Đề thi chọn học sinh giỏi trường năm học 2013 – 2014 (ngày 14/09) môn: toán

Phũng GD – ĐT Hương Sơn
 Trường THCS Thủy Mai
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2013 – 2014 (Ngày 14/09)
	MễN: Toỏn Lớp 9	Thời gian: 120 phỳt
Bài 1: (4 điểm):	Cho biểu thức A = 
Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức A có giá trị nguyên
Bài 2.(4 điểm): Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 x4 + y4 + z4 Biết x + y + z = 2
Bài 3.(4 điểm): Cho a, b, c, là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
Bài 4:(4 điểm):a) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn ( x; y) thoả món phương trỡnh: x2 -25 = y( y+6)
b) Tính giá trị của các biểu thức sau
	P = 
Bài 5 Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng 20cm. Trờn cạnh CD lấy điểm M. Đường thẳng vuụng gúc với BM tại M cắt AD tại N.
a) Cho MC = 15cm. Tớnh diện tớch tam giỏc BMN.
b) Xỏc định vị trớ của M trờn cạnh CD để ND cú độ dài lớn nhất.
Bài 1: (4 đ) ĐKXĐ: x ạ ±1; x ạ -6	0,5 đ
Rút gọn A = = 	2 đ
Biến đổi A = . 	0,5 đ
Để A nguyên thì x + 6 phải là ước của 2003
Từ đó tìm được x = {-2009; -7; -5; 1997} thoả mãn ĐKXĐ	1 đ
Bài 2. (4 điểm)
 Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 x4 + y4 + z4 Biết x + y + z = 2
áp dụng công thức Buhiacopski ta có:
 (2đ)
 => => (1đ)
 Vậy giá trị nhỏ nhất của 
 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = (1đ)
Bài 4. (4 điểm)
 Chứng minh bất đẳng thức:
Kí hiệu vế trái là A vế phải là B, xét hiệu A - B
 (0.5đ)
 = (0.5đ)
 = . (0.5đ)
 Do a, b, c bình đẳng nên giả sử , khi đó b(a - c) 0, c(b - a) 0, a(c - b) 0 (0.5đ)
 a3 b3 c3 =>abc + a3 abc + b3 abc + c3 => (0.5đ)
 =>A - B = (0.5đ)
 = (0.5đ)
 Mà nên A - B 0 (ĐPCM) Dấu bằng xẩy ra a = b = c (0.5đ)
Bài 5
 x2 -25 = y( y+6) 
Suy ra: x-y 7 -1 5 1 11 -5 4 2 19 -13
 x+y 1 -7 5 -11 -1 -5 13 -19 -2 -4
Vậy: cỏc cặp số nguyờn phải tỡm là: 
5
4 điểm
a) Tớnh diện tớch tam giỏc BMN:
2,0đ
+ Hai tam giỏc vuụng BCM và MDN cú: 
 (cựng phụ với )
 BCM MDN (*)
(cm)
 AN = AD – ND = 20 – 3,75 = 16,25 (cm)
1,0đ
+ Ta cú: 
 (cm2)
1,0đ
b) Xỏc định vị trớ của M:
2,0đ
Đặt MC = x (với ).
Từ (*) 
0,5đ
0,5đ
 Độ dài ND lớn nhất là ND = 5cm khi x = 10, hay M là trung điểm của CD.
0,5đ
Vậy: Để độ dài ND lớn nhất thỡ vị trớ của M là trung điểm của CD.
0,5đ