Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Hòn Đất môn: Toán năm học 2012 – 2013

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - CẤP HUYỆN 
 HUYỆN HÒN ĐẤT 	 MÔN : TOÁN
 NĂM HỌC: 2012 – 2013	
 THỜI GIAN LÀM BÀI : 150 phút 
	 ( không kể thời gian giao đề) 	
 (ĐỀ CHÍNH THỨC)	 
Bài 1 (5đ) Cho biểu thức A = 
Rút gọn biểu thức A.
Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1+ và y = 1 - 
Tìm x, y trong trường hợp y = 2x thì A = 1.
Bài 2 (4đ) Thực hiện phép tính sau: 
1) 
2) Q = 22011 - 22010 - 22009 - .. – 2 – 1 .
Bài 3 (4đ) 
	1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: 
 chia hết cho 24.
2) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1
 Tính: T = 
Bài 4 ( 5đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một dây cung MN quay xung quanh trung điểm H của OB. Gọi I là trung điểm của MN. Từ A kẻ tia Ax MN, cắt MN tại K. Tia BI cắt Ax tại C.
Chứng minh OI MN, từ đó suy ra tứ giác CMBN là hình bình hành.
Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN. 
Khi MN quay xung quanh H thì C di động trên đường nào.
Bài 5 (2đ) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình:
2x2 + 2xy + y2 – 4x +2y + 10 = 0
-----------------HẾT-----------------
 Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính 
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - CẤP HUYỆN 
 HUYỆN HÒN ĐẤT 	 MÔN : TOÁN
 NĂM HỌC: 2012 – 2013	
	 (ĐỀ CHÍNH THỨC)	 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Câu 
Đáp án
Điểm
Bài 1
(5 điểm)
1) ĐKXĐ: x ¹± y và x ¹ 0; y ¹ 0.
 Rút gọn đến: A = 
 Tính đúng: A = 
0,5
1
1
2) Thay vào, tính đúng A = .
1,5
3) Khi y = 2x thì A = 1 ta có hệ PT : 
 Giải hệ PT : x = 3 ; y = 6 (thỏa mãn)
 Vậy x = 3 ; y = 6 thì A = 1.
0,5
0,5
Bài 2
(4 điểm)
1) Ta có : 4P = 
 =
 = 
0,5
0,5
1
2) Ta có : 2Q = 22012 - 22011 - 22010 - 22009 - .. – 22 – 2
 Q = 2Q – Q = 22012 - 22011 - 22011 + (22010 - 22010 ) + (22009 -22009) + . + (2-2) +1
 Q = 22012 – 2. 22011 + 1 = 22012 - 22012 + 1 = 1
0,5
0,5
1
Bài 3
(4 điểm)
1) 
=
= 
= 
 Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên chia hết cho 24 
0,5
0,5
0,5
0,5
2) Ta có 	1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y)	
Tương tự ta có:	1+y2 =(y+x)(y+z)
	1+z2 =(z+x)(z+y)	
T==
=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)	= 2(xy+yz+zx) =2 . Vậy T = 2
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
(5 điểm)
1) Vẽ hình đúng
 c/m OI MN AK // OI I là trung điểm của BC.
 c/m tứ giác CMBN là hình bình hành.
0,5
1
0,5
2) Ta có AK là đường cao của .
 Mà CMBN là hình bình hành CM // BN CM AN.
 MC là đường cao của C là trực tâm của tam giác AMN.
0,5
0,5
0,5
3) Chỉ ra IH là đường trung bình của DOBC IH // OC
 Mà IH Ax OC Ax C nằm trên đường tròn đường kính AO
0,75
0,75
Hình vẽ:
Bài 5
(2 điểm)
Từ phương trình: 2x2 + 2xy + y2 – 4x +2y + 10 = 0.
 x2 + x2 + 2xy + y2+ 2x – 6x + 2y + 9 + 1 = 0
 x2+ y2+ 1 + 2xy + 2x + 2y + x2– 6x + 9 = 0
 (x + y +1)2 + (x – 3 )2 = 0
0,5
0,5
0,5
0,5
 Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa