Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2007 – 2008. môn toán lớp 10- Chương trình nâng cao (thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề)

Sở GD&ĐT Nghệ An.
Trường THPT Diễn Châu 2.
***====*****====***====
Đề thi chọn HSG cấp trường năm học 2007 – 2008.
Môn Toán Lớp 10- Chương trình nâng cao.
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1. a,(4,25 điểm) Giải phương trình: .
	 b, (2,5 điểm) Tìm a để phương trình: 
, có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Câu 2. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình: .
Câu 3. a, (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 0) và C(-4; 1) là hai 
 đỉnh đối nhau của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ hai đỉnh còn lại của hình 
 vuông đó.
	 b, (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình 
 và hai điểm A(4; 6), B(0; 4).Tìm điểm M trên đường thẳng 
 (d) sao cho độ dài vectơ có độ dài nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
	 c,(2,5điểm) Cho tam giác ABC có góc không nhọn với AB= c, BC= a,CA= b. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 4. (1,75 điểm) Cho là ba số thực thỏa mãn:. 
 Chứng minh rằng: . Dấu “=” xảy ra khi nào?
Hết.
Đáp án và biểu điểm: đề thi chọn HSG cấp trường Môn Toán 10- chương trình nâng cao.
Câu 1
Tổng điểm
a
Đk: .(0,25đ)
Pt đã cho tương đương với .(0,5đ) 
Đặt (0,25đ). Ta có phương trình: (1).(0,25đ)
Pt (1) (thỏa mãn đk ).(0,5đ)
Với ta có phương trình: (0,5đ)
.(0,5đ)
Với ta có phương trình: (0,5đ)
.(0,5đ)
Đối chiếu với điều kiện phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là: (0,25đ) và .(0,25đ).
4.5 đ
b
Đk: .(0,5đ)
Pt đã cho tương đương với .(0,5đ)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt .
Vậy với -1< a < 1 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.(0,5đ)
2.5 đ
Câu 2
Hệ phương trình đã cho tương đương với (0,5đ)
 (0,5đ) (0,5đ).(0,5đ)
Vây hệ phương trình đã hai cho có nghiệm là: (0,5đ).
3.0đ
Câu 3
a
 nên E có tọa độ (0; y). (0,5đ)
Tứ giác ABEC là hình thang đáy AB và CE và cùng phương. (0,5đ) 
Ta có: (1; -2), (-2; 3 –y). (0,5đ) 
 và cùng phương (0,5đ)
. (0,5đ)
2.0đ
b
 (0,25đ)
Vậy M((0,25đ)
Ta có: (0,25đ) , 
 (0,25đ)
.(0,25đ)
 (0,25đ) 
= (0,25đ)
(0,25đ). Dấu “=” xảy ra khi , 
khi đó (0,5đ). Vậy tại M(.(0,5đ)
3.5đ
c
Do tam giác ABC có góc không nhọn, không mất tính tổng quát ta giả sử rằng . (0,25đ)
 áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân đỉnh C).(0,75đ)
Ta có 
. (0,25đ)
áp dụng BĐT cauchy, ta có: , (0,25đ) (0,5đ)
.(0,25đ) 
Dấu “=” xảy ra khi vuông cân đỉnh C.
Vậy khi ABC là tam giác vuông cân.(0.25đ)
2.5đ
Câu 4
Ta có: . (0,5đ)
áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có 
 (0,5đ)
 (0,25đ) . (0,25đ)
Dấu “=” xảy ra khi (0,25đ)
. (0,25đ)
2.0 đ
Tổng
20.0đ
Ghi chú: Học sinh làm theo các phương án khác đúng, chặt chẽ vẫn được điểm tối đa.
Hết.
	Ngô Trí Thụ.