Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Lớp 10 THPT năm học 2018-2019 môn Toán - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
 HẢI DƯƠNG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 
 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 
 Thời gian làm bài: 180 phút 
 Ngày thi: 03/4/2019 
 (Đề thi gồm 01 trang) 
Câu I (2,0 điểm) 
 1) Cho hàm số y xx2 43 có đồ thị ()P . Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng 
 11
():dyxmm cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x12, x thỏa mãn 2 . 
 xx12
 2) Cho hàm số ym (1)2 x2 mxm 2 ( m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến 
trên khoảng (;2) . 
Câu II (3,0 điểm) 
 22 22
 xyx xyy33 x y 2
 1) Giải hệ phương trình 
 22
 xy x2120 x
 2) Giải phương trình (3)1x xx 4 x 2 x2 63 x . 
 3) Giải bất phương trình xxx32 (3 4 4) x 1 0. 
Câu III (3,0 điểm) 
    
 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 30 NC . Gọi P là 
 PA
giao điểm của AC và GN , tính tỉ số . 
 PC
 2) Cho tam giác nhọn ABC , gọi H,,EK lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh 
ABC,, . Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là S ABC và S HEK . Biết rằng 
 9
 SS 4 , chứng minh sin222ABC sin sin . 
 ABC HEK 4
 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại A. Đường thẳng AB có phương trình 
x y 30, đường thẳng AC có phương trình x 750y . Biết điểm M (1;10) thuộc cạnh 
BC , tìm tọa độ các đỉnh ABC , , . 
Câu IV (1,0 điểm) 
 Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy 
 chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm 
 việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy 
 làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản 
 phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần 
 sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất? 
 Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương x,,yz thỏa mãn xyyzxz 3. 
 xyz222
 Chứng minh bất đẳng thức 1. 
 xyz333 888
 ........................................ Hết ...................................... 
Họ và tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: ..................................................... 
Giám thị coi thi số 1: ............................................... Giám thị coi thi số 2: ............................................................ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM 
 HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 
 THPT – NĂM HỌC 2018 - 2019 
 MÔN: TOÁN 
 (Hướng dẫn chấm gồm 6 trang) 
 Câu Nội dung Điểm 
Câu I.1 Cho hàm số yx 2 43 x có đồ thị ()P . Tìm giá trị của tham số m để đường 
 1,0đ 
 thẳng ():dyxmm cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x12, x thỏa 
 11
 mãn 2 . 
 xx12
 Phương trình hoành độ giao điểm xx22 43 xmxx 53 m 0 (1) 0,25 
 Đường thẳng ()dm cắt đồ thị ()P tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 
 13
 (1) có hai nghiệm phân biệt 01340 mm . 0,25 
 4
 xx12 5
 Ta có 0,25 
 x12xm 3
 11 xx12 2 xx 12 52(3) m 1
 2 m (thỏa mãn) 0,25 
 xx12 xx12 03 m 2
Câu I.2 Cho hàm số ym (1)2 x2 mxm 2,( m là tham số). Tìm m để hàm số nghịch 
 1,0 đ 
 biến trên khoảng (;2) . 
 Với myx 1 2 3 . Hàm số nghịch biến trên . Do đó m 1 thỏa mãn. 
 0,25 
 m 10
 Với m 1. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;2) khi và chỉ khi m 0,25 
 2
 m 1
 12m . 0,25 
 Vậy 12 m 0,25 
CâuII.1 xyx 22 xyy33 x 22 y 21
 1,0 đ 
 Giải hệ phương trình 
 22
 xy x2120 x 2
 xyx 22 xyy33 x 22 y 2
 xyx 22 xyy 3( xy ) 3( x 22 y ) 2 0,25 
 xy333( xy ) 3 x 2 3 y 2 2
 xxx32331 yyy 32 331 
 0,25 
 (1)(1)xy33 xyyx 1 1 2
 Thế y x 2 vào phương trình (2) ta có 
 0,25 
 xx22( 2) x 2 x 12 0 x 32 x 2 x 12 0 . 
 2 x 3
 (3)(24)0x xx x 3 y 1. Hệ có nghiệm 0,25 
 y 1 CâuII.2 2
 Giải phương trình (3)1x xx 4 x 2 x 63 x (1) 
 1,0 đ 
 Điều kiện 1 x 4 . 
 Phương trình (1) (x 3)( 1 xxx 1) ( 4 1) 2 xx2 6 
 0,25 
 xx3 
 (3)x xxx 22 6
 1141 xx 
 11
 xx(3) 20 
 1141 xx 
 xx(3)0 
 0,25 
 11
 2(2)
 1141 xx 
 xx(3)0 x 0;3 x (Thỏa mãn điều kiện). 
 0,25 
 Với điều kiên 1 x 4 ta có 
 1
 1
 111 x 11 x 11
 2 . Dấu "" không xảy 
 1 1141 xx 
 411 x 1 0,25 
 41 x
 ra nên phương trình (2) vô nghiệm. 
 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 0 và x 3. 
CâuII.3 
 32 
 1,0 đ Giải bất phương trình xxx (3 4 4) x 1 0 (1) 
 Điều kiện x 1. 
 32 32
 xxx (344)10 x xxxx 3 14(1)10 x 0,25 
 3 
 xxx3231410(2) x 
 Xét x 1, thay vào (2) thỏa mãn. 
 3
 Xét xx 110 . Chia hai vế của (2) cho x 1 ta được bất phương trình 
 0,25 
 32
 xx
 340. 
 xx 11
 x 32 2
 Đặt t , ta có bất phương trình tt 340(1)(2)0 t t t 1 0,25 
 x 1
 10xx 10 10x 
 x 
 txx 111 xx 00 
 15 
 x 1 22 0 x
 xx 110 xx 2 
 15 
 1 x 
 2 0,25 
 15 
 Kết hợp x 1là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình 1; . 
 2 
    
Câu Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 30 NC . Gọi P là 
III.1 
 PA 
1,0 đ giao điểm của AC và GN , tính tỉ số . 
 PC
   
 Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Đặt AP k AC . A
     1   
 GP AP AG k AC AB AC 
 3 G 0,25 
 P
 11  
 N
 kACAB . B
 33 M C
    11       75   
 GN GM MN AM BC AB AC AC AB AC AB 
 36 66 0,25 
   
 Ba điểm GPN , , thẳng hàng nên hai vectơ GP, GN cùng phương. Do đó 
 11 1
 kk 
 2174 4  0,25 
 33 3 k k AP AC 
 757
 53155 5
 666
 4 PA 
 AP AC 4. 
 5 PC 0,25 
Câu Cho tam giác nhọn ABC , gọi H ,EK , lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh 
III.2 ABC,, . Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là S và S . Biết 
 ABC HEK 
1,0 đ 9
 rằng SS 4 , chứng minh sin222ABC sin sin . 
 ABC HEK 4
 Đặt SS ABC thì từ giả thiết suy ra A
 3 E
 SSS S K 
 EAK KBH HCE 4
 0,25 
 SSEAK KBH SHCE 3
 C
 SSS4 B H
 1
 AE.sin AK A
 SAEAK
 EAK 2 . cosAA .cos cos2 A 
 1
 SABACAB.sin AC A
 2
 1
 BK..sin BH B 
 SBKBHKBH 2 2
 . cosBB .cos cos B 
 SBCAB1
 AB.sin BC B 0,25 
 2
 1
 CH..sin CE C
 S CH CE
 HCE 2 . cosCC .cos cos2 C 
 1
 SACBCAC.sin BC C
 2
 SSS 33
 EAK KBH HCE cos222ABC cos cos 
 SSS44 0,25 
 39
 1sin222ABC 1sin 1sin sin 222 ABC sin sin . 0,25 
 44 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại A . Đường thẳng AB có phương 
 III.3 trình xy 30, đường thẳng AC có phương trình xy 750. Biết điểm M (1;10) 
 1,0 đ thuộc cạnh BC , tìm tọa độ các đỉnh A,,BC. 
 xy 30 x 2 
 Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình . Vậy A(2;1). 
 xy 750 y 1 0,25 
 xy 375 x y 
 Phương trình các đường phân giác của góc A là 
 252
 xy 350()d1 
 0,25 
 350xy ()d2
 Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao. 
 Xét trường hợp d1 là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A . 
 Phương trình đường thẳng BC là 370xy . 
 xy 30 x 1
 Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình B(1;4) . 
 3704xy y 
 Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 
 11
 x 0,25 
 xy 750 5 11 2
 C ; . 
 3702xy 55
 y 
 5
    16 48 8  
 MBMCMCMBM (2;6), ; nằm ngoài đoạn BC . Trường 
 55 5
 hợp này không thỏa mãn. 
 Nếu d2 là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A 
 Phương trình đường thẳng BC là xy 3310. 
 Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 
 xy 30 x 11
 B( 11;14) . 
 xy 3310 y 14
 Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 
 101 
 x 
 xy 750 5 101 18 0,25 
 C ; . 
 xy 3310 18 55
 y 
 5
    96 32 8  
 MBMCMCMBM (12;4), ; thuộc đoạn BC . 
 55 5
 101 18
 Vậy AB(2;1), ( 11;14), C ; . 
 55
Câu IV Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một 
 1,0 đ 
 máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên 
 liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II 
 cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại 
 I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên 
 dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản 
 phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất? Giả sử sản xuất x()kg sản phẩm loại I và ykg() sản phẩm loại II. 
 Điều kiện x 0,y 0 và 2x 4yxy 200 2 100 
 Tổng số giờ máy làm việc: 31,5x y 
 0,25 
 Ta có 3x 1,5y 120 
 Số tiền lãi thu được là Txy 300000 400000 (đồng). 
 Ta cần tìm x, y thoả mãn: 
 xy 0, 0
 xy 2 100 (I) 0,25 
 3xy 1,5 120
 sao cho Txy 300000 400000 đạt giá trị lớn nhất. 
 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng 
 dx12: 2 y 100; d : 3 x 1,5 y 120 
 Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(100; 0) , cắt trục tung tại điểm B(0;50) . 
 Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm C(40;0) , cắt trục tung tại điểm D 0;80 . 
 2 y
 Đường thẳng d và d cắt nhau tại điểm E 20;40 . 
 1 2 0,25 
 Biểu diễn hình học tập nghiệm của D
 hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OBEC . B E
 x
 O C A
 x 0 x 0 x 20
 T 0; T 20000000 ; T 22000000 ; 
 y 0 y 50 y 40
 x 40
 T 12000000 0,25 
 y 0
 Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm 
 loại I và 40kg sản phẩm loại II. 
Câu V Cho các số thực dương x,,yz thỏa mãn xyyzxz 3 . Chứng minh bất đẳng thức 
1,0 đ 
 xyz222 
 1. 
 xyz333 888
 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 
 (2)(24)xxxxx 22 6
 xxxx32 8 ( 2)( 2 4) 
 22 0,25 
 xx222
 2
 x3 8 xx 6 yyzz222222
 Tương tự, ta cũng có 22; . 
 yz33 88yy 66 zz 
 Từ đó suy ra: 
 xyz222222 x 2 y 2 z 2
 222 . (1) 
 xyz333 888xx 666 yy zz 
 2
 ab22 ab 
 Chứng minh bổ đề: Cho x,0y và ab, ta có: * 
 xy xy 
 Ta có 
 22 2
 ay bx ab 22
 *0 a22 y b x x y xy a b ay bx 
 xy x y
 ab
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 
 x y 0,25 
 Áp dụng bổ đề ta có 
 2
 xyz222 xy z 2
 22 222 222 
 xx 666 yy zz xy xy 126 zz 
 2(xyz )2
 . 
 xyz222 ()18 xyz
 Đến đây, ta chỉ cần chứng minh: 
 2(xyz )2
 13 
 xyz222 ()18 xyz
 Do xyz222 ()18 xyz 
 2
 xyz xyz218 xyyzzx 0,25 
 xyz2 xyz 12 0
 Nên 32() xyz2222 x y z ()18 xyz 
 xyzxyz222 6 (4) 
 Mặt khác, do x ,yz , là các số dương nên ta có: 
 xyzxyyzzx222 3
 xyz 3( xyyzzx ) 3 0,25 
 Nên bất đẳng thức (4) đúng. 
 Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh. 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz1. 
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.