Đề thi học sinh giỏi 8 đề 17

Bài 1: (4 điểm)
	Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
	Giải phương trình:
	.
Bài 3: (3 điểm)
	Tìm x biết:
	.
Bài 4: (3 điểm)
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 5: (4 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
	Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: .
Chứng minh rằng: .
Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
Một lời giải:
Bài 1: 
	a) 	(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = 
	= 
	= = 3
	= 3.
	b) 	x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = 
	= = .
Bài 2: 	
Bài 3: 
	.
	ĐKXĐ: .
	Đặt a = x – 2010 	(a 0), ta có hệ thức:
	 (thoả ĐK)
	Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK)
	Vậy x = và x = là giá trị cần tìm.
Bài 4:
	= 
	Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.	
Bài 5:
	a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì )
	Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân 
	giác của .
	b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
	Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
	3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất
	 D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 6:
	a) Đặt .
	Ta có (*)
	Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.
	(1)
	Ta có (2)
	(1) & (2) (**)
	(*) & (**) .
	b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
s
	, 
s
s
	 (3) 
	Ta lại có CD + BD = 8 (4)
	(3) & (4) BD = 2,5