Đề thi học sinh giỏi môn toán 8 ( thời gian làm bài 120 phút )

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
 MÔN TOÁN 8
 ( Thời gian làm bài 120 phút )
Bài 1: ( 4 điểm )
 Số N có dạng ( p,q,r là các số nguyên tố. x,y,z là các số nguyên dương ) và pq-r =3; pr-q = 9. Biết các số tương ứng có ít ước số hơn ước số của N là 20;12 và 15. Tìm N ?

Bài 2 : ( 3 điểm )
 a, Cho các số a,b,c thoả mãn .
 Chứng minh rằng 
 b, Cho đa thức và . Tìm a và b để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x).

Bài 3 : ( 4 điểm ) 
 a, Giải phương trình 
 b, Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho 
 là số nguyên dương.

Bài 4 :(4 điểm ) Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng :
 

Bài 5 ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A có AB=AC=a ; BC=b . Đường phân giác trong BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC . chứng minh rằng .

…………………..Giám thị không giải thích gì thêm………………………





 ĐÁP ÁN
Bài
Nội dung
Điểm
1
+Ta có 
Vì 
Khi đó số các ước của N bằng (x+1)(y+1)(z+1)
Số các ước tương ứng của tương ứng là : 

Vậy N=
1

1






1





1
2
a, Ta có
 
Chứng minh TT : 
Suy ra dpcm
b,
 


1


0,5



0,5

1
3
PT đã cho 


Vậy nghiệm của PT là x=4; x=-8
b, Ta có 

Ta có PT x+y+z=xyz.
Do vai trò x,y,z như nhau , giả sử 
Nếu y=1 thì x+2=x ( loại)
Nếu y=2 thì x=3
Nếu y=3 thì x=2 ( loại vì ).
Vậy (x,y,z)=( 3;2;1) và các hoán vị của nó.



0,5


1
0,5

0,5



0,5

0,5





0,5






4
VT=

Dấu = xảy ra khi a=b=c=d

1

1

1

1
5




 A
 H
 
 b D

 
 B a C 
-Vẽ đường cao BH suy ra AH=AD/2
 - Do BD là phân giác trong của tam giác ABC 

-Tam giác HAB vuông tại H 
 -TT ta có 
Từ (1),(2) và (3) ta có 











0,5

1



1

1


1,5