Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn:toán

phòng giáo dục
 Tam đảo
đề thi học sinh giỏi lớp 9
 Môn:toán . 
 Năm học 2005 – 2006 

Đề số: 01

Câu 1: 
 1 2 1
	Cho biểu thức: A = ( x + - ) – ( 1 - )
 x x2 x2
 a, Rút gọn A.
 b, Tìm những giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của A khi x 2.
Câu 2:
Giải hệ phương trình:
 (x– y) (x2 – y2) = 3
 (x + y) (x2 + y2) = 15
Câu 3:
	Tìm số a nhỏ nhất trong tập hợp Z+ thoả mãn: 
	a chia 11 dư 8 và a chia 19 dư 5.
Câu 4:
Cho ( 0; ) Vẽ ( B; ). Hai đường tròn này cắt nhau tại C và D.
Chứng minh rằng:
a, Tứ giác OCBD là hình thoi.
b, Trực tâm của tam giác COD nằm trên ( O; ).




Đáp án
Đề số: 01
Câu 1: ( 2, 5 điểm)
 1 2 1
a, A = x + - - 1 + 
 x x x2
 1 1
 = x + - - 1 
 x x2
 1 1
 = ( x – 1) + ( - ) ( 1 điểm)
 x x2
 x - 1
 = ( x – 1) +
 x2
 1
 = (x – 1) ( 1 + )
 x2
 1
b, Để A Z Z x2 = 1 x = 1 ( 0,5 điểm)
 x2
c, Khi x 2 x – 1 1
 1 1 1 5
 + 1 
 x2 4 x2 4
 1 5
 ( x – 1) ( 1 + ) 1. 
 x2 4 ( 1 điểm)
 5
 A 
 4
 Dấu “ = ” xảy ra khi x = 2
 5
	Vậy giá trị nhỏ nhất của A = tại x = 2
 4
Câu 2: ( 2,5 điểm)
 ( x – y )2 ( x + y ) = 3
 
 (x + y ) (x2 + y2) = 15
 [( x + y)2 – 4xy] ( x + y ) = 3 
 ( x + y ) [( x + y )2 – 2 xy] = 15 ( 0,5 điểm)

Đặt S = x + y
 P = xy
	 (S2 – 4P )S = 3 (1) ( 0,5 điểm)
Ta được: 
 S (S2 – 2P ) = 15 (2)
 S3 - 3
Từ (1) P = thế vào (2)
 4S
 S3 - 3
 S ( S2 – 2. ) = 15
 4S
 S3 – 3 ( 0,5 điểm)
 S3 - = 15
 2
 S3 = 27
 S = 3
 33 - 3
 P = ( 0,5 điểm)
 4 . 3
 P = 2
 x+ y = 3 x = 1 x = 2
Vậy hoặc ( 0,5 điểm)
 xy = 2 y = 2 y = 1
Câu 3: ( 2 điểm)
Ta có: a = 11q – 3 
 ( p, q N*) ( 0, 5 điểm) 
	 a = 19p – 14
	 11q – 3 = 19p – 14
	 11( q + 1) = 19p
	
 p = ( 0, 5 điểm)
 q + 1 là bội của 19
a nhỏ nhất p nhỏ nhất 
 q + 1 = 19 ( 0,5 điểm)
 q = 18
Vậy a = 11 . 18 – 3 = 195. ( 0,5 điểm)
Câu 4: ( 3 điểm)



 


a, Theo giả thiết ( 0, ) ( B, ) = 
 C và D ( 0; ) và( B; )
 OC = OD = BD = BC = 
	 OCBD là hình thoi ( 1 điểm )
b, Gọi M = CD AD
 Vì OCBD là hình thoi OB CD (0,5 đ)
 OB là đường cao của OCD (1)
Lại có: C1 = C2 ( vì OCBD là hình thoi )
A1 = C2 ( cùng chắn cung BD ) ( 0,5 điểm)
 C1 = A1
Mà C1 + O1 = 900 ( do OB CD )
 C1 + O2 = 900 ( do O1 = O2, đối đỉnh ) ( 0,5điểm)
 A1 + O2 = 900 
 M = 900 
 AD CO 
 AD là đường cao của OCD (2). 
Mà OB AD tại A (3)
Từ (1), (2), (3) A là trực tâm của OCD và A ( O, ) ( 0,5 điểm)
phòng giáo dục
 Tam đảo
đề thi học sinh giỏi lớp 9
 Môn:toán . 
 Năm học 2005 – 2006 





Đề số: 02
Câu 1:
	Chứng minh rằng: + + +……+ < 2 , với n N*
Câu 2:
	 + = 5
 Giải hệ:
 - 4y = - 4
Câu 3:
	Cho x, y, z 0 và x + y + z = 1
	Tìm GTLN của biểu thức B = xy + yz + xz
Câu 4:
Cho 2 đường tròn đồng tâm, tâm O và tâm P nằm ngoài 2 đường tròn. Từ P kẻ các tiếp tuyến PM, PN đến đường tròn lớn và các tiếp tuyến PQ,PR đến đường tròn nhỏ.
a, CMR: 6 điểm O,P, M, N, Q,R cùng nằm trên 01 đường tròn.
b, CMR: MN //QR.
c, CMR: Hai đường thẳng MR và QN giao nhau tại một điểm nằm trên
 đường thẳng OP. 




Đáp án
Đề số: 02
Câu 1: (3 điểm)
Ta có = = 
= ( 1,5 điểm) 
= 
Do đó: 
Vậy: (1,5 điểm)
= .
Câu 2: (2,5 điểm)
 -	 (1)
 ( 1 điểm)
Với y<1: -y + 1 + 4y = 9 y = (loại)
Với y1: y – 1 + 4y = 9 y = 2
Thay y = 2 vào (1): 
 ( 0,75 điểm)
 x + 1 = 4
 x = 3 
 x = -5 ( 0,25 điểm)

 Vậy hệ có 2 nghiệm ( 3; 2 ) và (- 5; 2 ). ( 0,5 điểm)
Câu 3: ( 2 điểm)
Ta có: (x + y + z)2 (12 + 12 + 12) (x2 + y2 + z2) (Theo BĐT Bunhiacopxki)
 x2 + y2 + z2 (*) ( 0,5 điểm)
Lại có: (x + y + z )2 = x2 + y2 +z2 +2( xy + yz + xz)
= x2 + y2 + z2 + 2.B
 B = [1- (x2 + y2 + z2)] ( 1 điểm)
Do (*) nên B () = 
Vậy GTLN của B là tại x = y = z = ( 0,5 điểm)
Câu 4:

 a, Ta có: PMO = MQO = MRO = MNO = 900.
6 điểm M, Q, O, R, N, P nằm trên đường tròn đường kính OP (0,75 điểm)
 b, M, N là các giao điểm của đường tròn đường kính PO và đường tròn lớn tâm O nên MN OP.
Tương tự: QR OP.
Suy ra: MN// QR ( 1 điểm)
 c, Do tính chất đối xứng của đường tròn MNRQ là hình thang cân 
 MR QN tại 1 điểm nằm trên trục đối xứng hay I OP. (0,75 điểm)