Đề thi đề nghị học sinh giỏi Lớp 9 môn Toán - Phạm Văn Thanh

 TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI 
 GV RA ĐỀ: PHẠM VĂN THANH 
 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
 MÔN: TOÁN 
ĐỀ ĐỀ NGHỊ Thời gian: 150 phút 
 Bài 1: (3 điểm) 
 a) Cho a là số nguyên. Chứng minh a3 – a chia hết cho 6. 
 b) Cho ba số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng: 
 Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 cũng chia hết cho 6. 
 Bài 2: (3 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: 
 a) A = 5 21 5 21 2 4 7 2 
 2 3 6 8 16
 b) B = 
 2 3 4
 Bài 3: (3 điểm) Giải các phương trình sau: 
 7
 a) x 2 x 5 b) x 2 5x 8 2 x 3 
 x 2 x 1
 Bài 4: (3 điểm) 
 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
 M = x2 + 5y2 + 4xy + 2x + 2018 
 b) Chứng minh rằng: 
 a 2 b 2
 2 2 với a > b > 0 và a.b =1 
 a b
 Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK. 
 1 1 1
 Chứng minh: 
 BK 2 BC 2 4AH 2
 Bài 6: (5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By 
 (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi C là điểm bất kì 
 trên tia tiếp tuyến Ax vẽ tiếp tuyến CM (M là tiếp điểm, M khác A) cắt tiếp tuyến By ở D. 
 a) Cho AB = 4cm, xác định vị trí của điểm C trên tia Ax để chu vi tứ giác ABDC 
 bằng 14cm. b) Đặt AB = 2R và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD bằng r. 
 1 r 1
 Chứng minh  
 3 R 2