Đề thi chọn HSG Văn hóa Lớp 10, 11 năm 2019 môn Toán Lớp 11 - Trường THPT Thị Xã Quảng Trị (Có đáp án)

 SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 
TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 03 tháng 4 năm 2019 
 Môn thi: Toán lớp 11 
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 (Đề có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 
 Câu I (5,0 điểm). 
 1. Giải phương trình: sin22 3xx cos2 sin x 0. 
 2
 2. Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: xxa 30, x3 và x4 là hai nghiệm của 
 2
 phương trình: xxb 12 0. Biết rằng x1234,,,xxx theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy 
 tìm ab, . 
 Câu II (3,0 điểm). 
 1. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 k 2014. 
 Chứng minh rằng: CC01155kk CC ... CC kk C . 
 5 2014 5 2014 5 2014 2019 
 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 
 mx 1122111 22 x x 422 x x. 
 Câu III (3,0 điểm). 
 sin n
 Cho dãy số u được xác định bởi: uuu sin1; , với  nn ,2 . 
 n 11nn n2
 Chứng minh rằng dãy số un xác định như trên là một dãy số bị chặn. 
 Câu IV (3,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân 
 a 5
 tại D với DC . 
 2
 1. Chứng minh rằng: ADBC . 
 2. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết 
 góc giữa hai mặt phẳng ()ABC và ()BCD bằng 300 . 
 Câu V (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A(2;1) , B(1; 2) , trọng 
 tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng x y 2 0. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác 
 27
 ABC bằng . 
 2
 Câu VI (3,0 điểm). Cho các số dương abc,, thỏa mãn: abc222 3. Chứng minh rằng: 
 444 2
 22 1113 22 22 abc . Đẳng thức xảy ra khi nào? 
 ab bc ca
 -----------------HẾT--------------------- 
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT. 
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
 Họ và tên thí sinh: .Số báo danh: . 
 Huớng dẫn chấm – Toán 11 
 Câu Nội dung Điểm 
 Câu I. Giải phương trình: sin22 3xx cos 2 sin x 0. 
 (5đ) 
 1. (3đ) sin22 3xx cos 2 sin x 0 (1) 
 Ta có: sin 3xx (1 2cos 2 )sinx. 
 (1) ((1 2 cos 2xx )22 cos2 1) sin x 0 1.0đ 
 22 
 (1cxx os2x)(1+4cos 2 )sin 0 1.0đ 
 sinx 0 k 
 x
 cos2x=-1 2 1.0đ 
 2
 2. (2đ) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: xxa 30, x3 và x4 là hai 
 2
 nghiệm của phương trình: xxb 12 0 . Biết rằng x1234,,,xxx theo thứ tự lập 
 thành một cấp số nhân. Hãy tìm ab, . 
 23
 Gọi q là công bội của CSN x2131xq;; x xq x 41 xq 
 Theo viet ta có: 
 xx12 3 xq1(1 ) 3
 xx12 a xx12 a
 1.0đ 
 xx 12 2
 34 xq1 (1 q ) 12 
 xx34 b xx34 b
 2 
 Suy ra q 4 
 + q = 2 x 1 , giải ra được a = 2, b = 32 
 1 1.0đ 
 +q = -2 x1 3, giải ra được a = -18, b = -288 
 Câu II. 
 (3đ) 
 1. (1.5đ) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 k 2014 
 01155kk kk
 Chứng minh rằng: CC5 2014 CC 5 2014... CC 5 2014 C 2019 
 Ta có: (1 xx )5 (1 ) 2014 (1 x ) 2019 
 5 01 22334455 0.5đ 
 MxCCxCxCxCxCx (1 ) 555555
 2014 0 1kk 2013 2013 2014 2014 
 NxCCxCxCxCx (1 ) 2014 2014 ... 2014 ... 2014 2014 
 2019 0 1kk 2018 2018 2019 2019
 PxCCxCxCxCx (1 ) 2019 2019 ... 2019 ... 2019 2019 0.5đ 
 k
 k 
 Ta có hệ số của x trong P là C2019 , P = M.N 
 Mà số hạng chứa xk trong M.N là : 
 CC0kk x CxC 1 kk 11 x CxC 2222 kk x CxC 3333 kk x CxC 4444 kk x CxC 5555 kk x 
 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 0.5đ 
 01155kk kk
 Vậy : CC5 2014 CC 5 2014... CC 5 2014 C 2019 
2. (1.5đ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 
 mx 1122111 22 x x 422 x x 
 ĐK: 11x , Đặt tx 1122 x, t liên tục trên  1;1 và t 0 
 24 
 txt221 2 0;2 0.5đ 
 2 
 2 tt2
 Pttt: mt(2) t t 2 m 
 t 2
 2 
 tt2 
 Xét ft() ; t 0; 2 , f ()t liên tục trên 0; 2 0.5đ 
 t 2 
 tt2 4
 ft'( )  0, t 0; 2 
 2 
 (2)t 0.5đ 
 f ()t nghịch biến trên 0; 2 
 Vậy pt đã cho có nghiệm thực khi f (2) 2 1mf 1 (0) 
Câu III. sin n 
 Cho dãy số u được xác định bởi: uuu sin1; , với mọi 
 (3đ) n 11nn n2
 nn ,2. Chứng minh rằng dãy số un xác định như trên là một dãy số bị 
 chặn. 
 11 1 
 Ta có:  ... 2, nN* , vì 
 1222n 2 
 11 1 1 1 1 
 ... 1 ... 
 122 2nnn 2 1.2 2.3 .( 1) 1.0đ 
 111 1 1 1 
 1 1 ... 2 2 
 223nn 1 n
 sin1 sin 2 sin n
 Bằng qui nạp ta CM được: u ... 1.0đ 
 n 1222n 2
 11 1 11 1 *
 Suy ra : 2 22 ... 2 unNn 22 ... 2 2,  
 12nn 12 1.0đ 
 Vậy dãy số un xác định như trên là một dãy số bị chặn. 
Câu IV. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân tại 
 (3đ) a 5
 D với DC .
 2 
1. (1đ) Chứng minh rằng: ADBC . 
 Gọi M là trung điểm BC, ta có: ABC đều nên AMBC , DBC cân nên 1.0đ 
 DM  BC BC() AMD  BC AD .
2. (2đ) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và 
 CD, biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300 .
 Theo gt ta có góc giữa MA và MD bằng 300. Kẻ GN//CD, nối AN 
 a a 3 
 +TH1: góc DAM bằng 300, ta có: MDa MG , ABCđều nên AM . 
 3 2 0.5đ 
 Áp dụng định lí cosin cho AMG 
 aCDa13 5 a 7
 ta có AGGNANC ,. có AN . Trong ANG 0.5đ 
 636 3
 5 5
 có cos(AGN)= .Gọi góc (;)AG CD thì cos = 
 65 65 
 13
 +TH2: Góc AMD bằng 1500. Tính tương tự ta có: thì cos = 0.5đ 
 75 
 0.5đ 
Câu V. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2; 1), B(1;-2), trọng tâm 
 (3đ) G của tam giác nằm trên đường thẳng x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện 
 27
 tích tam giác ABC bằng .
 2 
 31 
 Gọi M là trung điểm AB, ta có : M ; . Gọi C(a ; b), 
 22 
 ab 31 a 3 b 1 
 suy ra Gd ;2040,(1) ab, 1.0đ 
 33 3 3
 35ab 
 mặt khác AB:3 x y 5 0 d ( C ; AB ) , 
 10 
 12712735ab 
 Diện tích SABdCAB . ( ; ) 10 3 ab 5 27,(2) 
 222210 1.0đ 
 Từ (1) và (2) ta có hệ: 
 a 9
 C 9; 5 
 ab 4 b 5
 332ab 
 9 
 a 
 ab 4 2 917 
 C ;
 32217ab 22 
 b 
 2 1.0đ 
Câu VI. 
 (3đ) Cho các số dương abc,, thỏa mãn: abc222 3. Chứng minh rằng: 
 444 2
 22 1113 22 22 abc . Đẳng thức xảy ra khi nào?
 ab bc ca 
 Từ giả thiết ta có 0,,3 abc222 . Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 
 44 
 (3aa22 ) 4 1 2 . 
 33 aa22 
 44 1.0đ 
 Tương tự: 12 bc22 ; 12 
 33 bc22 
 444 222
 Do đó: 22 1 22 1 22 1 (abc 2)( 2)( 2),(1) 
 ab bc ca
 Áp dụng BĐT Bun ta có: 1.0đ 
 1
 (2)(2)(1)(1)a22 b a 22 b a 22 b 3() ab 2 ()3 ab 2 
 2 
 33
 = ((ab )2 2) ( abc 222 2)( 2)( 2) (( abc ) 22 2)( 2) 
 22 1.0đ 
 3 2
 2(ab ) 2 c 3( abc )2 ,(2) 
 2 
 Từ (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1