Đề thi học sinh giỏi Lớp 10 môn Toán năm học 2018-2019 - Trường THPT Chương Mỹ A (Có lời giải)

 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 
 TRƯỜNG THPT CHƯƠNG MỸ A MÔN: TOÁN 
 Năm học: 2018-2019 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu 1 ( 6 điểm) Cho hàm số y mx2 2 mx m 2 2 , với m là tham số. 
 1) Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng 3;1 . 
 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số không lớn hơn -4. 
 3) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt 
A, B sao cho tam giác MAB vuông tại M. Biết M (1;2) 
Câu 2 ( 6 điểm) Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: 
 1) 9x2 8 x 5 (6 x 3) x 2 3 
 2) (x2 4 x 3)( x 2 8 x 12) 3 x 2 
 x2 y 2 6 xy 3 x 5 y 0
 3) 2 2 
 2y (3 x y ) 7
Câu 3( 3 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S và có bán kính đường tròn nội tiếp là r . 
Chứng minh rằng: Tam giác ABC đều khi và chỉ khi S 3 3 r 2 
Câu 4 ( 3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D, đáy 
lớn CD. Biết BC=2AB=2AD, M(1;0) là trung điểm BC, đường thẳng AD có phương trình 
 x 3 y 3 0 . Tìm tọa độ đỉnh A biết A có tung độ nguyên. 
Câu 5 (2 điểm) Cho các số dương a ,b , c sao cho a2 b 2 c 2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 a b c
biểu thức: P 
 b2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2
 ..Hết .. 
 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
 LỚP 10 NĂM HỌC 2018 – 2019 
C Điể
â Ý Nội dung m 
u 
 Cho hàm số y mx2 2 mx m 2 2 , với m là tham số. 
 Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng 3;1 . 
 1 
 + m 0 y 2 ( ktm) 
 1.0 
 + m 0 hàm số đồng biến trên ( 3;1) khi m 0 1.0 
 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số không lớn 
 hơn -4. 
 2 
 2
 + Hàm số có giá trị nhỏ nhất khi m 0. Khi đó ymin m m 2 . 1.0 
 + Ycbt  m2 m 2 4 m 1 1.0 
 Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm 
 phân biệt A, B sao cho tam giác MAB vuông tại M. Biết M (1;2) . 
1 
 + Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A. B khi phương trình: 
 mx2 2 mx m 2 2 0 ( 3) có hai nghiệm phân biệt  , 0 
 2
 m( m m 2) 0  m 0 0.5 
 + Gọi A( x1 ;0); B ( x 2 ;0) với x1; x 2 là nghiệm của phương trình (3) 
   
 3 Ta có: MA ( x 1; 2); MB ( x 1; 2) 
 1 2 
   m2 2 
 Tam giác MAB vuông tại M  MA. MB 0  x x ( x x ) 5 0  3 0
 1 2 1 2 m 
 m 1 
  (tm ) 
 m 2 1.0 
 m 1
 KL: 0.5 
 m 2
 2
 2 2 2 2 2 
 9x 8 x 5 (6 x 3) x 3  x 3 (6 x 3) x 3 8 x 8 x 2 0 
 2
 2 x 3 2 x 1
 (2x 1) 1.0 
 x2 3 4 x 2
2 1 
 1
 x 2 10 
 x2 3 2 x 1  x 
 + 2 
 2 3
 3x 4 x 2 0 
 1 
 x 
 + x2 3 4 x 2  2 x 1 
 2
 15x 16 x 1 0 
 x 1 
 1.0 
 Phương trình có 2 nghiệm 2 10 
 x 
 3
 (x2 4 x 3)( x 2 8 x 12) 3 x 2 (x2 7 x 6)( x 2 5 x 6) 3 x 2 (2).Do x 0 không là 
 6 6 
 nghiệm của (2) nên (2)  x 7 x 5 3 
 x x 1.0 
 6 
 Đặt t x . Ta có: t2 12 t 32 0 4 t 8 
 2 x 
 x 0 
 6 
 Ta có: 4 x 8  4 10 x 4 10  4 10 x 4 10 
 x 1.0 
 x 0
 x2 y 2 6 xy 3 x 5 y 0 
 2 2 
 2y (3 x y ) 7 
 2 2 2 2 
 u v u v u u 2 v 4 v 3u 3 u 6 v 12 v
 Đặt x ; y ta được  
 2 2 3 3 3 3
 u v 7 u v 7 1.0 
 v 1
 3 3 2 
 (u 1) ( v 2) u v 1 v v 2 0  
 v 2 
 3 
 x 
 2 
 3 Với v 1 u 2 
 1 
 y 
 2 
 3 
 x 
 2 
 Với v 2 u 1 
 1 
 y 
 2 
 3 1 
 Hệ có hai nghiệm (;);x y 
 2 2 1.0 
 Cho tam giác ABC có diện tích S và có bán kính đường tròn nội tiếp là r . 
 Chứng minh rằng: Tam giác ABC đều khi và chỉ khi S 3 3 r 2 
 3 4
 2 p a p b p c 2 p 4 2 1.0 
3 Ta có S p( p a )( p p )( p c ) p  S p 27 S 
 3 27 
 S 
 Mặt khác S pr  p . Từ đó ta có: S 3 3 r 2 
 r 1.0 
 Đẳng thức xảy ra  a b c  tam giác ABC đều. 1.0 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D, đáy lớn 
 CD. Biết BC=2AB=2AD, M(1;0) là trung điểm BC, đường thẳng AD có 
 phương trình x 3 y 3 0 . Tìm tọa độ đỉnh A biết A có tung độ nguyên. 
 Đặt AB a . N là trung điểm AD. A B 
 Kẻ BH DC H 
 M 
 HM HB BM a N 
 M 300 
 2 3 C
 Tính được MN a D H 
 2 
4 AM2 (2 3) a 2 . 1.0 
 x 1 t
 Phương trình đường thẳng MN: 
 y 3 t 
 N là giao điểm của AD và MN N(0; 3) MN 2 a 8 4 3 
 AM 2 16(2 3) . 
 1.0 
 Mặt khác A AD A ( 3 t 3; t );( t Z ) AM2 ( 3 t 4) 2 t 2 
 t2 2 3 t 4 4 3 0 t 2 hoặc t 2 3 2 (loại). 
 A (2 3 3;2) 
 1.0 
 2 2 2 
 Cho các số dương a , b ,c sao cho a b c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 a b c 
 thức: P 
 b2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 
 a b c
 Ta có 0 a , b , c 2; P 
 2 a2 2 b 2 2 c 2
 8 4 4 2 
 Ta có: a3 a 3 2 a (5). Đẳng thức xảy ra khi a 
 3 6 3 6 3 6 3 
5 
 2 8 a 3 6 2
 (5)  a(2 a )  2 a . 
 3 6 2 a 8 
 b3 6 c 3 6 
 Tương tự ta có: b2; c 2 
 2 b2 8 2 c 2 8 1.0 
 3 62 2 2 3 6 3 6 2 1.0 
 P a b c Pmin  a b c 
 8 4 4 3