Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Hòa Bình năm học 2013-2014 lớp 9 THCS môn: Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2013-2014
LỚP 9 THCS 
Môn: Toán.
(Thêi gian lµm bµi 150’ kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Đề thi có 01 trang.
Câu 1: ( 3 điểm)
	Cho biểu thức 
a/ Rút gọn A.
b/ Tìm giá trị a nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2: ( 6 điểm)
	a/ Cho . Tính giá trị biểu thức .
	b/ Giải phương trình: .
c/ Cho m là số cố định, x và y là các số thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Câu 3: ( 3 điểm)
	Có 3 đội cùng làm chung một công việc. Làm chung được 4 ngày thì đội III được điều đi làm việc khác, 2 đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II, năng suất của đội III bằng trung bình cộng năng suất của đội I và đội II và nếu mỗi đội làm một mình công việc thì phải mất tất cả là 39 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc.
Câu 4: ( 6 điểm)
	Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi I là điểm bất kỳ nằm giữa O và B (I O, I B), EF là dây cung bất kỳ của (O) đi qua I (E A). Vẽ đường thẳng d AC tại C, đường thẳng AE cắt d tại P, đường thẳng AF cắt d tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ cắt AC tại M khác A.
a/ Chứng minh rằng: Tứ giác PEFQ là tứ giác nội tiếp.
b/ Chứng minh rằng: đồng dạng với .
c/ Chứng minh rằng: 
Câu 5: ( 2 điểm)
a/ Giải phương trình: 
b/ Tìm số nguyên dương n sao cho là một số chính phương.
-------------- Hết ----------------
Họ và tên thí sinh: SBD:
Giám thị số 1:. Giám thị số 2: ...
SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2013-2014
LỚP 9 THCS 
Môn: Toán.
Hướng dẫn chấm có 03 trang.
Câu
ý
Nội dung
Điểm
Câu 1
3 điểm
a
ĐK: 
0.5đ
1đ
b
Để A nguyên thì là ước của 2, mà nên
0.5đ
. KL 
1đ
Câu 2
6 điểm
a
Ta có: 
0.5đ
Suy ra 
1đ
Vậy 
0.5đ
b
ĐK: 
0.5đ
Ta có PT: 
1đ
. KL
0.5đ
c
Ta có: . 
Xét hệ 
1đ
+ Nếu thì hệ có nghiêm duy nhất 
0.5đ
Khi đó đạt được khi 
+ Nếu thì đặt , ta có . Đẳng thức xảy ra khi 
0.5đ
Khi đó đạt được khi (có thể chọn )
Câu 3
3 điểm
Gọi số ngày để đội I làm một mình xong công việc là x (ngày, )
0.5đ
Gọi số ngày để đội II làm một mình xong công việc là y (ngày, )
 Một ngày đội I làm được công việc
0.5đ
 Một ngày đội II làm được công việc, 
 Một ngày đội III làm được công việc
0.5đ
 Số ngày để đội III làm một mình xong công việc là 
Theo đề bài ta có: 
0.5đ
Mặt khác ta có 
0.5đ
 , tìm ra được .KL
0.5đ
Câu 4
6 điểm
a
Ta có , 
1đ
Mà nên . Vậy Tứ giác PEFQ nội tiếp
1đ
b
Ta có nên 
1đ
Hai tam giác AIF và AQM có góc A chung và nên đồng dạng với nhau.
1đ
c
Do nên tứ giác MIFQ nội tiếp
0.5đ
Do đó AI.AM = AF.AQ
0.5đ
Ta thấy tứ giác BCQF nội tiếp ()
0.5đ
Do đó AB.AC = AF.AQ, Vậy AI.AM = AB.AC 
0.5đ
Câu 5
2 điểm
a
ĐK: , ta có PT: 
0.5đ
Cách 1: Đánh giá theo bất đẳng thức Cosi có: 
0.5đ
Đẳng thức xảy ra khi . KL
Cách 2: Đặt ta được phương trình 
0.5đ
. Từ đó tìm được . KL 
b
Giả sử , với a nguyên dương (), ta có: (*)
0.5đ
Vì nên và không cùng chia hết cho 3 nên với thì không có a thỏa mãn (*)
0.5đ
Với thì không là số chính phương. Vậy không có số nguyên dương n nào để là số chính phương.
-------------- Hết ----------------