Đề thi chọn lọc học sinh giỏi môn: toán thời gian: 150 phút

ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI
MƠN: TỐN
Thời gian: 150 phút
Bài 1:( 4 điểm)
 Cho biểu thức M = :
a) Rút gọn M
b)Tính giá trị của M khi = 
Bài 2:(4 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3 – 5x2 + 8x – 4 
b) 
c )( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
d )(x2+x+1)(x2+x + 2 ) –12
Bài 3 : (4điểm ) 
a)Cho hai số thực x, y thoả mãn và .
 Tính giá trị biểu thức P = .
b) Chứng minh rằng :Nếu và a + b + c = abc thì 
Bài 5) (6 điểm)
 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
 a) Chứng minh DE + DF = 2AM
 b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm 
 của EF 
 c) Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA
 Bài 6) ( 2 điểm)
 Chứng minh với mọi số a, b, c khác 0.
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: 
a) Rút gọn M
M=:=:
 M = = ( 2 điểm)
b)Tính giá trị của M khi = 
 = x = hoặc x = - 
Với x = ta cĩ : M ===
Với x = - ta cĩ : M === ( 2 điểm)
Bài 2:
a) ) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 
 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) 
 = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( 1 điểm)
b) = (x11+x10+x9)+( –x10-x9 –x8 )+(x8 +x7 +x6)+( –x6 –x5-x4) +(x5+x4 +x3) +(–x3–x2 –x ) +(x2+x+1)
= x9(x2+x+1) –x8(x2+x+1) +x6(x2+x+1)-x4(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1) (1 điểm)
c) Ta cĩ : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) (1 điểm)
d) đặt y= x2 +x +1 suy ra x2 + x+ 2= y+1 . ta được :M =y(y+1) – 12 
 =y2+y –12 =y2-3y +4y –12
 =(y-3)(y +4)	 
Thay y =x2 +x +1 .Ta được :M =(9x2+x –2 )(x2+x+5) 
 =(x-1)(x+2)(x2+x+5) (1điểm)
Bài 3:
a) Ta có: => => 
 và .=> => 
Suy ra: => ( 2 điểm )
b) Ta có : 
ù 
Vì a+b+c = abc nên ta có : ( 2 điểm)
 Bài 5 :
a : Lý luận được : ( Do AM//DF) (1) 
 ( Do AM // DE) (2) 
 Từ (1) và (2) ( MB = MC) DE + DF = 2 AM ( 2,25điểm)
b: AMDN là hình bành hành 
 Ta cĩ 
 => NE = NF ( 2.25 điểm)
c: AMC và FDC đồng dạng 
 FNA và FDC đồng dạng 
 và 
 . S2FDC 16 SAMC.SFNA ( Do với x 0; y 0) ( 1.5 điểm)
Bài 6: 
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta cĩ:
Tương tự: và 
Cộng theo vế tương ứng của các BĐT trên ta cĩ đpcm