Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán - Đề 44

Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Bảng A
Thời gian: 180 phút
Bài 1: (4 điểm)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
.
Tính tích phân:
	.
Bài 2: (4 điểm) 
	Cho phương trình: 
Giải phương trình khi a = 4.
Tìm a để phương trình có nghiệm.
Bài 3: (4 điểm) 
Giải phương trình: tgx – 3cotg3x = 2tg2x.
Chứng minh rằng đều nếu thoả mãn:
tgA + tgB + tgC = .
Bài 4: (2 điểm) 
	Tìm giới hạn: .
Bài 5: (2 điểm) 
	Giải bất phương trình: .
Bài 5: (4 điểm) 
	Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy.
 Cho elip (E) có phương trình:	; điểm I(-1;-2) và đường thẳng (d): x + y – 6 = 0.
Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho I là trung điểm AB.
Tìm toạ độ điểm M(E) sao cho khoảng cách từ M đến d là nhỏ nhất.
Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12
ý
Nội dung
Thang điểm
Bài 1
1
Tập xác định: R\{1}
Sự biến thiên: 
y’= 
+, -> đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng.
+, 
=đường thẳng y= - x+3 là tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
x
- 0 1 2 +
y
 - 0 +
 + 0 -
y’
+ +
4
0
- -
y
Đồ thị: 
4
3
2
3
1
2
x
1
0
0.5
0.25
0.25
0.25
0.75
Bài 1
2
Tính: I = 
Đặt 
x
0
 t
0
	dx = - dt
I = -
Đặt u = cost -> du = - sintdt 
t
0
 u
1
-1
Đặt u = tgv với v, du = (1+tg2v)dv 
u
-1
1
 v
-
0.75
0.5
0.75
Bài 2
1
2
Điều kiện: x
Phương trình đã cho tương đương với :
đặt t = điều kiện 
phương trình trở thành: f(t) = t2 + at – 1 = 0 (1)
Với a = 4 ta có: phương trình (1) là: t2 + 4t – 1 = 0
Với t =- 2 + ta có: t = 
 t2x2 + t2x +t2 = x – 1 t2x2 + (t2 – 1)x +t2 + 1 = 0
Vậy với a = 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm:
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình:
t2 + at – 1 = 0 (1) có nghiệm 
dễ thấy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn:
 t1 t2 
Vậy tập giá trị cần tìm của a là: )
0.25
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
Bài 3
1
2
Điều kiện: cos2x 0; cosx0; sin3x 0
tgx – 3tg3x = 2tg2x
 tgx – cotg3x = 2(tg2x + cotg3x)
 - cos4x . cos2x = 2 cos2x
 (2cos22x - 1)(cos2x) +1 +cos2x = 0
 cos32x = -
đối chiếu điều kiện:	 cosx0 cos2x 0 cos2x -1.
sin3x 0 sinx(3 – 4sin2x) 0 sin2x 0
 sin2x 
=> cos32x = - (thoả mãn điều kiện)
 cos2x = - 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 
 với 
Vì tgA, tgB, tgC xác định nên ABC không vuông
0.25
1
0.5
0.25
0.25
0.25
-> giả thiết đề cho tương tương với:
tgA.tgB.tgC = > 0
	ABC nhọn -> tgA, tgB, tgC là các số dương
ta có: tgA.tgB = 
ta sẽ chứng minh được:
thật vậy: 1- cosC > 0; cos(A-B) – cosC = 2cosA.cosB > 0.
do đó (*) cos(A-B) - cos(A-B)cosC + cosC – cos2C cos(A-B) + cos(A-B)cosC – cosC – cos2C
 cosC cos(A-B) – cosC 
 cos(A-B) – 1 luôn đúng (vì cosC > 0)
Vậy: 
tương tự: tgA.tgC cotg2
	 tgB.tgC cotg2
dấu “=” xảy ra khi: cos(A - B) = 1
cos(B - C) = 1 A = B = C
cos(C - A) = 1
Vậy nếu 
thì ABC là tam giác đều.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 4
đặt t = x + 2 ta có x
0.25
0.25
1.5
Bài 5
(điều kiện )
Xét hàm số: f(X) = X + log2X
-> f(X) đồng biến trên 
đặt: X1=2x + 1
 X2= 2(x-1)2 => X1, X2 với 
Khi đó bất phương trình trở thành f(X2)f(X1) 
tức là: 2(x-1)2 2x+1
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là:
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
Bài 6
1
Giả sử đường thẳng là đường thẳng có phương trình cần tìm.
Vì đi qua I(-1; -2) nên có phương trình tham số:
	(a2+b2 
Vì A, B là giao điểm của và (E) 
nên: A(-1 + at1; -2 + bt1); B(-1 + at2; -2 + bt2) 
với t1, t2 là nghiệm của phương trình:
 (*)
0.25
0.5
2
 vì a2 + b2 
nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt t1, t2 
I là trung điểm AB nên:
 và 
 t1 + t2 = 0 (vì a2 + b2 )
t1 + t2 = 0 
 9a = -32b, chọn b = -9 => a=32 => đường thẳng có phương trình:
Giả sử M(x0; y0). vì Mnên:
đặt , Khi đó: 
với -> 
=> d(M, d) nhỏ nhất cos(t - ) = 1 
Vậy điểm cần tìm là: M().
0.25
0.5
0.25
0.25
0.5
0.75
0.5
0.25