Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 9 lần 2 năm học 2019-2020 môn Toán - Trường THCS Hương Sơn (Có đáp án)

 PHÒNG GD& ĐT TÂN KỲ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (lần 2)
TRƯỜNG THCS HƯƠNG SƠN Năm học: 2019-2020
 Môn: Toán
 Thời gian làm bài: 150 phút
 x x x 1 x 2 3 x 10 
 . 
Bài 1 (4 điểm). Cho biểu thức: P = 
 x 2 x 2 x x 1 x 2 x 3 
 a) Rút gọn biểu thức P.
 b) Tính giá trị của P với x = 3 7 50 3 7 50
Bài 2 (3 điểm).
 a) Tìm các số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – 2 có giá trị là một 
số nguyên tố
 b) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24 với n là số nguyên.
Bài 3 (3 điểm). 
 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + xy - 2x2 – 3x + 4 = 0.
 b) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c 2019 . 
 a2 b2 c2
 Tìm GTNN của: M 
 b c c a a b
Bài 4 (4 điểm). Giải các phương trình sau:
 a) x 2 10 x x2 12x 40
 3 x
 b) 2x 1 x 2 
 2
Bài 5 (6 điểm). 
 Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là một điểm bất kỳ trên cạnh 
BC ( M khác B và C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm 
E sao cho BE = CM.
 a) Chứng minh rằng: OEM vuông cân.
 b) Chứng minh: ME // BN.
 c) Từ C kẻ CH  BN ( H BN). Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TOÁN 9 LẦN 2
 Ý Đáp án Điểm
 x x x 1 x 2 3 x 10 
 . 
Bài 1 (4 điểm). Cho biểu thức: P = 
 x 2 x 2 x x 1 x 2 x 3 
 a) Rút gọn biểu thức P.
 b) Tính giá trị của P với x = 3 7 50 3 7 50
a ĐKXĐ: x > 0, x 4 0,5
 x x x 1 x 2 x 3 3 x 10
(2 điểm) P = . 2 1
 x 1 x 2 x 2
 x x 2 . x 1 x 3 
 P = 3 1
b Ta có x3x = x3 72 50x 317 x50 3 = 14x – 3xx 3 0,5
(2 điểm) x3 + 3x – 14 = 0 (x – 2)(x2 + 2x + 7) = 0 x = 2 0,5
 2 2 4 2 5
 Với x = 2 thì P = 0,5
 2 2 3 7
Bài 2 (3 điểm).
 a) Tìm các số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – 2 có giá trị là một 
số nguyên tố
 b) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24 với n là số nguyên.
a Ta có: P = n3 – 6n2 + 9n – 2 = (n – 2)(n2 – 4n + 1) 0,25
(1,5 điểm) Để P là số nguyên tố thì n – 2 = 1 hoặc n2 – 4n + 1 = 1 0,25
 +) n – 2 = 1 n = 3 0,5
 +) n2 – 4n + 1 = 1 n = 0 hoặc n = 4
 Thử lại ta thấy n = 4 thì P là số nguyên tố 0,25
 Vậy n = 4 thì P là số nguyên tố 0,25
b Ta có: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 0,5
(1,5 điểm) Do n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là tích của 5 số nguyên liên tiếp 0,25
 A  3 (1)
 Trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có hai số chẵn liên tiếp 0,25
 A  8 (2) 
 Mà (3, 8) = 1 (3) 0,25
 Từ (1), (2), (3) A  3.8 = 24. 0,25
Bài 3 (3 điểm). 
 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + xy - 2x2 – 3x + 4 = 0.
 b) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c 2019 . 
 a2 b2 c2
 Tìm GTNN của: M 
a Ta có: x2y + xy - b2x 2c – 3xc + a4 = a0 b 0,25
(1,5 điểm) xy(x + 1) – 2x(x + 1) – (x + 1) = -5
 (x + 1)(xy – 2x - 1) = -5 0,25
 Do x, y là số nguyên nên ta có bảng 0,5 x + 1 1 -1 5 -5
 xy – 2x - 1 -5 5 -1 1
 x 0 -2 4 -6
 y Không có -1 7/2 1
 Vậy PT có nghiệm (x, y) = (-2; -1), (-6; 1) 0,5
b Vì a, b, c dương nên theo bđt Cosi ta có: 0,5
 a2 b c a2 b c
(1,5 điểm) 2 . a . 
 b2 c a c2 a b
 Tươngb c tự 4 b c b4; c
 c a 4 a b 4
 a b c
 Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có M a b c . 0,5
 a b c 2019
 Hay M . 2
 2019
 Dấu bằng xảy2 ra khi a 2 b c 
 2019 2019
 Vậy min M a b c 3 0,5
 2 3
Bài 4 (4 điểm). Giải các phương trình sau:
 2 3 x
 a) x 2 10 x x 12x 40 b) 2x 1 x 2 
 2
a ĐKXĐ: 2 x 10 0,5
(2 điểm) Ta có: x2 – 12x + 40 = (x – 6)2 + 4 4 0,5
 Dấu “=” xẩy ra khi x = 6 (1)
 Theo Bunhiacopxki ta có: 0,5
 x 2 10 x 1 1 x 2 10 x 4
 Dấu “=” xẩy ra khi x = 6 (2)
 Từ (1), (2) PT có nghiệm x = 6. 0,5
 1
b ĐKXĐ: x 0,25
 2 3 x 2x 1 x 2 x 3
(2 điểm) 2x 1 x 2 0 0,75
 1 2 2x1 1 x 2 2
 x 3 0 x 3 0,75
 Vậy PT có nghiệm2x 1 xx = 23 2 0,25
Bài 5 (6 điểm). 
 Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là một điểm bất kỳ trên cạnh 
BC ( M khác B và C). ATia AM cắtE đườngB thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E 
sao cho BE = CM.
 a) Chứng minh rằng: OEM vuông cân.
 O M
 b) Chứng minh: ME // BN. H
 c) Từ C kẻ CH  BN ( H BN). Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng.
a D C N 0,5
(2,5 điểm) Xét OMC = OEB (c-g-c) 1
 OM = OE (1) và E· OB M· OC
 Mà M· OB M· OC 900 M· OB E· OB 900 (2) 0,5 Từ (1) và (2) OEM vuông cân. 0,5
b Ta có: OMC : OEB (g-g) 0,5
(2 điểm) CM MN
 (3)
 BM MA
 Mà CM = BE, BM = AE (4) 0,5
 BE MN
 Từ (3), (4) 0,5
 AE MA
 ME // BN (định lý Ta lét đảo) 0,5
c Gọi H’ là giao điểm của OM với BN 0,25
(1,5 điểm) Do EM // BN O· ME M· H' B 450 (5)
 MCO : MHB (g g) 0,25
 MO MC
 0,25
 MB MH'
 OMB : CMH' (c g c) M· H'C M· BO 450 (6) 0,25
 Từ (5), (6) C· H' B 900 H’ trùng với H 0,25
 Vậy O, M, H thẳng hàng 0,25