Đề thi học sinh giỏi Lớp 9 năm học 2016-2017 môn Toán - Phòng GD&ĐT huyện Vĩnh Lộc (Có đáp án)

 UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017
 ĐỀ THI MÔN: TOÁN
 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
 3x 9x 3 x 1 x 2
Cho biểu thức P = 
 x x 2 x 2 x 1
a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b. Tìm x để P < 0
Bài 2: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình: x2 7x 6 x 5 30. 
 1 1 
b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng a b . 4 
 a b 
Bài 3: (4,0 điểm)
a. Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
b. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z 2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'. 
a. Chứng minh ΔAC'C : ΔAB'B
b. Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh rằng AM = 
AN.
c. Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'. 
 S '
Chứng minh rằng cos2 A cos2 B cos2 C 1 
 S
Bài 5: (2,0 điểm)
 34
Cho x, y là các số dương thỏa mãn x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 35 2 8
A 3x 4y 
 5x 7y
 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
 Bài Nội dung cần đạt Điểm
 Câu a: (2,0 điểm)
 - Tìm được ĐKXĐ: x 0, x 1 0,5
 - Ta có
 3x 9x 3 x 1 x 2 0,5
 x x 2 x 2 x 1
 3x 3 x 3 ( x 1)( x 1) ( x 2)( x 2)
 ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1)
 3x 3 x 3 x 1 x 4
 0,5
 ( x 2)( x 1)
 x 3 x 2
 1 ( x 2)( x 1)
 ( x 2)( x 1) x 1 0,5
 ( x 2)( x 1) x 1
 Câu b: (2,0 điểm)
 - Ta có: P < 0
 x 1 0,5
 0
 x 1
 x 1 0(do x 1 0) 
 x 1
 1,0
 x 1
 0,5
 - Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0 x 1 thì P < 0.
 Câu a: (2,0 điểm)
 Giải phương trình: x2 7x 6 x 5 30. 
 - ĐKXĐ x 5 .
 - Ta có 0,25 x2 7x 6 x 5 30
 x2 8x 16 x 5 6 x 5 9 0
 2
 x 4 2 x 5 3 0
 2 1,0
 - Vì x 4 2 0; x 5 3 0 nên 
 2
 x 4 0
 2
 x 5 3 0 0,5
 x 4 0
 0,25
 x 5 3 0
 x 4
 (thỏa mãn ĐKXĐ)
2 - Nghiệm của phương trình đã cho là x = 4
 Câu b: (2,0 điểm)
 1 1 
 Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng a b . 4 
 a b 0,75
 - Ta có
 1 1 a b
 a b . 2 
 a b b a
 0,75
 - Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương 
 a b a b
 2 . 2 
 b a b a
 0,5
 1 1 
 - Do đó a b . 4
 a b Câu a: (2,0 điểm) 
 Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
 - Để A là số chính phương thì A = n 2 + n + 6 = a2 (a N ) 0,25
 4n2 4n 24 4a2 0,5
 - Ta có: n 2 + n + 6 =a2 2a 2 2n 1 2 23 
 2a 2n 1 . 2a 2n 1 23 0,5
 - Vì a, n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và 
 2a + 2n + 1 > 2a – 2n -1. Do đó 0,25
 2a 2n 1 23
 2a 2n 1 1
 4a 24
 4n 20
 a 6
 n 5
 0,5
3 - Vậy n = 5
 Câu b: (2,0 điểm)
 Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z 2
 Chứng minh A = xy chia hết cho 12
 - Xét phép chia của xy cho 3 1,0
 Nếu xy không chia hết cho 3 thì
 x  1(mod3)
 y  1(mod3)
 x2 1(mod3)
 (Vô lí)
 2
 y 1(mod3)
 z2 x2 y2  2(mod3)
 Vậy xy chia hết cho 3 (1)
 - Xét phép chia của xy cho 4
 Nếu xy không chia hết cho 4 thì x  1(mod 4) 0,5
 y  1(mod 4)
 x2 1(mod 4)
 TH1: (vô lí )
 2
 y 1(mod 4)
 z2 x2 y2  2(mod 4)
 TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc -1. 
 Không mất tính tổng quát giả sử
 x  1(mod 4)
 y  2(mod 4)
 x2 1(mod8)
 ( vô lí)
 2
 y  4(mod8) 0,5
 z2 x2 y2  5(mod8)
 - Vậy xy chia hết cho 4 (2)
 - Từ (1) và (2): Vậy xy chia hết cho 12
 A
 B'
 C
4
 N
 M
 B C
 A'
 Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C : ΔAB'B
 - Xét ΔAC'C;ΔAB'B có Góc A chung 2,0
 Bµ' Cµ' 900 
 Suy ra: ΔAC'C : ΔAB'B
 Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN. 0,5
 - Xét AMC vuông tại M đường cao MB'
 AM 2 AB '.AC 0,5
 - Xét ANB vuông tại N đường cao NC' 0,5
 AN 2 AC '.AB 0,5
 - Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB
 - Do đó: AM = AN
 S '
 Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh cos2 A cos2 B cos2 C 1 
 S 0,5
 2
 SAB'C ' AB ' 2
 - Chỉ ra được cos A 
 SABC AB 
 S
 - Tương tự BA'C ' cos2 B
 SABC
 0,5
 S
 CA'B' cos2 C
 SABC
 - Do đó:
 0,5
 S S S
 cos2 A cos2 B cos2 C AB'C ' BA'C ' CA'B'
 S
 ABC
 S S S ' 0,5
 ABC A'B'C ' 1 
 SABC S
 34
 Cho x, y là các số dương thỏa mãn x y 
 35
 2 8
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 3x 4y 0,5
5 5x 7y
 - Ta có: 2 8
 A 3x 4y 
 5x 7y 0,5
 1 1 2 5x 8 7y
 x y 
 2 2 5x 2 7y 2
 0,25
- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được
 2 5x 2.5x
 2 2
 5x 2 5x.2
 8 7x 8.7x
 2 4
 7x 2 7x.2
 34 1 34 17
- Vì x y nên A . 2 4 6 
 35 2 35 35 0,5
 2 5x
 5x 2 2
 x 
 8 7y 5
- Dấu "=" xảy ra khi 
 7y 2 4
 y 
 34 7 0,25
 x y 
 35
 2
 x 
 17 5
- A đạt giá trị nhỏ nhất là 6 khi 
 35 4
 y 
 7