Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Bắc Giang năm học 2013 – 2014

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Bắc Giang năm học 2013 – 2014
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc Gia lớp 12 tỉnh Bắc Giang
Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình
Câu 2 (4 điểm)
Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=3.CMR
Câu 3 (4 điểm)
Cho tam giác ABC có . Trên đường thẳng BC lấy điểm D thỏa mãn . Đường tròn (O) bất kì đi qua B,D cắt AB,AD lần lượt tại M,N .Kẻ hai tiếp tuyến AP,AQ với (O),P,Q thuộc (O). Gọi G là giao điểm của BN và DM, gọi I là trung điểm của AG.
a/ CMR: P,Q,G thẳng hàng.
b/ CMR: CI vuông góc với AG.
Câu 4 (4 điểm)
Cho dãy số thỏa mãn
Chứng minh rằng dãy có giới hạn và tìm lim 
Câu 5 (4 điểm)
Tìm cặp các số nguyên (a,b) sao cho là một số nguyên.