Đề thi học sinh giỏi Lớp 9 môn Toán - Phòng GD&ĐT Đại Lộc

 PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
 Năm học : 2012-2013 
 MÔN THI : TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 150 phút 
 (Không tính thời gian phát đề) 
Bài 1 (3 điểm). Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình x2 + y2 = z2 
 Chứng minh rằng: 
 a. Trong hai số x, y có ít nhất một số chia hết cho 3 
 b. Tích xy chia hết cho 12 
Bài 2 (4 điểm). 
 1) Cho biểu thức A = x + 2y + 1 – 2 x – 2 xy . 
 Tìm x, y để A đạt giá trị nhỏ nhất ? 
 1 1 x 1
 2) Cho b`iểu thức M = : ; x 1; x 2. 
 1 x 1 1 x 1 x 1 1
 2
 a. Chứng minh rằng: M= 
 x 1 1
 b. Với giá trị nguyên nào của x thì M có giá trị nguyên. 
Bài 3 (4 điểm). 
 1) Cho a a 2 5 b b2 5 5 . Tính a + b 
 1 1 1 1
 2) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a 2 b 2 c 2 3 . Chứng minh: 
 a b c abc
Bài 4 (4 điểm). 
 Cho tam giác ABC cân tại A. Từ trung điểm H của BC, kẻ HK  AB. Gọi M là 
trung điểm của HK. 
 Chứng minh góc KCB = góc MAH và AM vuông góc với CK . 
Bài 5 (5 điểm). 
 Cho hình vuông OABC có độ dài cạnh bằng r, vẽ đường tròn tâm O bán kính r. 
Trên đường tròn (O) lấy điểm M (M nằm trong hình vuông OABC). Tiếp tuyến của 
đường tròn qua M cắt AB tại D và cắt BC tại E. 
 a. Chứng minh AB và BC là các tiếp tuyến của (O) 
 b. Tính chu vi (theo r) của tam giác BDE 
 c. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác BDE. 
 HẾT