Đề thi HSG cấp trường năm học 2018-2019 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Nguyễn Du (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG 
 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU NĂM HỌC 2018 – 2019 
  MÔN TOÁN LỚP 10 
 Thời gian làm bài 180 phút 
 1 1 
Câu 1: a) (3đ) Giải phương trình: x2 x 
 2 2 3 16 0
 x x 
 b) (3đ) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của phương trình: 
 x2 2 m 1 x 4 m 3 0 là nhỏ nhất. 
Câu 2: (3đ) Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa: 
 3 2x x 3x 11
y 
 1 x2 3x 2 2x 5
Câu 3: (3đ) Cho bốn số nguyên dương bất kì a,,, b c d . Chứng minh rằng số 
 a b c d
 A không phải là một số nguyên. 
 abcabdbcdacd 
Câu 4: (3đ) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm  tam giác  ABC, lấy D 
đối xứng với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD.Lấy J thỏa 2CJ 2AB JM . Chứng minh 
rằng IJ song song với AB. 
Câu 5: (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm ABC 0;2; 0;4; 6;1 
 a) Chứng minh tam giác ABC cân. 
 b) Tính diện tích tam giác ABC. 
 c) Xác định tọa độ D Sao cho tứ giác ABDG là hình bình hành. Biết G là trọng tâm của tam 
giác ABC. 
Câu 6: (3đ) Cho a, b, c, d> 0 và ab+bc+cd+da=1. Chứng minh rằng: 
 a3 b3 c3 d 3 1
 b c d c d a d a b a b c 3 
 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 10 – NH 2018-2019 
 1 1 Câu 4: 
Câu 1: a) 2 (1) 
 2 x 2 3 x 16 0
 x x 
ĐK: x 0 
 1 1
Đặt t x x2 t 2 2 
 x x2
 t 4
 2 A
(1) 2t 3 t 20 0 5 
 t 
 2
 t 4 x 2 3 G
 x 2 B C
 5 H M
 t 1 I
 2 x 
 2 R
 J
b) x2 2 m 1 x 4 m 3 0 (2) 
 (2) có nghiệm D
 0 4m2 12 m 13 0
 2
 2m 3 4 0,  m 
 F
 x x 2 m 1
 Theo viet: 1 2 
 x x4 m 3
 1 2 
 2 2 2 2
 A x1 x 2 4 m 4 m 7 2 m 1 6 6
 1
 minA 6 m . 
 2
         
 3 2x x 3x 11 . 2CJ JM 2AB 2AJ 2AC AM AJ 2AB 
Câu 2: y       5  
 2 2 3AJ 2AB 2AC AM 5AM AJ AM 
 1 x 3x 2x 5 3
y có nghĩa MJ
 Mà M là trung điểmcủa AD nên 2 . 
 3 2x 0 JD
 MI
 3x 11 0 Gọi K là trung điểm của CD, ta có 2. Vậy ta 
 IK
 2
 1 x 0 MJ MI
 có: IJ // CD // AB . 
 1 x2 3x 2 2x 5 0 JD IK
 3
 x 
 2
 11
 x
 3 
 x 1
 1 x2 0
 2
 3x 2x 5 0
 1 x 1. 
Câu 3: Vì a,,, b c d Z nên a b c d
 A 
 abcabdbcdacd 
 a b c d
 abcdabcdabcdabcd 
 1 
 x, y , z 0
 x x z
Mà x . Thật vậy, 
 1 y y z
 y
 x
 1 x y 
 y
 xz yz xy xz xy yz
 x y z y x z 
 x x z
 y y z
 a a d
Nên 
 a b c a b c d
 b b c
 a b d a b c d
 c a c
 b c d a b c d
 d d b
 a c d a b c d
Suy ra A 2 
Do đó 1 A 2 A không phải là một số nguyên. 
Câu 5: 
 AB 6
Ta có: AC 3 5 
 BC 3 5
Vậy: Tam giác ABC cân tại C. 
Gọi M là trung điểm AB nên M(0;-1). Vì tam giác ABC cân tại C nên CM là đường 
cao đỉnh C của tam giác ABC 
 1 1
Diện tích tam giác ABC là: S AB. CM 6.6 18 (ĐVDT) 
 2 2
Ta có: G=(-2;-1) 
Vì tứ giác ABDG là hình bình hành nên: 
 x x x x
 ADB G xD 2
 y y y y y 7
 ADBDG 
Vậy: D=(-2;-7) 
Câu 6: 
 Cho a, b, c, d> 0 và ab+bc+cd+da=1. Chứng minh rằng: 
 a3 b3 c3 d 3 1
 b c d c d a d a b a b c 3
Chứng minh: 
Theo AM-GM ta có: 
 3
 a a b c d 2 2 
 a 
 b c d 9 3 
 b3 b c d a 2 
 b2  
 c d a 9 3 
 3
 c c d a b 2 2 
 c 
 d a b 9 3 
 a3 b 3 c 3 d 3 2 ab ac ad bc bd cd 
 bcdcdadababc 9 (1) 
 2
 a2 b 2 c 2 d 2 
 3
Theo AM-GM ta có: 
 3 a2 b 2 c 2 d 2 
 ()()()()()()abacad22 22 22222222 bcbd cd 
 2 ab ac ad bc bd cd 
 1 2
 a 2 b 2 c 2 d 2 ab ac ad bc bd cd (2) 
 3 9
Từ (1) và (2) suy ra: 
 a3 b3 c3 d 3 1
 a 2 b2 c 2 d 2 (3) 
 b c d c d a d a b a b c 3
Mặt khác ta có: 
 a2 b 2 b 2 c 2 c 2 d 2 d 2 a 2
 a2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da 1 (4) 
 2 2 2 2
Từ (3) và (4) suy ra: 
 a3 b3 c3 d 3 1
 b c d c d a d a b a b c 3
 1
Dấu “=” xảy ra khi: a b c d . 
 2