Đề thi học sinh giỏi ptth năm học 2000 - 2001 môn thi: Toán

Kachiuxa14 
SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC 2000 - 2001 
Mụn thi : Toỏn 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
ĐỀ CHO BẢNG A VÀ BẢNG B 
Bài 1: 
Cho phương trỡnh: 4 4sin (1 sin )x x m+ − = 
1. Giải phương trỡnh với 1
8
m = 
2. Với những giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh đó cho cú nghiệm 
Bài 2: 
1. Cho , ,a b c là ba cạnh của một tam giỏc, cũn , ,x y z là ba số thoả món: 
0ax by cz+ + = 
Chứng minh rằng: 0xy yz zx+ + ≤ 
2. Cho 0x ≥ . Chứng minh rằng: 2 3log (1 2 ) log (3 ( 2) )x x x+ > + 
Bài 3: 
Cho 1 2; ;...; na a a ( 3)n > là cỏc số thực thoả món: 
2 2
1 1
; 
n n
i i
i i
a n a n
= =
≥ ≥∑ ∑ 
Chứng minh rằng: { }1 2; ;...; 2nmax a a a ≥ . Với 3n ≤ thỡ kết luận cũn đỳng khụng? 
Bài 4: 
Cho hỡnh hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D cú ' 2 8 , AA AB a E= = là trung điểm của cạnh 
AB và M là một điểm trờn cạnh 'DD sao cho 1 . ADDM a F
AC
 
= + 
 
 là một điểm di 
động trờn cạnh 'AA . 
a. Tỡm điểm F trờn cạnh 'AA sao cho CF FM+ cú giỏ trị nhỏ nhất 
b. Với F thoả món điều kiện ở cõu a, hóy tớnh gúc tạo bởi hai mặt phẳng ( , , )D E F 
và mặt phẳng ( , ', ')D B C 
c. Với giả thiết F thoả món điều kiện cõu a và cỏc đường thẳng 'AC và FD 
vuụng gúc với nhau, Tớnh thể tớch của hỡnh hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D 
Bài 5: ( Học sinh bảng B khụng phải làm bài này) 
Tỡm cỏc số nguyờn dương , , ,a b c k thoả món: 
1 (1)
 (2)
c b a
ab bc ca a b c kabc
> > ≥

+ + + + + =
Kachiuxa14 
SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC 2001 - 2002 
Mụn thi : Toỏn 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
ĐỀ CHO BẢNG A VÀ BẢNG B 
Bài 1: 
Cho bất phương trỡnh: 
2 3 ( 1) 2 10 1 0cos x m cos x cosx m+ − + + − > (1) 
1. Giải bất phương trỡnh khi 5m = − 
2. Tỡm m để bất phương trỡnh (1) thoả món với mọi 0;
3
x
pi 
∈   
Bài 2: 
Giải phương trỡnh: 
1log ( ) log ( 2 ) 0x
x
cosx sinx cosx cos x− + + = 
Bài 3: 
Giải phương trỡnh sau với (0;2)x ∈ : 
2
1 2 1 2 1 21 14 4
4
x
x xx x
x
− +
− +  
− = − 
 
Bài 4: 
Biết đa thức 2001 20001 2000 2001( ) ....f x x a x a x a= + + + + cú 2001 nghiệm thực phõn biệt và 
1996 19981996; 1998a a= = . Chứng minh rằng: 1997 1997a > 
Bài 5: 
1. Cho tứ diện OABC cú gúc tam diện đỉnh O vuụng, đường cao OH h= , 
, , OA a OB b OC c= = = . Chứng minh rằng: 
3acotA bcotB ccotC h+ + ≥ 
2. Cú thể chia một đa giỏc lồi đó cho thành một số tứ giỏc khụng lồi được khụng? Hóy 
chứng minh điều khẳng định của mỡnh. 
Chỳ ý: Học sinh thi bảng B khụng phải làm bài 5 .2 
Kachiuxa14 
SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC 2002 - 2003 
Mụn thi : Toỏn 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
ĐỀ CHO BẢNG A 
Bài 1 ( 4 điểm): 
Cho hệ phương trỡnh: log (3 ) log (3 ) 2x yx ay y ax+ = + = 
1. Giải hệ khi a = 2 
2. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để hệ cú ba nghiệm phõn biệt 
Bài 2 ( 4 điểm): 
Cho hàm số 2
1xy
x a
+
=
+
1. Với 1a = chứng minh rằng luụn tỡm được 2 điểm và chỉ cú hai điểm trờn đường cong sao cho 
tiếp tuyến tại đú song song với đường thẳng cú phương trỡnh: 2 2 1 0x y− + = . 
2. Tỡm giỏ trị lớn nhất của a để tập giỏ trị của hàm số đa cho chứa đoạn [0; 1] 
Bài 3: ( 4 điểm): 
1. Giải phương trỡnh: 
0 02 ( 45 ) ( 45 )sin 2 3sin 2 4 0cos x cos x x x− − − − + = 
2. Cho tam giỏc ABC . O là một điểm trong tam giỏc sao cho: 

 
 
OCA OAB OBC α= = = 
Chứng minh rằng: cot cotA cotB cotCα = + + 
Bài 4 ( 2 điểm): 
Với x kpi≠ là gúc cho trước. Tỡm giới hạn: 
2 2
1 1 1( ... )
2 2 2 2 2 2n nn
x x xlim tan tan tan
→+∞
+ + + 
Bài 5 ( 6 điểm): 
Cho tứ diện ABCD cú CD vuụng gúc với ( )ABC , CD CB= , tam giỏc ABC vuụng tại A . Mặt 
phẳng quan C vuụng gúc với DB cắt ,DB DA lần lượt tại ,M I . Gọi T là giao điểm của hai tiếp 
tuyến tại A và C của đường trũn đường kớnh BC trong mặt phẳng ( )ABC . 
1. Chứng minh bốn điểm , , ,C T M I đồng phẳng 
2. Chứng minh IT là tiếp tuyến của mặt cầu đường kớnh CD và mặt cầu đường kớnh CB 
3. Gọi N là trung điểm của AB , K là điểm trờn CD sao cho 1
3
CK CD= . Chứng minh rằng 
khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BK và CN bằng khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AM 
và CN 
Kachiuxa14 
SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC 2003 - 2004 
Mụn thi : Toỏn 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
ĐỀ CHO BẢNG B 
Bài 1 ( 6 điểm ): 
1. Cho đường cong (C ) cú phương trỡnh: 1 s inxy = + với 3;
2 2
x
pi pi 
∈ 
 
. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất 
của hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với (C ) và trục hoành 
2. Cho hàm số: 
22 2
2 2( 1) 3 41 1
x xy m m m
x x
   
= + − +   
+ +   
, với m là tham số. Xỏc định m để hàm 
số chỉ cú một cực trị duy nhất 
Bài 2 ( 5 điểm): 
Giải cỏc phương trỡnh: 
1. 2s inx s inx sin cos 1x x+ + + = 
2. 7 3log log ( 2)x x= + 
Bài 3 ( 5 điểm): 
1. Xỏc định số nghiệm 0;
2
x
pi 
∈   
 của phương trỡnh: sinx cos2 2 x pi+ = 
2. Khụng dựng mỏy tớnh, hóy so sỏnh 2003log 2003 và 2004log 2004 
Bài 4 ( 4 điểm): 
Cho gúc tam diện Oxyz 
1. A là một điểm trờn Oz sao cho OA = 25a ( a > 0). Khoảng cỏch từ A đến Ox và Oy tương 
ứng là 7a và 2a. Tớnh khoảng cỏch từ A đến mp(Oxy), biết gúc xOy = 600. 
2. Cho 
 
 
 0O 60xOy yOz z x= = = . Điểm A ( khỏc O) cố định trờn Oz với OA = d khụng đổi. M, N 
là hai điểm chuyển động trờn Ox và Oy sao cho 1 1 1
OM ON d
+ = 
Chứng minh đường thẳng MN luụn đi qua một điểm cố định 
Kachiuxa14 
SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC 2003 - 2004 
Mụn thi : Toỏn 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
ĐỀ CHO BẢNG A 
Bài 1 ( 6 điểm ): 
1. Cho đường cong (C ) cú phương trỡnh: 1 s inxy = + với 3;
2 2
x
pi pi 
∈ 
 
. Tỡm giỏ trị nhỏ 
nhất của hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với (C ) và trục hoành 
2. Cho hàm số: 
22 2
2 2( 1) 3 41 1
x xy m m m
x x
   
= + − +   
+ +   
, với m là tham số. Xỏc định m để 
hàm số chỉ cú một cực trị duy nhất 
Bài 2 ( 3 điểm): 
Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để hệ phương trỡnh sau cú đỳng hai nghiệm: 
2 2
2
7 6 5 6 12 0
2( 2) ( 4) 0
x x x x x
x a x a a

− + + + + − =

− − + − =
Bài 3 ( 5 điểm): 
1. Xỏc định số nghiệm 0;
2
x
pi 
∈   
 của phương trỡnh: sinx cos2 2 x pi+ = 
2. Cho 1 1 1a b c< + < + < . Chứng minh : log ( ) logc c bc a c−+ < 
Bài 4 ( 4 điểm): 
Cho gúc tam diện Oxyz 
1. A là một điểm trờn Oz sao cho OA = 25a ( a > 0). Khoảng cỏch từ A đến Ox và Oy 
tương ứng là 7a và 2a. Tớnh khoảng cỏch từ A đến mp(Oxy), biết gúc xOy = 600. 
2. Cho 
 
 
 0O 60xOy yOz z x= = = . Điểm A ( khỏc O) cố định trờn Oz với OA = d khụng đổi. 
M, N là hai điểm chuyển động trờn Ox và Oy sao cho 1 1 1
OM ON d
+ = 
Chứng minh đường thẳng MN luụn đi qua một điểm cố định 
Kachiuxa14 
SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC 2004 - 2005 
Mụn thi : Toỏn 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
ĐỀ CHO BẢNG A 
Bài 1 ( 5 điểm) 
Cho hàm số 4 26 5y x x= − + 
1. Khảo sỏt sự biển thiờn và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 
2. Cho điểm M thuộc ( )C cú hoành độ là a . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để tiếp tuyến 
của ( )C tại M cắt ( )C ở hai điểm phõn biệt khỏc M . 
Bài 2 ( 5 điểm): 
1. Tớnh đạo hàm cấp n của hàm số: 22
2 1
2
xy sin x
x x
−
= +
− −
2. Tớnh tớch phõn: 
1
2
0
2x x m dx− +∫ 
Bài 3 ( 4 điểm): 
1. Xỏc định m để phương trỡnh sau cú bốn nghiệm phõn biệt: 
2 2 2 1x x x m− = − − 
2. Xỏc định m để phương trỡnh sau cú ba nghiệm phõn biệt 
2| | 2 2
12
2
4 log ( 2 3) 2 log (2 | | 2) 0x m x xx x x m− − − +− + + − + = 
Bài 4 ( 4 điểm): 
Cho đường trũn 2 2( ) : 10 2 25 0C x y x y+ − − + = 
 và đường trũn 2 21( ) : 4 4 4 0C x y x y+ − + + = 
Hóy viết phương trỡnh cỏc đường thẳng tiếp xỳc với cả hai đường trũn trờn. 
Bài 5 ( 2 điểm): 
Goi , , α β γ là ba gúc tạo bởi đường thẳng d theo thứ tự với ba đường thẳng chứa ba cạnh 
, , BC CA AB của tam giỏc đều ABC . Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 216( . . . . ) 1sin sin sin cos cos cosα β γ α β γ+ = 
Kachiuxa14 
SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC 2004 - 2005 
Mụn thi : Toỏn 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
ĐỀ CHO BẢNG B 
Bài 1 ( 5 điểm) 
Cho hàm số 4 26 5y x x= − + 
1. Khảo sỏt sự biển thiờn và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 
2. Cho điểm M thuộc ( )C cú hoành độ là a . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để tiếp tuyến 
của ( )C tại M cắt ( )C ở hai điểm phõn biệt khỏc M . 
Bài 2 ( 5 điểm): 
1. Tớnh đạo hàm cấp n của hàm số: 22
2 1
2
xy sin x
x x
−
= +
− −
2. Tỡm họ nguyờn hàm của hàm số: 3( ) 3 2
xf x
x x
=
− +
Bài 3 ( 4 điểm): 
1. Xỏc định m để phương trỡnh sau cú bốn nghiệm phõn biệt: 
2 2 2 1x x x m− = − − 
2. Xỏc định m để phương trỡnh sau cú ba nghiệm phõn biệt 
2| | 2 2
12
2
4 log ( 2 3) 2 log (2 | | 2) 0x m x xx x x m− − − +− + + − + = 
Bài 4 ( 4 điểm): 
Cho đường trũn 2 2( ) : 10 2 25 0C x y x y+ − − + = 
 và đường trũn 2 21( ) : 4 4 4 0C x y x y+ − + + = 
Hóy viết phương trỡnh cỏc đường thẳng tiếp xỳc với cả hai đường trũn trờn. 
Bài 5 ( 2 điểm): 
Goi , , α β γ là ba gúc tạo bởi đường thẳng d theo thứ tự với ba đường thẳng chứa ba cạnh 
, , BC CA AB của tam giỏc đều ABC . Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 216( . . . . ) 1sin sin sin cos cos cosα β γ α β γ+ = 
Kachiuxa14 
SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI PTTH NĂM HỌC 2005 - 2006 
Mụn thi : Toỏn 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
ĐỀ CHO BẢNG B 
Bài 1 ( 2 điểm): 
Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số: 
2 2 2
1
x xy
x
+ +
=
+
Bài 2 ( 2 điểm): 
Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để hàm số 
2 2 2
1
x mxy
x
+ +
=
+
 cú cực đại, cực tiểu và khoảng cỏch 
từ hai điểm cực trị đú của đồ thị hàm số đến đường thẳng 2 0x y+ + = bằng nhau. 
Bài 3 ( 2 điểm): 
Giải hệ phương trỡnh: 
2 4 4
3 9 9
4 16 16
log log log 2
log log log 2
log log log 2
x y z
y z x
z x y
+ + =

+ + =
 + + =
Bài 4 ( 2 điểm): 
Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm: 22 3 1 2x mx x m+ − = − 
Bài 5 ( 2 điểm): 
 Chứng minh rằng nếu trong tam giỏc ABC thoả món hệ thức: 
2
2
C
tanA tanB cot+ = thỡ tam giỏc đú cõn 
Bài 6 ( 2 điểm): 
Cho Elớp 
2 2
( ) : 1
9 4
x yE + = và điểm (1;1)I . Hóy lập phương trỡnh đường thẳng ∆ đi qua I và 
cắt ( )E tại hai điểm ,A B sao cho I là trung điểm của AB . 
Bài 7 ( 2 điểm): 
Cho hỡnh lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D cú cạnh bằng 1. Điểm M nằm trờn cạnh 'AA . Tỡm vị 
trớ của điểm M để tam giỏc 'BMD cú diện tớch bộ nhất. Tớnh diện tớch bộ nhất đú. 
Bài 8 ( 2 điểm): 
Viết phương trỡnh đường trũn ( )C cú tõm I nằm trờn đường thẳng d : 1 0x − = và tiếp xỳc 
với hai đường thẳng ,a b cú phương trỡnh lần lượt là: 1 0x y− + = và 1 0x y− − = 
Bài 9 ( 2 điểm): 
Tớnh tớch phõn: 
4
0
dxI
cosx
pi
= ∫ 
Bài 10 ( 2 điểm): 
Cho 0x > , chứng minh rằng: sinx x≤ 
Kachiuxa14 
SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC 2006 - 2007 
Mụn thi : Toỏn 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
Ngày thi: 28.03.2007 
Cõu 1 ( 7 điểm): 
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số: 
2 1
1
x xy
x
+ +
=
+
 (1) 
2. Tỡm k để đường thẳng: (2 ) 1 0k x y− − + = cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phõn biệt 
, A B sao cho cỏ tiếp tuyến với dồ thị hàm số (1) tại A và B song song với nhau 
3. Chứng minh rằng phương trỡnh: 2 21 ( 1) 9x x x x+ + = + − cú đỳng hai nghiệm 
Cõu 2 ( 5 điểm): 
1. Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của 2 100( )x x+ , chứng minh rằng: 
99 100 198 199
0 1 99 100
100 100 100 100
1 1 1 1100 101 .... 199 200 0
2 2 2 2
C C C C       − + − + =       
       
2. Cho tớch phõn 2 , 
2 2n
sin nxI dx n N
a cos x
= ∈
−
∫ . Tỡm a sao cho 2006 2007 2008, , I I I theo thứ tự 
ấy lập thành một cấp số cộng. 
Cõu 3 ( 7 điểm): 
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường trũn : 
2 2( ) : 4 6 3 0C x y x y+ − + − = cú tõm I và đường thẳng : 2 0x by∆ + − = . Chứng minh 
rằng ( )C và ∆ luụn cắt nhau tại hao điểm phõn biệt ,P Q với mọi b . Tỡm b để tam 
giỏc PIQ cú diện tớch lớn nhất. 
2. Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho cỏc điểm (2;0;0), (0;8;0), (0;0;3)A B C và 
N là điểm thoả món: ON OA OB OC= + +
   
. Một mặt phẳng ( )P thay đổi cắt cỏc đoạn 
, , , OA OB OC OD lần lượt tại cỏc điểm 1 1 1 1, , , A B C N . Hóy xỏc định toạ độ điểm 1N 
sao cho: 
1 1 1
2007OA OB OC
OA OB OC
+ + = . 
Cõu 4 ( 1 điểm): 
Tỡm tập hợp cỏc điểm M trong khụng gian cú tổng bỡnh phương cỏc khoảng cỏch đến cỏc 
mặt của một tứ diện đều ABCD cho trước bằng một số dương k khụng đổi. 
Kachiuxa14 
SỞ GD - ĐT THANH HOÁ KỲ THI HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC 2007 - 2008 
Mụn thi : Toỏn 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
Ngày thi: 28.03.2008 
Bài 1 ( 5 điểm): 
Cho hàm số
1
 (C)
1
xy
x
−
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số 
2. Xác định điểm M thuộc đồ thị ( C ) của hàm số sao cho tổng các khoảng cách từ M đến 
các trục toạ độ là số nhỏ nhất 
Bài 2 (4 điểm): 
1. Cho hàm số 21y x x m= + − − Xác định m=? để y≤0 trên tập xác định của nó 
2. Trong mặt phẳng Oxycho hypebol (H) có ph−ơng trình 
2 2
2 2 1
x y
a b
+ = . Biết tâm sai e=2; Hình 
chữ nhật cơ sở của nó cắt Ox; Oy tại A;C và B;D. Đ−ờng tròn nội tiếp hình thoi ABCD có 
bán kính bằng 2 Tìm ph−ơng trình (H) 
Bài 3 (4 điểm) 
1. GiảI ph−ơng trình 2 24 os 4 os2xcos 6sin cos 1 0c x c x x x− − + = 
2. Cho 0a ≥ . Giải và biện luận bất ph−ơng trình sau theo a : 
 + − + + ≥3 4 2 26 9 3 0a x a x x a 
3. Giải hệ ph−ơng trình sau: 
 + =

+ =
3 2
3 9 4
2
2
x y xy
x y xy
Bài 4 (6 điểm) 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập ph−ơng ABCD.A1 B1 C1 D1 
 Biết A1(0;0;0); B1(a;0;0); D1(0;a;0); A (0;0;a). Gọi M; N lần l−ợt trung điểm các 
 cạnh AB; B1C1. 
1. Viết ph−ơng trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đ−ờng thẳng AN; BD1 
2. Tính thể tích tứ diện ANBD1 
3. Tính góc và khoảng cách giữa các đ−ờng thẳng AN và BD1 
Bài 5 (1 điểm) 
Cho ( )
→∞
+ = +2 2 2 n=1,2,3.... Tìm lim
n
n
n n
n
n
a
a b
b