Đề thi học sinh giỏi năm học 2018-2019 môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Nghĩa Đồng (Có đáp án)

 PHềNG GD&ĐT TÂN KỲ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG NĂM HỌC: 2019 - 2020
 Mụn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) 
Cõu 1: ( 5,0 điểm ): Cho biểu thức: A = 
 a. Rút gọn A.
 b. Tính giá trị của A biết: và 
Cõu 2: ( 4,0 điểm )
 a. Giải phương trỡnh: 
 b. Cho là hai số dương thỏa món: . 
 Chứng minh: 
Cõu 3: ( 4,0 điểm ): a). Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
 b) Chứng minh B = a5 - 5a3 + 4a chia hết cho 120.
 c) Cho . Chứng minh giỏ trị biểu thức sau khụng phụ thuộc 
vào giỏ trị của biến: Bài 
4: (5,0 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ-ờng cao AH (H BC). Trên tia HC 
lấy điểm D sao cho HD = HA. Đ-ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
 a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn 
 BE theo .
 b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và 
 BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
 c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Cõu 5: ( 2,0 điểm ): Cho ∆ ABC cõn tại A, gọi I là giao điểm của cỏc đường phõn giỏc.
 Biết IA = 2 cm, IB = 3cm. Tớnh độ dài AB
 Hết./.
Họ và tờn thớ sinh:....................................................SBD:.........................................
 HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIOI MễN TOÁN 9 Cõu í Nội dung cần đạt Điểm
 + ĐKXĐ: a>0; b>0 và 1
 + Ta có 
 0,5
 a 0,5
 1 0,5 5,0
 Vậy: 0,5
 Ta có: và b = 5 1
 b 1
 Suy ra 
 Điều kiện: 0,5
 0,5
 0,5
 a 2,0
 0,5
 Vậy nghiệm của pt là: 
 Với là hai số dương ta cú: 
 2 0,5
 (Theo Bunhiacopski)
 b 0,5 1,25
 (Vỡ ). 0,25
 Hay 
 Với điều kiện ta cú:
 0,25
 M = 
 Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho hai số khụng õm,
 0,25
 Ta cú: 
 3 a 1,25
 (vỡ x dương)
 0,25
 Và: 
 0,25
 (vỡ y dương) Suy ra: M = 0,25
 Vậy giỏ trị lớn nhất của M là x = 2, y = 8
 B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4) 0,5
 B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4) 0,5
 b B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) 0,25 1,25
 Mà 120 = 3.5.8. Mặt khỏc (3,5,8) = 1. Nờn B chia hết cho 120
 0,5
 0,5
 c 1,5
 Giỏ trị biểu thức bằng 2. khụng phụ thuộc giỏ trị của x 0,25
 0,5
 + Hai tam giác ADC và BEC có: chung. 
5 a 0,5 2,0
 (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 0,5
 Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả 0,5
 thiết).
 Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. 
 Suy ra: 
 0,5
 Ta có: (do ). mà (tam 
 giác AHD vuông vân tại H)
 b 0,5 1,5
 0,5
 nên (do )
 Do đó (c.g.c), suy ra: 
 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc 
 BAC. 0,5
 c 1,5
 Suy ra: , 0,5 mà 0,5
 Do đó: 
 0,25
 Kẻ AM AB ( M thuộc tia CI)
 Chứng minh được ∆ AMI cõn tại A 0,25
 MI = AI = 2 0,25
 Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = 
 HI = x ( x > 0 ) 0,25
 Xột ∆ AMB vuụng tại A ta cú AM2 
 =MH.MB 0,25
 0,25 2,0
6 2
 (2 ) = x.(2x + 3) 0,25
 2
 2x + 3x – 30 = 0 ( 2x – 5)(x + 0,25
 4) = 0 
 x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vỡ x > 0)
 Vậy MB = 8cm
 Ta cú AC2 = AB2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 )2 = 64 – 20 = 44
 AC = = 2 cm AB = 2 cm