 2x 
 2 2
Vậy PT có nghiệm duy nhất x k2 
 4
Bài 2 : Ta có : 
 a4 b 4 2a 2 b 2
 b4 c 4 2b 2 c 2
 4 4 2 2
 a c 2a c
 2 a444 b c a 2222 b b c a 2222 b a c b 2222 c a c 2 ab 2 c a 2 bc abc 2 2abc a b c 
Bài 4 : ĐK: x 1, y 0 
 (1) yxy( ) ( xyxy )2 2 ( xyy )( 1 xy ) 0 
 TH 1. x y 0 (loại do x 1, y 0 ) 
 TH 2. 2y 1 x 0 x 2 y 1 thế vào pt (2) ta được 
 (2y 1)2 y y 2 y 4 y 22 y ( y 1)2 y 2( y 1) 
 y 1 0 y 1
 . Do y 0 y 2 . Vậy hệ có nghiệm (x ; y ) (5;2) 
 2y 2 y 2
 - Chú ý. Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể giải pt 
 (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x). 
 Bài 5 : Ta có xác suất để học sinh trả lời câu đúng là 1 và xác suất trả lời câu sai là 3 . 
 4 4
 - Gọi x là số câu trả lời đúng, khi đó số câu trả lời sai là 10 x 
 - Số điểm học sinh này đạt được là : 4x 2(10 x ) 6 x 20 
 21
 - Nên học sinh này nhận điểm dưới 1 khi 6x 20 1 x 
 6
 - Mà x nguyên nên x nhận các giá trị: 0,1, 2, 3 . 
 - Gọi Ai ( i 0,1, 2, 3 ) là biến cố: “Học sinh trả lời đúng i câu” 
 - A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1” 
 - Suy ra: AAAAA 0  1  2  3 và PAPAPAPAPA()()()()() 0 1 2 3 
 i10 i 3 i10 i
 i 1 3 i 1 3 
 - Mà: PAC().i 10 nên PAC( )  10 . 0,7759 . 
 4 4 i 0 4 4