Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn: Toán học

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD-ĐT NINH HÒA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC: 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: = cotg450
Bài 2: (4đ) Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa
	b) Rút gọn biểu thức Q
Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu 
với 
thì 
Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 450 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F. 
	Chứng minh rằng: 
Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013
Bài
Nội dung – Yêu cầu
Điểm
1
 = 1
 = cotg450
1đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
0,5đ
2a
Q có nghĩa và 
0,5đ
2b
* Nếu 1 < x < 2 ta có:
* Nếu x > 2 ta có:
0,75đ
0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25
3
Với điều kiện ta có:
M = 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,
Ta có: 
 (vì x dương)
Và: 
 (vì y dương)
Suy ra: M = 
Vậy giá trị lớn nhất của M là x = 2, y = 8
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,75đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
4
 (vì )
 (vì )
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
5
B
P
M
E
K
N
A
F
Q
C
Kẻ MPAB tại P, MQAC tại Q
Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N 
Do EMF = 450 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ
và ( vì có cùng chiều cao nhưng đáy EN bé hơn đáy EK)
Suy ra: (*)
Chứng minh được: 
 (**)
Từ (*) và (**) ta có: 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
6
B
P
I
O
A
Q
K
C
M
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC. Giao điểm của OA và PQ là I.
AB và AC là hai tiếp tuyến nên AB = AC và AO là tia phân giác của BAC
PAQ cân ở A và AOPQ
Áp dụng Pitago ta có:
MK2 = MO2 – R2 (MKO vuông tại K)
MK2 = (MI2 + OI2) – R2 (MOI vuông tại I)
MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) (BOP vuông tại B)
MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] (IOP vuông tại I và PA = PB)
MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2)
MK2 = MI2 + AI2 (IAP vuông tại I)
MK2 = MA2 (IAM vuông tại I)
 MK = MA
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
PHÒNG GD&ĐT PHÚ GIÁO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
TRƯỜNG THCS AN BÌNH (Thời gian : 120 phút)
Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức 
a/ Rút gọn Q
b/ Tính giá trị của Q khi 
Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức 
Bài 3(1đ): Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có 
Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2
 b/ Cho x +2y = 8 . T ìm giá trị lớn nhất của B=xy 
Bài 5(2đ): Giải phương trình
b/
Bài 6(2,5đ): Cho hình vuông cạnh a. Đường tròn tâm O, bán kính a cắt OB tại M .D là điểm đối xứng của O qua C . Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt CM tại E. CA cắt Dx tại F. Đặt 
a/ Chứng minh AM là phân giác của . Tính độ dài DM, CE theo a và 
b/ Tính độ dài CM theo a . Suy ra giá trị của 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài
Nội dung
Biểu chấm
1(1,5đ)
a.(1đ) 
A = 
ĐKXĐ: x 0; x 
 = 
 = 
b. (0,5 đ) Thay x = +2010 vào A ta có:
 A 
0.25
0.25
0.25
0.25
0,5
2(1đ)
Rút gọn biểu thức 
0.25
0.25
0.25
0.25
3(1đ) 
0.25
0.25
0.5
4(2đ)
a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2	
b/
5(2đ)
vậy nghiệm của pt là x=3
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
6(2.5đ)
 E
 F
 A B	
 M
 D O C 
 O
a/vì M thuộc đường tròn tâm O đuờng kính CD nên 
Mà (đuờng chéo hình vuông ) nên ( góc có cạnh vuông góc)
Do đó MC là tia phân giác của 
Ta thấy 
vuông tại M có và CD=2a nên
vuông tại D có DM là đường cao nên 
CE.CM=CD2 (1)
Mà 
Từ (1) ta có 
b/ gọi I là tâm hình vuông OABC ta có 
vuông tại I 
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Phßng GD- §T vÜnh t­êng
Tr­êng THCS vò di
==========
§Ò thi kh¶o s¸t häc sinh giái 
M«n: To¸n 9 
Thêi gian: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò )
----------------------------------------------
Bµi 1. (1,5 ®iÓm)
Rót gän c¸c biÓu thøc sau : 
a)A =++ ..... ++
b) B = x3 - 3x + 2000 víi x = + 
Bài 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
3x2 + 4x + 10 = 2
x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên)
Bµi 3: (2,0 ®iÓm)
Chøng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt k× ta lu«n cã: .
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo ?
Cho ba sè thùc kh«ng ©m sao cho . 
Chøng minh: . DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo ?
Víi gi¸ trÞ nµo cña gãc nhän th× biÓu thøc cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt ? Cho biÕt gi¸ trÞ bÐ nhÊt ®ã.
Bµi 4: (1,5 ®iÓm)
Mét ®oµn häc sinh ®i c¾m tr¹i b»ng « t«. NÕu mçi « t« chë 22 ng­êi th× cßn thõa mét ng­êi. NÕu bít ®i mét « t« th× cã thÓ ph©n phèi ®Òu tÊt c¶ c¸c häc sinh lªn c¸c « t« cßn l¹i. Hái cã bao nhiªu häc sinh ®i c¾m tr¹i vµ cã bao nhiªu « t« ? BiÕt r»ng mçi « t« chØ chë kh«ng qu¸ 30 ng­êi.
Bµi 5 ( 3,0 ®iÓm ) 
 1)Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a , gäi R vµ r lÇn l­ît lµ c¸c b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ABD vµ ABC.
Chøng minh :
Chøng minh : ; ( KÝ hiÖu lµ diÖn tÝch tø gi¸c ABCD )
 2) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã .Chøng minh : lµ sè v« tØ.
===============================================
Phßng GD- §T vÜnh t­êng
Tr­êng THCS vò di
--------------------
Hd chÊm §Ò thi kh¶o s¸t häc sinh giái (10 - 2010)
M«n: To¸n 9 
----------------------------------------------
Bµi
S¬ l­îc lêi gi¶i
Cho ®iÓm
Bµi 1.b
(1,5 ®)
¸p dông c«ng thøc (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), víi a=, b=
vµ biÕn ®æi => x3 = 6 + 3x
Suy ra B = 2006 
0,75
a
Cã A = +++...++ 
Rót gän, ®­îc A = .
0,75
Bµi 2a
(2,0®)
Giải, xác định đúng điều kiện: 
= 0
(Thỏa mãn)
0,25
0,25
0,25
b
Điều kiện : 
Từ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2
Thay vào (4): y2 – 2y + 1 ; Đúng với mọi giá trị của y.
Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5
 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)
0.5
0,25
c
Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0
x2 – 2y – 5 = 0 x2 = 2y2 + 5 x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 52y2 = 4k2 + 4k – 4
y2 = 2(k2 + k – 1) y chẵn
Đặt y = 2n; (n ) 4n2 = 2(k2 + k – 1) 2n2 + 1 = k(k + 1) (*)
Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) (*) vô nghiệmpt đã cho vô nghiệm
0,25
0,25
Bµi 3a
(2,0®)
Ta cã: 
VËy: 
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi 
0,25
0,25
b
Theo kÕt qu¶ c©u 3.a, ta cã:
mµ (gi¶ thiÕt)
nªn: (v× a, b, c kh«ng ©m nªn b + c kh«ng ©m) 
Nh­ng: (kh«ng ©m)
Suy ra: .
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi: 
0,25
0,25
0,25
c
Ta cã:
¸p dông kÕt qu¶ c©u 3.1, ta cã:
Suy ra: 
Do ®ã: khi vµ chØ khi: (v× lµ gãc nhän) 
0,25
0,25
0,25
Bµi 4
(1,5®)
+ Gäi sè « t« lóc ®Çu lµ ( x nguyªn vµ x ³ 2)
Sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ: 22x + 1.
+ Theo gi¶ thiÕt: NÕu sè xe lµ th× sè häc sinh ph©n phèi ®Òu cho tÊt c¶ c¸c xe, mçi xe chë sè häc sinh lµ y (y lµ sè nguyªn vµ 0 < y £ 30).
+ Do ®ã ta cã ph­¬ng tr×nh: 
0,25
0,25
0,25
+ V× x vµ y ®Òu lµ sè nguyªn d­¬ng, nªn ph¶i lµ ­íc sè cña 23.
Mµ 23 nguyªn tè, nªn: hoÆc 
NÕu th× (tr¸i gi¶ thiÕt)
NÕu th× < 30 (tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n).
+ VËy sè « t« lµ: 24 vµ tæng sè häc sinh ®i c¾m tr¹i lµ:
 häc sinh.
0,25
0,25
0,25
Bµi 5
(3,0®)
Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thoi nªn AC lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng BD,BD lµ ®­êng trung trùc cña AC.Do vËy nÕu gäi M,I,K lµ giao ®iÓm cña ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB víi AB,AC,BD th× ta cã I,K lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ADB,ABC
Tõ ®ã ta cã KB = r vµ IB = R.LÊy mét ®iÓm E ®èi xøng víi ®iÓm I qua M , Ta cã BEAI lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®­êng chÐo EI vµ AB vu«ng gãc víi nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®­êng )
0,25
1a
Ta cã mµ 
0,25
XÐt EBK cã ,®­êng cao BM.Theo hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng ta cã
0,25
Mµ BK = r , BE = BI = R; BM = Nªn (§pcm)
0,25
1b
XÐt vµ cã vµ chung 
Chøng minh t­¬ng tù ta ®­îc 
0,25
0,25
Ta cã 
Mµ theo ®Þnh lÝ Pi ta go trong tam gi¸c vu«ng AOB ta cã 
Tõ ®ã ta cã : 
0,25
0,25
2
0,25
KÎ tia Cx sao cho CA lµ tia ph©n gi¸c cña , tia Cx c¾t ®­êng th¼ng AB t¹i D.Khi ®ã Ta cã c©n t¹i C , c©n t¹i B.Theo tÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c BCD ta cã 
0,25
0,25
 ( V× .VËy lµ sè v« tØ
0,25
PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN 	 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ------------------------------------------------	 NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
 -------------------------
Bài 1(4đ) 
Tính tổng: 
b) Cho a, b, c, d là các số dương và . Hãy trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau:
Bài 2: (4đ)
 a) (2đ) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 
Chứng minh : 
(2đ) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho : 
 với n là số nguyên lớn hơn 2
Bài 3: (4đ)
 a) (2đ) Phân tích thành nhân tử:
 	M = với 
b) (2đ) Giải phương trình
Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: 
(0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
(1,5đ) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: (2 đ)
Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC ?
Bài 6: (4,0 đ) 
Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. 
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 
b) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
----HẾT----
ĐÁP ÁN
Bài 1(4đ, mỗi bài 2 điểm)
a) 
 b) 
(0,5 điểm).
(0,5 điểm).
(0,5 điểm)
.
	 (0.5 điểm)	
Bài 2: 	( 2 điểm ) 
* Vì a.b = 1 nên ( 1 đ )
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương 
 Ta có : 
Vậy ( 1đ )
( 2 đđiểm ) 
Viết được 
Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 99 (3) ( 0,75 đ )
Mặt khác : 100 
	 (4) ( 0,75đđ )
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26
Vậy số cần tìm ( 0,5 đ )
Bài 3(4đ) 
a) (2 điểm)	M = với 
	(0,25đ)
	(0,5đ)
	(0,5đ)
	(0,5đ)
	(0,25đ)
b) (2đ) Giải phương trình (1)
Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1) 	(0,75đ)
Với 	thì:
Nên PT vô nghiệm với 	(0,5đ)
Với x >1 Thì:
Nên PT vô nghiệm với x >1	(0,5đ)
Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1	(0,25đ)
Bài 4: (2 điểm)
a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên 
 (0,5 điểm)
b) Gọi là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua 
Ta có: . (0,5đ)
Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2) (1đ)
Bài 5:
Vẽ tam giác đều CMN 	
 (1 điểm)
mà
 vuông tại M.
. (1 điểm)
Bài 6: (4,0 đ) 	
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1,0 đ)
AB . EB = HB2 
AC . EH = AC . AD = AH2
=> ĐPCM (1 điểm)
b) S(ADHE)= AD.AE (0,75 đ)
 S(ADHE) (0,75 đ)
Vậy Max S(ADHE)=Khi AD = AE 
Hay A là điểm chính giữa của cung AB (0,5 đ)
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm)
	Thực hiện tính:
 với 
Bài 2: (2.5 điểm)
	Giải các phương trình:
 a. 
 b. 
Bài 3: (2.0 điểm)
a. Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên.
b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
 x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
Bài 4: ( 3.0 điểm)
	Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M. Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung điểm của DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K.
a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh Ð ICB = Ð IDK
c. Chứng minh H là trung điểm của DK.
Bài 5: ( 1.0 điểm)
	Cho A(n) = n2(n4 - 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II
Bài 1: (2.0 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức: . Với là các số dương.
b) Cho là hai số dương và .Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 	;	.
Bài 2: (2.0 điểm)
Giải hệ phương trình: 
Bài 3: (2.0 điểm)
	Hình chữ nhật ABCD có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm P. DB cắt PN tại Q và cắt MN tại O. Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM tại H.
a. Chứng minh HM = HN.
b. Chứng minh MN là phân giác của góc QMP. 
Bài 4: (3.0 điểm)
	Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. EF là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho E thuộc cung AF và EF = R. AF cắt BE tại H. AE cắt BF tại C. CH cắt AB tại I
a. Tính góc CIF.
b. Chứng minh AE.AC + BF. BC không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn.
c. Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích đó.
Bài 5: (1.0 điểm)
	Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm)
	Thực hiện tính:
 với 
0,75
Thay vào được: 
0,75
Bài 2: (2.5 điểm)
	Giải các phương trình:
a. 
. 
Đặt (y ³ 0) được: y2 - y - 2 = 0
0,50
Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = 2.
0,25
Với y = 2 giải được x1 = 0; x2 = -5.
0,25
Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm
0,25
Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x. Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương hai vế.
 b. 
0,25
0,50
 vô nghiệm; được x = 2. 
0,25
Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm.
0,25
Bài 3: (2.0 điểm)
a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên.
n =-1: Phương trình có nghiệm. Với n ¹ -1 Þ n+1¹0.
D’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) 
 = 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 =(n2 + 3n + 1)2.
0,50
D’³ 0 nên phương trình luôn có nghiệm.
0,25
D’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là số hữu tỉ.
0,25
b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
 x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
Giải: 
Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm.
Có: x1x2 = 1	x3x4 = 1	x1+x2 = -2009	x3 + x4 = -2010
0,25
Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1;	x3x4 = 1
(x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4)
	= (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 )
	= x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42
	= x32 - x22 - x12 + x42
	= (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 
 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2
0,50
Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 được : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019
0,25
Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)]
Bài 4: ( 3.0 điểm)
O
A
B
C
I
D
E
K
H
M
OB ^ BA; OC ^ CA ( AB, AC là các tiếp tuyến)
OI ^ IA (I là trung điểm của dây DE) .
Þ B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
0,75
ÐICB = ÐIAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) 	(1)
DK // AB (Cùng vuông góc với BO)
Þ Ð IDK = ÐIAB	(2)
Từ (1) và (2) được: Ð ICB = Ð IDK
1.0
Ð ICB = Ð IDK hay Ð ICH = Ð IDH Þ Tứ giác DCIH nội tiếp.
Þ ÐHID = Ð HCD
Ð HCD = Ð BED (Cùng chắn cung DB của (O))
Þ ÐHID = Ð BED Þ IH // EB 
Þ IH là đường trung bình của DEK Þ H là trung điểm của DK
1,25
(Mỗi bước cho 0,25 điểm)
Bài 5: ( 1.0 điểm)
Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1). chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.
- A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1). Do n(n - 1)(n+1) chia hết cho 3 nên A(n) chia hết cho 3 với mọi n.
0,25
- A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n). Do n5 - n chia hết cho 5 theo phecma nên A(n) chia hết cho 5 với mọi n.
0,25
- Nếu n chẵn Þ n2 chia hết cho 4 Þ A(n) chia hết cho 4. Nếu n lẻ Þ (n-1)(n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho 4. Þ A(n) chia hết cho 4 với mọi n.
0,25
- Ba số 3,4,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay A(n) chia hết cho 60.
0,25
 (Mỗi bước cho 0,25 điểm)
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II
Bài 1: (2.0 điểm)
a. Chứng minh bất đẳng thức: . Với là các số dương.
b. Cho là hai số dương và .Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 	;	.
0,50
0,50
P đạt giá trị nhỏ nhất tại: x = y = 
0,25
hoặc: 
=
0,50
- đạt GTNN tại x = y = .
- đạt GTNN tại x = y = . Nên M đạt GTNN tại x = y = .
0,25
Bài 2: (2.0 điểm)
Giải hệ phương trình: 
- Đặt S = x + y; P = xy được: 
0,25
- 
0,25
- Giải phương trình được ; 
0,25
- được ; được 
0,25
- Với ; có x, y là hai nghiệm của phương trình:
0,25
- Giải phương trình được .
0,25
- Với được có x, y là hai nghiệm của phương trình:
	. Phương trình này vô nghiệm.
0,25
- Hệ có hai nghiệm: ; 
0,25
A
B
C
D
P
M
N
Q
O
H
Bài 3: (2.0 điểm)
-Chứng tỏ MBND là hình bình hành Þ O là trung điểm của MN.
- OH // AB Þ OH ^ MN.
- ÞDHMN cân tại H (Trung tuyến vừa là đường cao) Þ HM = HN.
0,75
- OH // BM được: 
- ON // BP được: 
Þ Þ NH//PM
Þ Ð HNM = Ð NMP 
Þ Ð HMN = Ð NMP Þ MN là phân giác của góc QMP
1,25
Mỗi bước cho 0,25 điểm
Bài 5: (1.0 điểm)
	Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.
Giải:
Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c). Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5.
0,25
Giả sử a = 5 được 5bc = 5(5+b+c) Û bc = 5+b+c.
 	 Û bc -b - c + 1 = 6 Û (b-1)(c-1) = 6.
0,50
 b,c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ:
	 và 
Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7
0,25
A
B
E
F
C
H
I
Bài 4: (3.0 điểm)
O
- BE, AF là hai đường cao của DABC Þ CI là đường cao thứ ba hay CI^AB 
- ÞTứ giác IHFB nội tiếp Þ ÐHIF = ÐHBF hay ÐCIF = ÐEBF .
- DEOF đều nên ÐEOF = 600.
- Þ EF = 600 Þ ÐCIF = ÐEBF = 300.
1,0
- Chứng minh DACI đồng dạng với DABE 
- được: 
- Tương tự DBCI đồng dạng với DBAE được: 
- Cộng được: AE.AC + BF. BC = AB.AI + AB.BI =AB(AI + IB) = AB2 = const.
1.0
- Chứng minh DABC đồng dạng với DFEC.
- 
- Để lớn nhất Þ lớn nhất Þ CI lớn nhất. C chạy trên cung chứa góc 600 vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi I º O Þ DCAB cân Þ EF // AB.
- Lúc đó 
1,0
(Mỗi bước cho 0,25 điểm)
PHÒNG GD & ĐT LONG ĐIỀN	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI	 NĂM HỌC: 2009 – 2010
 Môn thi: Toán
 Thời gian: 150 Phút	
Bài 1: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm
Cho a, b là 2 số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng: a2 – b2 chia hết cho 8
Tính tổng: 
Giải
(0,5 điểm). Ta có: a2 – b2 = (a2 – 1) – (b2 – 1) = (a + 1)(a – 1) – (b + 1)(b – 1)
(0,5 điểm). Vì (a + 1)(a – 1) là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8
(0,5 điểm). Tương tự: (b +1)(b – 1) 8
(0,5 điểm). Vậy: (a2 – b2 ) 8 (đpcm)
b) 
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
Bài 2: (4điểm) Mỗi câu 2 điểm
Cho a, b, c là các số thực khác nhau. Chứng minh rằng:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải 
a) Ta có: 
(0,75 điểm)
(0,75 điểm)
(0,5 điểm)
= VP
(0,25 điểm)
b) 
 Tập xác định: D = [2009; 2010]
(0,25 điểm)
 Với "x Î D thì A ≥ 0. Do đó: A = 
1. Xét: 
(0,25 điểm) 
Ta có: (vì với "x Î D)
 A ≥ 1 với "x Î D
(0,25 điểm) Vậy: Amin = 1 khi 
(0,25 điểm) 
2. Xét:
(0,25 điểm) 
(vì , với "x Î D; BĐT Côsi)
 A2 ≤ 2 với "x Î D
 A với "x Î D
(0,25 điểm)Vậy Amax = khi: x – 2009 = 2010 – x 
(0,25 điểm) x = 2009,5
Bài 3: (4 điểm) Mỗi câu 2 điểm
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 7y = 55
b) Cho a, b, c, d là các số dương và Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau:
Giải
a) 3x + 7y = 55
(0,5 điểm). HS tìm được nghiệm nguyên tổng quát của phương trình trên:
(0,5 điểm).Để: 
(0,5 điểm).=> t Î {16; 17; 18}
(0,5 điểm).Vậy phương trình trên có 3 nghiệm nguyên dương là: (2; 7); (9; 4) ; (16; 1)
b) 
(0,5 điểm).
(0,5 điểm).
(0,5 điểm)
.
(0,5 điểm). (vì => ad = bc => )
Bài 4 (4 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm nằm trên đoạn OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J.
C 
J 
A 
I 
M 
D 
O 
O’ 
B 
a) Đường thẳng IJ là gì của đường tròn (O’) ? Giải thích.
b) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất.
Giải (h.1)
Hình 1
a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì ABCD : gt) ACMD là hình thoiAC // DM, mà ACCB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)
DMCB; MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)
D, M, J thẳng hàng.
Ta có : (vì )
Mà (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến)
(do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); và đối đỉnh)
(1,5 điểm)(0,5 điểm) IJ là tiếp tuyến của (O’), J là tiếp điểm
b) Ta có IA = IM
IO’ = = R (R là bán kính của (O))
O’M = O’B (bán kính (O’)
JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2
Mà IJ2 + O’J2 2IJ.O’J = 4SJIO’
(1,5 điểm). Do đó SJIO’ 
SJIO’ = khi IJ = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên :
2O’J2 = O’I2 = R2 O’J = 
(0,5 điểm) Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R
Bài 5 (4 điểm). 
a) Cho tam giác ABC. Hãy tìm điểm M sao cho tổng độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp AMB và BCM là nhỏ nhất.
b) Trong tất cả các tam giác có đáy bằng a, chiều cao bằng h, tam giác nào có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất ?
Giải
a) (h.2)
O1
R1
C 
B 
R2
O2
H 
M 
A 
Hình 2
Gọi O1, R1, O2, R2 lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp AMB và BCM (h.2). 
Xét O1AB : O1A + O1BAB
2R1AB
(0,5 điểm) 2R1 = AB AB là đường kính của (O1) và giả sử đường tròn (O1) đường kính AB cắt AC tại H thì = 900 (1)
(0,5 điểm)Tương tự với O2BC : 2R2BC. Suy ra R2 nhỏ nhất BC là đường kính của (O2) và giả sử đường tròn (O2) đường kính BC cắt AC tại H’ thì = 900 (2)
(1,0 điểm) Từ (1) và (2) suy ra H’H. Vậy điểm M phải tìm là chân đường cao kẻ từ đỉnh B.
b) (h.3). (2,0 điểm). Lí luận đúng
x
A 
A1 
C’
y
h
B 
a 
C 
Hình 3
Tất cả các tam giác có đáy a, chiều cao h đều có thể sắp xếp để cạnh đáy của chúng trùng với BC = a, còn đỉnh A ở trên một đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng bằng h. Trong các tam giác này, ta cần tìm tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Ta có SABC = ah
Mặt khác, nếu r là bán kính của đường tròn nội tiếp thì SABC = r(AB + BC + CA)
r = 
Do a, h, BC không đổi nên r sẽ có giá trị lớn nhất khi AB + AC có giá trị nhỏ nhất
Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua xy thì AB + AC = AB + AC’C’B
Khi đó : AB + AC = C’B khi AA1ABC cân tại A.
PGD& ĐT huyện Long Điền
Trường THCS Trần Nguyên Hãn
ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học 2012-2013
Thời gian 150 phút.
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức K = 
a/ Rút gọn K
b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên
Bài 2: (3 điểm)Cho A = 111.111 ( 2m chữ số 1)
 B = 111.111 (m + 1 chữ số 1)
 C = 666.666 (m chữ số 6) 
 Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương
Bài 3: (4 điểm)
 a/ Cho abc = 1.Tính S = 
 b/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x + 7y = 167
Bài 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một đường thẳng d qua A cắt (O) tại M và (O’) tại M’.
a/ Chứng tỏ rằng các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định và thẳng hàng với B 
b/ Chứng tỏ rằng trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’)
Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn ( khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D, Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM.
ĐÁP ÁN
Bài 1(4 điểm) 
a/ K = = (0,5điểm)
 = = = (1,5điểm)
b/ K = = 1 + (0,5điểm)
K nguyên khi 2 Ư(2) = (0,75điểm)
Giải ra x = 0; 4; 9 Vì x nguyên dương nên x = 4;9 (0,75điểm)
Bài 2: (4 điểm) 
 A = 111.111 ( 2m chữ số 1) = (0,5điểm)
 B = 111.111 (m + 1 chữ số 1) = (0,5điểm)
 C = 666.666 (m chữ số 6) = (0,5điểm)
 A + B + C + 8 = + + + 8 = = (1điểm)
Mà 10m + 8 3 nên 10m + 8 là số nguyên (0,25điểm)
 Vậy A + B + C + 8 là số chính phương (0,25điểm) 
Bài 3: (4 điểm)
 a/ Cho abc = 1. 
 S = = (0,5điểm) 
 = = = (1.5điểm) 
 b/ phương trình 3x + 7y = 167
 3x + 7y = 167x = = (0,5điểm) 
 đặt = t y = 3t – 1 Nên x = 58 – 7t (tZ) (0,5điểm) 
 Vì x; y nguyên dương nên 3t – 1 > 0 t >
 và 58 – 7t > 0t < (0,5điểm) 
Vì tZ n ên t (0,25điểm) 
 Các nghiệm nguyên dương của phương trình là : (51; 2), (44; 5), (37; 8), (30; 11), (23; 14), (16; 17), (9; 20), (2; 23) (0,25điểm) 
Bài 4 (5 điểm) hình vẽ (0,5điểm) 
a/ Chứng minh N, N’ cố định và N, B, N’ thẳng hàng
Đường thẳng qua M vuông góc với d cắt (O) tại N . 
Vì = 900 nên AN là đường kính của đường tròn (O)N cố định (0,5điểm) 
Đường thẳng qua M’ vuông góc với d cắt (O’) tại N’ 
Vì = 900 nên AN’ là đường kính của đường tròn (O’)N’ cố định (0,5điểm) 
B thuộc đường tròn đường kính AN nên = 900 (0,25điểm) 
B thuộc đường tròn đường kính AN’ nên = 900 (0,25điểm) 
 = + = 1800 (0,25điểm) 
Vậy N, B, N’ thẳng hàng (0,25điểm) 
b/ Chứng minh trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) v