Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2016-2017 môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Huyện Phú Lộc (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 HUYỆN PHÚ LỘC NĂM HỌC 2016 – 2017
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán – Lớp 9
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm): 
 3x 9x 3 1 1 1
Cho biểu thức A 2 :
 x x 2 x 1 x 2 x 1
1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
2) Rút gọn biểu thức A.
 2
3) Tìm giá trị của x để là số tự nhiên.
 A
Câu 2. (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: x2 10x 27 6 x x 4
 x 1
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
 x2 x 1
Câu 3. (4,0 điểm): 
Cho hai đường thẳng: y = x + 3 (d1); y = 3x + 7 (d2)
1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d 1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I 
của đoạn thẳng AB.
2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2). Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam 
giác đó.
Câu 4. (6,0 điểm) 
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây 
CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.
1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng:
 HM MK CD
  
 HK MC 4R
3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn 
cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).
Câu 5. (2,0 điểm) 
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
 c ab a bc b ac
 2
 a b b c a c ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
 Câu Ý Lời giải Điểm
 1 1 x 0 0,5
 Điều kiện: 
 x 1
 2 3x 9x 3 1 1 1 0,5
 A 2 :
 x x 2 x 1 x 2 x 1
 x 3 x 2 0,5
 =  x 1 
 x 1 x 2 
 x 1 x 2 0,5
 =  x 1 x 1 
 x 1 x 2 
 2 0,5
 = x 1 
 3 x 0
 Với điều kiện: 
 x 1
 2
 Ta có: A = x 1 
 2 2
 Vì A = x 1 ≥ 1 với mọi x ≥ 0 nên 0 ≤ ≤ 2 0,5
 2
 x 1 
 2 2 2 2
 Do đó: khi x 1 = 1 hoặc x 1 = 2
 2 ¥ 
 A x 1 0,5
 Mà x 1 > 0 nên x 1 =1 hoặc x 1 = 2
 2
 Do đó: x 0 hoặc x 2 1 3 2 2 0,5
 2
 Vậy là số tự nhiên khi x 0 hoặc x 3 2 2
 A
 2 1 Giải phương trình: x2 10x 27 6 x x 4
 Điều kiện: 4 ≤ x ≤ 6 0,5
 2
 VT x2 10x 27 x 5 2 2 , dấu “=” xảy ra x 5
 0,5
 2 2
 VP 6 x x 4 12 12 6 x x 4 VP 2,
 1 1
 Dấu “=” xảy ra 6 x x 4 x 5
 6 x x 1
 0,5 VT VP x 5(TMĐK). 0,5
 Vậy nghiệm của phương trình là x 5
 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 x 1
 A 
 x2 x 1
 2
 2 1 3 0,25
 Ta có: x x 1 x 0,x ¡
 2 4
 x 1 x2 x 1 x2 x2 x2 0,5
 A 1 1 (vì 0,x ¡ )
 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1
 Đẳng thức xảy ra khi x = 0, suy ra: maxA = 1 khi x = 0 0,25
 2 2
 x 1 3x 3 x 4x 4 x x 1 
 A 2 3A 2 2
 x x 1 x x 1 x x 1 0,5
 x 2 2 x 2 2
 = 1 1 (vì 0,x ¡ )
 x2 x 1 x2 x 1
 0,25
 1
 Suy ra: A , đẳng thức xảy ra khi x 2 0 x 2
 3
 0,25
 1
 Suy ra: minA = , khi x 2
 3
3 1 Tìm được A(0; 3); B(0; 7) 1,0
 Suy ra I(0; 5) 0,5
 2 Hoành độ giao điểm J của (d 1) và (d2) là nghiệm của PT: x + 3 = 0,5
 3x + 7 0,5
 x = – 2 yJ = 1 J(-2;1) 
 Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20 0,5
 OJ2 + IJ2 = OI2 tam giác OIJ là tam giác vuông tại J 0,5
 1 1
 S OI.OJ  5  20 5(đvdt)
 OIJ 2 2 4
 1 Vì CD  AB CM = MD 0,5
 Tứ giác ACED có AE cắt CD tại trung điểm của mỗi đường nên 0,5
 là hình bình hành 0,5
 Mà AE  CD tứ giác ACED là hình thoi 0,5
 2 Vì tam giác ABC có AB là đường kính (O) nên ∆ABC vuông tại 
 C, suy ra tứ giác CHMK là hình chữ nhật
 Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông ta có:
 MA.MC 0,5
 MH.AC = MA.MC MH = 
 AC
 MB.MC
 Tương tự ta có: MK = 
 BC
 0,5
 MA.MB.MC2
 MH.MK = 
 AC.BC
 0,5
 Mà MA.MB = MC2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông tại C)
 MC2.MC2 MC3 MH.MK MC
 MH.MK = = =
 MC.AB AB MC2 AB
 Mà MC = MK ( do CHMK là hình chữ nhật)
 MH.MK MC 2MC CD
 = = =
 HK.MC AB 2AB 4R
 HM MK CD
 Vậy:  = (đpcm)
 HK MC 4R 0,5
 3 Lấy O’ đối xứng với O qua A, suy ra O’ cố định. 0,5
 Tứ giác COC’O’ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau 
 tại trung điểm A của mỗi đường. 0,5
 Do đó O’C’ = OC = R không đổi 0,5
 Suy ra C’ nằm trên đường tròn (O’;R’) cố định khi M di chuyển trên đường kính AB. 0,5
 5 Vì a + b + c = 1 nên
 c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b)
 a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c) 0,5
 b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c)
 nên BĐT cần chứng minh tương đương với:
 c a c b b a b c a b a c 
 2
 a b a c b c 0,5
 2 2 2
 c a c b b a b c a b a c 
 2
 a b a c b c 
 Mặt khác dễ thấy: x2 y2 z2 xy yz zx , với mọi x, y, z (*) 0,5
 Áp dụng (*) ta có:
 VT b c a b c a 2
 1
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = đpcm
 3 0,5
Chú ý:
1) Nếu thí sinh làm bài không làm bài theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ 
số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Bài hình không vẽ hình thì không chấm điểm.