Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 4

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 (cấp trường)
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT
Câu1 (4Điểm)
 Cho phương trình: 
 1.Giải phương trình với m = 
 2.Tìm m để phương trình có nghiệm x.
Câu2(3Điểm)
 Giải hệ phương trình:
Câu3 (6Điểm)
 1.Tính: 
 2.Cho khai triển: Tính hệ số của x10 
Câu4: (3Điểm)
 Tìm các điểm tại đó hàm số:
 y= không có đạo hàm
Câu5: (4Điểm)
 Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c.
 1.Tính thể tích tứ diện ABCD.
 2.Chứng minh rằng:
 (S là diện tích toàn phần của tứ diện)
.Hết..
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
MÔN: TOÁN
THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT
CÂU
 NỘI DUNG
ĐIỂM
 1/1
 1/2
 2
 3/1
 3/2
4
 5/1
 5/2
*Tập xác định:x
*PT tương tương: sin22x-2sin2x+m-1/2=0
1)Với m=1/2:Thay PT ta được: sin22x-2sin2x=0
 x= kết hợp điều kiện nghiệm : x=k
2)*Đặt t=sin2x do x nên 0<t<1 ta được:
 t2-2t-1/2=-m với 0<t<1
*Xét HS: y=t2-2t-1/2 với 0<t<1 suy ra:-3/2<y<-1/2 (Yêu cầu HS lập bảng)
*Để PT có nghiệm khi và chỉ khi 1/2<m<3/2
*Điều kiện:
*Hai vế của PT của hệ không âm,bình phương 2vế ta được:
 là nghiệm của hệ
1) =
 ==
=-2014
2) ==
*Hệ số chứa x10 ứng với suy ra: Vậy i=0;1;2;3
* Vậy hệ số chứa x10 là: 
*Hàm số có đạo hàm tại các điểm x với x0 và cos0 Hay HS có đạo hàm tại các điểm x0 và x2/ (2k+1)
*Tại x=0:
 Không tồn tại giới hạn.(Yêu cầu chứng minh cụ thể)
*Tại điểm x=2/(2k+1)
 =
+=
==
+ (tương tự)
 Vậy không tồn tại giới hạn tại điểm x=2/(2k+1)
*Tóm lại HS không có đạo hàm tại x=0 và x=2/(2k+1)
1) 
*Qua điểm B;C;D dựng các đường thẳng song song các cạnh tam giác BCD như hình vẽ suy ra
AD=DE=DG=a;AB=BE=BF=c;AC=CF=CG=b Vậy tam giác AEF;AG F;AGE vuông tại A
*
*VABCD=1/4VAEG F=AE.A F.AG=
2)*Diện tích các mặt của tứ diện bằng nhau và bằng abc/4R=S/4
*BĐT tương đương a2+b2+c2 9R2
*Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
 a2+b2+c2=
 =6R2-2()
 =9R2-()2 
*Dấu bằng xảy ra khi O trùng trọng tâm G tam giác ABCtam giác ABC đềuABCD là tứ diện đều.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
1,0
1,0
0,5
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
1,0
0,5