Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2006 - 2007 môn: Toán

Đề thi học sinh giỏi lớp 9. năm học 2006-2007
Môn: Toán – Vòng I
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	P = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000
Bài 2: Cho biểu thức:
	B = 
	a/ Rút gọn B
	b/ Tìm GTNN và CTLN của B.
Bài 3: Gọi a, b, c là số đo ba cạnh một tam giác, cho biết:
	a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
	Hỏi: Tam giác này là tam giác gì?
Bài 4: Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình.
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kình AB = 2R, Ax và By là hai tia tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn. Một tiếp tuyến khác, M là tiếp điểm cắt Ax, By và đường thẳng AB tại C, E và F.
	1/ Chứng minh rằng: CE = AC + BE.
	2/ Chứng tỏ: AC . BE = R2
	3/ Dựng MH AB. Chứng minh rằng
	a/ 
	b/ OH . OF = R2
(Giỏm thị khụng được giải thớch gỡ thờm)
đáp án
Bài 1: 	P = x4 + 2000x2 + 2000
	 = x4 + 1999x + 1999x2 + x2 + 1999 + 1
	 = x4 + x2 + 1 + 1999 (x2 + x + 1)
	 = x4 + x3 + x2 - x3 + 1 + 1999 (x2 + x + 1)
	 = x2 (x2 + x + 1) - (x - 1)(x2 + x + 1) + 1999 (x2 + x +1)
	 = (x2 + x +1) (x2 - x + 1 + 1999)
	 = (x2 + x + 1) (x2 - x + 2000)
Bài 2: a/ Rút gọn B
 B = 
	= 
	= 
	= 
	=
b/ B = 
* Có (x - 2)2 0 => x2 - 4x + 4 0 => x2 + 4 4x
Chia 2 vế cho x2 + 4, ta được:
	 (x2 >0)
	 1
Chia 2 vế cho 4, ta được: 
	=> B 
Vậy, GTLN của Ba là khi (x-2)2 = 0 hay x = 2
 * Có (x + 2)2 0 => x2 + 4x + 4 0 => x2 + 4 -4x
Chia 2 vế cho x2 + 4, ta được:
Chia 2 vế cho (-4), ta được: 
Vậy GTNN của B là khi (x + 2)2 = 0, hay x = -2
Bài 3: a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
	(a + b)3 -3ab (a + b) + c3 - 3abc = 0
	 (a + b + c) 
	Vì a + b + c > 0 nên a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac = 0
	 a - b = 0 	a = b
 b - c = 0 	 	b = c
	 a - c = 0 	a = c
	Do a = b = c nên tam giác này là tam giác đều.
Bài 4 
	Trừ phương trình (2) cho (1) ta có: 14x + 8y = 200
	=> 7x + 4y = 100
	=> 4y = 100 -7x
	=> 
	=> 
	Vì x, y nguyên => Đặt 
	Suy ra 
	Do x > 0, y > 0 =>
	khi t = 1 => x = 4, y = 18, z = 78
	khi t = 2 => x = 8, y = 11, z = 81
	khi t = 3 => x = 12, y = 4, z = 84
Bài 5:
1/ Chứng minh: CE = AC + BE
Ta có: CM = AC (tính chất 2 tiếp tuyến)
ME = BE
=> CE = AC + BE
2/ Chứng tỏ: AC. BE = R2
OC là phân giác của góc AOM
OE là phân giác của góc MOB
Mà 2 góc AOM và MOB kề bù nhau
=>OC OE
Tam giác OCE vuông tại O, có OM là đường cao
=> CM . ME = OM2
=> AC . BE = R2
3/ a/ Chứng minh: 
Ta có: Ax//HM//By (giả thiết)
Ta lại có (2 tam giác có góc F chung)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
b/ Chứng minh OH . OF = R2
 (có 1 góc chung)
Suy ra 
OH . OF = OM2 = R2
Vậy OH . OF = R2