Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 9 môn Toán - Sở GD&ĐT Thành phố Đà Nẵng (Có lời giải)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 Môn thi: TOÁN
 Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
 a 1 a a 1 a2 a a a 1
 Cho biểu thức: M với a > 0, a 1.
 a a a a a a
 a) Chứng minh rằng M 4. 
 6
 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N nhận giá trị nguyên?
 M
Bài 2. (2,0 điểm) 
 a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3, y 6 x và y mx có đồ thị lần 
lượt là các đường thẳng (d 1), (d2) và ( m). Với những giá trị nào của tham số m thì 
đường thẳng ( m) cắt hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao 
cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?
 b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần 
lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố 
định I(1 ; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy 
 1 1
ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q .
 OM2 ON2
Bài 3. (2,0 điểm)
 17x 2y 2011 xy
 a) Giải hệ phương trình: 
 x 2y 3xy.
 1
 b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x y z z x (y 3).
 2
Bài 4. (3,0 điểm) 
 Cho đường tròn (C) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động 
trên (C) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O 
qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường 
thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt 
nhau tại F.
 a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
 b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi.
 c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn 
nhất.
Bài 5. (1,0 điểm) 
 Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
 ---HẾT---
Họ và tên thí sinh: ................................................. Số báo danh: ........................
Chữ ký của giám thị 1: ............................. Chữ ký của giám thị 2: ........................... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011
 Môn thi: TOÁN
 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
 Dưới đây là sơ lược biểu điểm của đề thi Học sinh giỏi lớp 9. Các Giám khảo thảo luận 
 thống nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày. Tổ chấm có thể 
 phân chia nhỏ thang điểm đến 0,25 điểm cho từng ý của đề thi. Tuy nhiên, điểm từng bài, từng câu 
 không được thay đổi. Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để 
 việc chấm phúc khảo sau này được thống nhất và chính xác. 
 Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác nhưng phải nằm trong chương trình được học thì 
 bài làm đúng đến ý nào giám khảo cho điểm ý đó.
 Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào 
 tạo tại Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT.
 BÀI-Ý ĐỀ -ĐÁP ÁN ĐIỂM
 a 1 a a 1 a 2 a a a 1
 Cho biểu thức: M với a > 0, a 1.
 a a a a a a
 Bài 1 a) Chứng minh rằng M 4. 
 6
 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N nhận giá trị nguyên.
 M 2,00
 a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1
 Do a > 0, a 1 nên: và
 a a a ( a 1) a 0,25
 a 2 a a a 1 (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a 1
 a a a a (1 a) a (1 a) a 0,25
 1.a
 a 1
(1,25đ) M 2
 a 0,25
 2
 Do a 0; a 1 nên: ( a 1) 0 a 1 2 a 0,25
 2 a
 M 2 4
 a 0,25
 6 3
 Ta có 0 N do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
 M 2 0,25
 6 a
 1.b Mà N = 1 1 a 4 a 1 0 ( a 2)2 3 
(0,75đ) a 1 2 a
 a 2 3 hay a 2 3 (phù hợp) 0,25
 2
 Vậy, N nguyên a (2 3) 0,25
 a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3 , y 6 x và y mx có đồ thị lần lượt 
 là các đường thẳng (d 1), (d2) và ( m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường 
 thẳng ( m) cắt hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm 
 Bài 2 A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?
 b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt 
 trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định 
 I(1 ; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá 2,00 1 1
 trị nhỏ nhất của biểu thức Q .
 OM2 ON2
 Điều kiện để ( m) là đồ thị hàm số bậc nhất là m 0 0,25
 Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và ( m) là:
 0,5x 3 mx (m 0,5)x 3 
 2.a Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5 0 hay m 0,5 0,25
(0,75đ)
 Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và ( m) là:
 6 x mx (m 1)x 6
 Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0 hay m 1
 Vậy điều kiện cần tìm là: 1 m 0,5; m 0 0,25
 Đặt m = xM và n = yN mn 0 và m 1 (*)
 Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b 0,25
 0 am b
 2 a b hệ thức liên hệ giữa m và n là 2m n mn
 n b 0,25
 1 2
 2.b Chia hai vế cho mn 0 ta được: 1 (**)
(1,25đ) m n
 2 2
 1 2 1 4 4 1 1 2 1 
 1 2 2 5 2 2 
 m n m n mn m n m n 0,25
 1 1 1 2 1
 Q ; dấu “=” xảy ra khi ; kết hợp (**): m = 5, n = 2,5 (thỏa (*))
 m2 n2 5 m n 0,25
 1
 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 
 5 0,25
 17x 2y 2011 xy
 a) Giải hệ phương trình: (1) 
 x 2y 3xy.
 Bài 3 
 1
 b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x y z z x (y 3) (2)
 2 2,0 đ
 17 2 1 1007 9
 2011 x 
 y x y 9 490
 Nếu xy 0 thì (1) (phù hợp)
 1 2 1 490 9
 3 y 
 y x x 9 1007 0,50
 17 2 1 1004
 3.a 2011 
 y x y 9
(1,25đ) Nếu xy 0 thì (1) xy 0 (loại)
 1 2 1 1031
 3 
 y x x 18 0,25
 Nếu xy 0 thì (1) x y 0 (nhận). 0,25
 9 9 
 KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là (0;0) và ; 
 490 1007 0,25
 Điều kiện x ≥ 0; y z ≥ 0; z x ≥ 0 y ≥ z ≥ x ≥ 0 0,25
 3.b (2) 2 x 2 y z 2 z x x y z z x 3
(0,75đ)
 2 2 2
 ( x 1) ( y z 1) ( z x 1) 0 0,25 x 1 x 1
 y z 1 y 3 (thỏa điều kiện)
 z 2
 z x 1 
 0,25
 Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính F
 AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) 
 sao cho M không trùng với các điểm A và B. M
 Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường 
 thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng 
 AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) B
 C A O
 Bài 4 tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và 
 CN cắt nhau tại F.
 a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng 
 hàng.
 E (C )
 b) Chứng minh rằng tích AMAN không 
 đổi.
 c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam 
 giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất. N 3,0 đ
 MN  BF và BC  NF 0,25
 A là trực tâm của tam giác BNF 0,25
 4.a FA  NB
(1,00đ)
 Lại có AE  NB 0,25
 Nên A, E, F thẳng hàng 0,25
 C· AN M· AB , nên hai tam giác ACN và AMB đồng dạng. 0,25
 4.b AN AC
 Suy ra: 
(0,75đ) AB AM 0,25
 Hay AM AN ABAC 2R 2 không đổi (với R là bán kính đường tròn (C )) 0,25
 2
 Ta có BA BC nên A là trong tâm tam giác BNF C là trung điểm NF (3)
 3 0,25
 Mặt khác: C· AN C· FM , nên hai tam giác CNA và CBF đồng dạng
 CN AC
 4.c CN CF BCAC 3R 2
(1,25đ) BC CF 0,25
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF CN CF 2 CN CF 2R 3 không đổi 0,25
 Nên: NF ngắn nhất CN =CF C là trung điểm NF (4) 0,25
 (3) và (4) cho ta: A là trong tâm tam giác BNF NF ngắn nhất
 0,25
 Bài 5 Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên. 0,75
 Đặt: S = 123456789101112 
 S
 3467891112 (1) là một số nguyên 
 100
 hai chữ số tận cùng của S là 00 0,50
 Mặt khác, trong suốt quá trình nhân liên tiếp các thừa số ở vế phải của (1), nếu chỉ để ý 
(1,00đ)
 S
 đến chữ số tận cùng, ta thấy có chữ số tận cùng là 6 (vì 34=12; 26=12; 27=14; 
 100
 48=32; 29=18; 811=88; 812=96) 0,25
 Vậy ba chữ số tận cùng của S là 600 0,25
 --- Hết --- Điều kiện x ≥ 0; y z ≥ 0; z x ≥ 0 y ≥ z ≥ x ≥ 0 0,25
 x 1 y z 1 z x 1
 Theo BĐT Cauchy: x ; y z ; z x 
 2 2 2
 1
 VP x y z z x (y 3) VT
 3.b 2 0,25
(0,75đ)
 x 1 x 1
 Do đó y z 1 y 3 thỏa điều kiện
 z 2
 z x 1 
 0,25
 PHÒNG GD-ĐT CẨM THỦY KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (ĐỀ SỐ 3)
 năm học : 2011 - 2012
 Môn : TOÁN 
 (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)
 Bài 1 ( 3,0 điểm)
 2ab a x a x 1
 Cho các số dương: a; b và x = . Xét biểu thức P = 
 b 2 1 a x a x 3b
 1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
 2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
 Bài 2 (3,0 điểm)
 Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:
 x3 3x 2 2 y
 3
 y 3y 2 4 2z
 3
 z 3z 2 6 3x
 Bài 3 ( 3,0 điểm)
 n n 3 5
 Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = a +b , với a = ; b =
 2
 3 5
 .
 2
 n + 1 n + 1 n n
 1. Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( a + b ) – ab(a + b )
 2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.
 n n 2
 5 1 5 1 
 3. Chứng minh Sn – 2 = . Tìm tất cả các số n để S n – 
 2 2 
 2 là số chính phương.
 Bài 4 (5,0 điểm)
 Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. 
 Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp 
 tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O 1) và N 
 là tiếp điểm thuộc (O2).
 1. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường 
 thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB. 2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường 
 thẳng MN cắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính 
 độ dài đoạn thẳng CD.
Bài 5: (4đ): Cho ABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là 
E , F , N . 
 AB AC 2AM
a) Chứng minh : 
 AE AF AN
b) Giả sử đường thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt 
AB tại P đường thẳng KM cắt AC tại Q.
 Chứng minh PQ//BC.
Bài 6: (2 điểm)
 Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :
 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a
 ------------- HẾT-------------
 HƯỚNG DẪN CHẤM: ĐỀ SỐ 3
Câu 1. (3,0 điểm)
 Tóm tắt lời giải Điểm
 1. (2.0 điểm) 0,25
 Ta có: a; b; x > 0 a + x > 0 (1)
 a(b 1)2 0,25
 Xét a – x = 0 (2)
 b 2 1
 Ta có a + x > a – x ≥ 0 a x a x 0 (3) 0,25
 Từ (1); (2); (3) P xác định
 Rút gọn:
 2ab a(b 1)2 a
 Ta có: a + x =a a x (b 1) 0,25
 b 2 1 b 2 1 b 2 1
 2ab a(b 1)2 a
 a - x =a a x b 1 0,25
 b 2 1 b 2 1 b 2 1
 a a
 (b 1) b 1
 2 2 1 b 1 b 1 1
 P = b 1 b 1 
 a a 3b b 1 b 1 3b 0,25
 (b 1) b 1 1
 b 2 1 b 2
 2 1 4
 ￿ Nếu 0 < b < 1 P = 
 2b 3b 3b 0,25
 1 3b 2 1
 ￿ Nếu b 1 P = b 
 3b 3b
 2. (1.0 điểm) 0,25
 Xét 2 trường hợp:
 4 4
 ￿ Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P = P 
 3b 3
 1 b 1 2b
 ￿ Nếu b 1, a dương tuỳ ý thì P = b 
 3b 3 3b 3 b 1 2 0,25
 Ta có: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
 3 3b 3
 2b 2 0,25
 Mặt khác: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
 3 3
 2 2 4
 Vậy P , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
 3 3 3
 4
 KL: Giá trị nhỏ nhất của P =
 3 0,25
 0,25
Câu 2 (3,0 điểm)
 Tóm tắt lời giải Điểm
Biến đổi tương đương hệ ta có
 (x 2)(x 1)2 2 y
 (y 2)(y 1)2 2(2 z)
 1,00
 2
 (z 2)(z 1) 3(2 x)
Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) 0,50
 (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 6 = 0
 0,25
 (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0
 0,25
 x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
 0,25
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
 0,50
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho
 0,25
Câu 3 (3,0 điểm)
 Tóm tắt lời giải Điểm
 1. (1,0 điểm)
 n+2 n+2 
 Với n ≥ 1 thì Sn + 2 = a + b (1) 0,25
 Mặt khác: (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn) = an+2 + bn+2 (2) 0,50
 Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh 0,25
 2. (1.0 điểm)
 Ta có: S1 = 3; S2 = 7 0,25
 Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n ≥ 1 thì Sn+2 = 3Sn+1 - Sn 0,25
 Do S1, S2 Z nên S3 Z; do S2, S3 Z nên S4 Z 0,25
 Tiếp tục quá trình trên ta được S5; S6;...; S2008 Z 0,25
 3. (1.0 điểm)
 2 n 2 n
 5 1 5 1 
 Ta có Sn – 2 = 2
 2 2 2 2 0,25
 n 2 n 2 n
 5 1 5 1 5 1 5 1 
 = 2 
 2 2 2 2 
 n n 2
 5 1 5 1 
 = đpcm
 2 2 0,25
 5 1 5 1
 Đặt a1 = ; b1 = a1 + b1 = 5 ; a1b1 = 1
 2 2
 n n
 Xét Un= a1 b1
 n+1 n + 1 n n
 Với n ≥ 1 thì Un+2 = (a1 + b1)(a1 - b1 ) – a1b1(a1 - b1 ) Un+2 = 5 Un+1 – 
 Un 0,25
 Ta có U1 = 1 Z; U2 = 5 Z; U3 = 4 Z; U4 = 3 5 Z;...
 Tiếp tục quá trình trên ta được Un nguyên n lẻ
 0,25
 Vậy Sn – 2 là số chính phương n = 2k+1 với k Z và 0 k 1003
Câu 4 (5,0 điểm)
 Tóm tắt lời giải Điểm
 F
 D
 N
 I
 M
 C
 S B
 A O1 E O O2
 0,25
 0.25
 0,25
1. (2,5 điểm) O1M; O2N  MN O1M/ / O2N 0,25
 Do O1; E; O2 thẳng hàng nên  MO1E =  NO2B 0,50
Các tam giác O1ME; O2NB lần lượt cân tại O1 và O2 nên ta có:  MEO1=  NBO2 
(1) 0,25
 0 0
Mặt khác ta có:  AME = 90  MAE +  MEO1= 90 0,25
(2) 0,25
 0 0
  MAE +  NBO2 = 90  AFB = 90 0,25
 Tứ giác FMEN có 3 góc vuông Tứ giác FMEN là hình chữ nhật
  NME =  FEM 0,25
(3) 0,25
 0
Do MN  MO1  MNE +  EMO1 = 90 
(4) 0,5
Do tam giác O1ME cân tại O1  MEO1 =  EMO1 
(5) 0,25
 0 0
Từ (3); (4); (5) ta có:  FEM +  MEO1= 90 hay  FEO1 = 90 (đpcm) 0,25
2. (2,5 điểm) 0,5
Ta có EB = 12 cm O1M = 3 cm < O2N = 6 cm
 MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B.
 O1M SO1 0,25
Gọi I là trung điểm CD CD  OI OI// O1M //O2N 
 O N SO
 2 2 0,25
 SO2 = 2SO1 SO1+O1O2 = 2SO1 SO1= O1O2 Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm SO1= O1O2 = 9 cm SO =SO1 + O1O = 15cm
 OI SO
Mặt khác: OI = 5 cm
 O1M SO1
Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI2 + OI2= CO2 CI2 + 25 = CO2
Ta có: CO = 9 cm CI2 + 25 = 81 CI = 56
 CD = 4 14 cm
Câu 5 (2,0 điểm)
 A Điểm
 E
 E
 N
 I
 B M C
 S
 a)
 Kẻ BI,CS // EF (I, S AM )
 AB AI AC AS
 Ta có: , 
 AE AN AF AN
 AB AC AI AS
 ( )
 AE AF AN AN 1,0
 Ta có: BIM CSM (cgc)
 IM MS
 Vậy: AI AS AI AI IM MS 2AM
 Thay vào (*) ta được (đpcm) 
 0,5
 Khi d // BC EF // BC N là trung điểm của EF 0,5
 +Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP tại L
 Ta có: NFP NFL(cgc) EP LF 0,5
 Do đó : A
 K
 EP LF KF
 (1) L 0,5
 PB PB KB N
 E F
+Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt P Q
 KM tại H
 Ta có BMH CMQ(cgc)
 BH QC B M C
 0,5 FQ FQ KF
 Do đó: (2)
 QC BH KB
 FP FQ
 Từ (1) va (2) PQ // BC (đpcm)
 PB QC 0,5
 Bài 6: 2 điểm)
 Do a <1 a 2 <1 và b <1
 Nên 1 a2 . 1 b 0 1 a2b a2 b 0
 2 2
 Hay 1 a b a b (1) 0,5
 Mặt khác 0 <a,b <1 a2 a3 ; b b3
 b a 2 a 3 b3
 Vậy a 3 b3 1 a 2b 0,5
 Tương tự ta có 
 b3 c3 1 b2c
 a3 c3 1 c2a 0,25
 0,25
 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a
 0,5
 UBND HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2013-2014
 MÔN: TOÁN LỚP 9
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
 x y x y x y 2xy 
 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P : 1 .
 1 xy 1 xy 1 xy 
 a) Rút gọn biểu thức P.
 2
 b) Tính giá trị của P với x .
 2 3
 Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm 
 1 3
 số: y x và y x .
 2 2
 a) Vẽ đồ thị (D) và (L).
 b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông.
 Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x4 5x3 38x2 5x 6 0.
 Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh 
 BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 
 1 1 1
 Chứng minh rằng: .
 AM2 AI2 a 2
 Bài 5: (6 điểm) 
 Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO / cắt đường tròn ( O ) 
 và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E (