Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009 môn: Toán

Mã kí hiệu
Đ01T- 09 - HSG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề
(Đề này gồm 6 câu 01 trang)
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ A = + 
b/ B = 
c/ C = +
d/ D = với x = và a > b > 0.
Bài 2: Giải phương trình:
 2(x2 + 2x + 3) = 5
Bài 3: Chứng minh nếu xyz = 1thì:
Bài 4: Cho điểm C thuộc (O;R); AB = 2R thỏa mãn BC = R. Trên đoạn thẳng CO lấy các điểm M và N sao cho CO = 2CM = 3NO. Các đường thẳng AM và AN lần lượt cắt CB tại I và K.
a/ Tính số đo CMK.
b/ Chứng minh: Các điểm M, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a 4; b5; c6 và a2 + b2 + c2 = 90
 Chứng minh rằng: a + b + c 16
Bài 6: M là một điểm nằm ở miền trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A1, B1,C1. Tìm vị trí điểm M sao cho P = đạt giá trị nhỏ nhất.
-----------------Hết-------------------
Mã kí hiệu
HD01T- 09 - HSG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008-2009
Môn: Toán 9
Nội dung
Điểm
Bài 1
4 điểm
a/
A = 
0,5 điểm
 = 
 = + = = 1
0,5 điểm
b/
B = 
0,5 điểm
 = = = 
0,5 điểm
c/ 
Đặt x = ; y = 
Ta có : C = x + y suy ra C3 =x3 + y3 + 3xy(x+y)
0,5 điểm
 C3 =364 +3A
 (C-7)(C2 + 7C + 52) (*)
 C3 + 3C - 364 = 0 Vì C2 + 7C + 52 = (C + )2 + > 0.
0,5 điểm
Nên (*) C = 7
Vậy C = 7
d/ 
x- 1 = - 1 = > 0 với a,b > 0
x+1 = + 1 = > 0 với a,b > 0
Nên ; Luôn xác định a,b > 0
0,5 điểm
D = 
0,5 điểm
 = = x + 
Thay x = vào D rút gọn được D = 
Bài 2
4 điểm
 2(x2 + 2x + 3) = 5 ( đk x -2)
0,5 điểm
2(x+2)+2(x2 + x + 1) = 5 
0,5 điểm
Ta có: x2 + x + 1 = (x +) + > 0 
Chia cả hai vế của phương trình cho x2 + x + 1 > 0 
 2 + 2 = 5(*)
0,5 điểm
0,5 điểm
Đặt t = 0
(*) 2t2 -5t + 2 = 0
Giải được t1 = 2; t2 = (Thỏa mãn đk: t 0
0,5 điểm
+ t1 = 2 = 2 
0,5 điểm
 4x2 + 3x + 2 = 0 (PT vô nghiệm)
+ t2 = = 
0,5 điểm
 x2 - 3x - 7 = 0
0,5 điểm
Giải được: x1 = ; x1 = (tmdk: x -2)
KL: ..
Bài 3:
2 điểm
Vì xyz = 1 nên suy ra x, y, z 0
0,25 điểm
Xét A = 
0,25 điểm
 = 
0,25 điểm
 = (đpcm)
0,25 điểm
Bài 4
I’
b
k
i
N’
m
n
o
c
a
4 điểm
a/
Có C (O,R) ; AB = 2R; BC = R (gt) 
Suy ra: BC2 = 2 R2 = OB2 + OC2 OBC vuông tại O (Pitago) hay AB OC tại O Mà OB = OC = R 
 OBC vuông cân tại O BCO = 450 (1)
1,0 điểm
Lại có CO = 2CM = 3NO (gt) (2)
 M là trung điểm của CO và N là trọng tâm của tam giác ABC 
 K là trung điểm của BC 
0,5 điểm
 KM // BO (T/c đường trung bình của tam giác)
 KM OC CMK = 900 (Đpcm)
0,5 điểm
b/
+ Kẻ N’ đối xứng N qua M
Từ (2) MN = NN’ = 2 MN = (3)
 CN’ = (4)
+ Kẻ I’ đối xứng I qua K
 IN’ // I’N // KM (Talet đảo)
 IN’ CN’ tại N’ (vì KM OC )
và có (1) BCO = 450 
 CIN’ vuông cân tại N’ (5)
0,5 điểm
0,5 điểm
Từ (5) IN’ = CN’ (Đn)
 IN’ = CN’ = NN’ = = CN và có (1) BCO = 450 
 CIN vuông cân tại I
 KIN = 900 (bù với CIN = 900 ) (6)
0,5 điểm
Mặt khác, có KM OC (cm trong a)
 KMN = 900 (7)
Từ (6) và (7) M, I đường tròn đường kính KN
Tứ giác MNKI nội tiếp đường tròn đường kính KN (Đpcm)
0,5 điểm
Bài 5
3 điểm
Đặt a = x + 4 ; b = y + 5 ; c = z + 6 (với x, y, z 0)
0,5 điểm
Vì a2 + b2 + c2 = 90
0,5 điểm
Suy ra: x2 + y2 + z2 + 8x + 10y + 12z = 13 (1)
Vì x, y, z 0 nên ta có 2xy + 2xz + 2zx + 4x + 2y 0 (2)
0,5 điểm
Từ (1) và (2) suy ra: (x+ y + z)2 + 12(x + y + z) - 13 0 
0,5 điểm
 ( x + y + z - 1)(x + y + z + 13) 0 
( x + y + z - 1) 0 ( vì x + y + z + 13 > 0 với x, y, z 0)
0,5 điểm
x + y + z 1
Suy ra a + b + c = x + 4 + y + 5 + z + 6 16 (đpcm) 
0,5 điểm
Bài 6
3 điểm
Từ M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt BC lần lượt tại D và E.
0,5 điểm
Đặt BD = x; DE = y; EC = z ( x, y, z > 0)
Theo định lí ta lét ta có: 
0,5 điểm
 ; 
0,5 điểm
Ta có: 
 (Bất đẳng thức cô si)
0,5 điểm
 (Dấu " =" xảy ra khi x = y = z khi đó M là trọng tâm của tam giác ABC)
0,5 điểm
Vậy P = đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi M là trọng tâm của tam giác ABC.
0,5 điểm
Chú ý:- Điểm toàn bài là 20 điểm
 - Nếu học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Người ra đề
 Trịnh Văn Dũng
Người duyệt đề
 Bùi Văn Chiến
Xác nhận của nhà trường