Đề thi học sinh giỏi khối 10 thpt năm học 2008 - 2009 môn: toán ( thời gian làm bài 120 phút)

 Sở GD – ĐT Bình Định	 Đề thi HSG khối 10 THPT năm học 2008 - 2009
Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn	 Môn: TOÁN ( thời gian làm bài 120 phút)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: ( 3 điểm) 
	a) Giải bất phương trình: .
	b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số . 
Bài 2: ( 3 điểm)
	Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có: .
Bài 3: ( 3 điểm) 
	Cho tam giác ABC có đường cao CH, HÎAB. Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB và CH . Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và cạnh BC tại N.
Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB. Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. 
Bài 4:( 1 điểm)
 	Số , n là số nguyên dương, có chia hết cho 184 không? hãy chứng minh điều mà bạn khẳng định. 
------------------------------------------------------------Hết---------------------------------------------------------------
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài
Nội dung từng ý
Điểm
1.a
+ Đưa bất phương trình về dạng: 
0,25đ
+ Đặt , x > 0 và tính được 
0,5đ
+ Viết được bất phương trình theo t: t2 - 5t + 2 > 0 Û ( t > 2 t < (loại))
0,25đ
+ Viết được bất phương trình
0,5đ
1.b
+ Nhận xét: y là tổng của hai biểu thức nhận giá trị dương nên có thể dùng bất đẳng thức cauchy biến đổi từ TBC sang TBN. 
0,25đ
+ Viết được: 
0,5đ
+ Đẳng thức xảy ra khi: 
0,5đ
+ Luận được y ³ 2, dấu " = " xảy ra khi x = 0. Do đó: 
0,25đ
2
+ Viết được để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh: .
0,5đ
+ Viết được 
1,5đ
+ Suy được: .
0,5đ
+ Kết luận được 
0,5đ
3
+ Chọn hệ trục tọa độ như hình bên và viết được 
tọa độ của H(0;0), A(a;0), B(b;0), C(0;c)
0,25đ
+ Suy được tọa độ các điểm 
0,25đ
+ Viết được phương trình của (d):y = m, 0< m <c; phương trình đường thẳng AC: cx + ay –ac = 0, phương trình đường thẳng BC: cx + by – bc = 0. 
0,5đ
+ Lập luận và tìm được tọa độ của các điểm M, N, P,
J
1đ
+ Tính được tọa độ các vectơ: 
0,5đ
+ Viết được: nên ba điểm I, J, K thẳng hàng .
0,5đ
4
+ Viết được 184 = 8.23 và chia hết cho 32 – 1 = 8.
0,25đ
+ Viết được nếu n = 2m (chẵn), thì không chia hết cho 8
+ Nếu n = 2m + 1 (lẻ), thì cũng không chia hết 8.
+ Kết luận được , 3n + 2009 không chia hết cho 184. 
0,75đ
Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng căn cứ từng phần của biểu điểm để cho điểm.