Đề thi chọn giáo viên dạy giỏi tỉnh cấp THPT chu kỳ 2008 – 2011 môn Toán học

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GD-ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TỈNH CẤP THPT
CHU KỲ 2008 – 2011
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. 
Anh (chị) hãy nêu những hoạt động toán học liên quan mật thiết với nội dung môn Toán ở trường THPT hiện nay?
Khi dạy khái niệm toán học cần chú trọng nhất đến việc rèn luyện hoạt động toán học nào cho học sinh? Lấy một ví dụ minh hoạ.
Hãy nêu những ưu điểm và hạn chế của phương pháp dạy học theo nhóm nhỏ. Hướng khắc phục những hạn chế đó.
Câu 2. Nêu quy trình giải bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b].
 	Hãy chỉ ra một số ứng dụng của bài toán trên để giải một số lớp bài toán thường gặp.
Câu 3. Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c; BC = a; CA = b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và Sa, Sb, Sc theo thứ tự là diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB. Chứng minh rằng: .
	(Dựa theo bài 37- SBT Hình học nâng cao lớp 10)
Anh (chị) hãy nêu hai định hướng để học sinh tìm được hai cách giải. Hãy trình bày một cách giải.
b) Hãy khái quát hoá bài toán và trình bày lời giải.
Câu 4. Cho dãy số (Un) xác định bởi Un = . Chứng minh rằng [Un] là một số lẻ với mọi n (ký hiệu [Un] là phần nguyên của Un).
	Anh (chị) hãy giải bài toán trên và hướng dẫn học sinh tìm lời giải.
Câu 5. Giải bài toán sau:
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: abc + a + c = b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
----------------------------- HẾT--------------------------------
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TỈNH CẤP THPT
CHU KÌ 2008 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: Toán
(Hướng dẫn chấm này gồm có 05 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1.
a)
2 điểm
Các hoạt động:
- Nhận dạng và thể hiện
- Những hoạt động toán học phức hợp như: Chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích 
- Hoạt động trí tuệ phổ biến: Lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp vv
- Những hoạt động trí tuệ chung như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá
- Những hoạt động ngôn ngữ: HS thực hiện khi được yêu cầu phát biểu, giải thích một vấn đề nào đó của toán học, trình bày lời giải bài toán
0,5
0,5
0,5
0,5
b) 
1 điểm
Dạy khái niệm cần chú ý đến các hoạt động:
- Nhận dạng và thể hiện khái niệm
 + Nhận dạng một khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hoặc ẩn tàng) là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thoả mãn định nghĩa đó hay không.
 + Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tượng thoã mãn định nghĩa đó.
- Ví dụ: Khi dạy khái niệm hình chóp đều.
 + Nhận dạng: Phải chăng mọi hình chóp có đáy là một đa giác đều luôn là một hình chóp đa giác đều?
 + Thể hiện: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O. Các đường thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau tại O’. Hãy vẽ hai hình chớp đều có đáy là hình vuông ABCD.
0,5
0,5
c)
2 điểm
Ưu điểm:
Một trong những phương pháp dạy học tích cực, lấy học sinh làm trung tâm.
Học sinh được thay đổi cách học, cách làm việc, mọi học sinh được tạo cơ hội làm việc tham gia xây dựng bài.
- HS có cơ hội thể hiện khám phá cá nhân.
Các học sinh được thảo luận, học tập lẫn nhau, chủ động tiếp thu kiến thức.
Học sinh nắm kiến thức một cách vững chắc, nhớ lâu.
Giáo viên có điều kiện phân hoá đối tượng, tuỳ vào mức độ dễ, khó của nhiệm vụ dược giao.
Phát huy được phương tiện dạy học hiện đại.
Tồn tại:
	- Gặp trở ngại cho không gian chật hẹp của lớp học, học sinh đông.
	- Thời gian hạn định một tiết, mà các hoạt động lại tiêu tốn thời gian.
3 ý
0,25
4-5 ý
0,5
>=6 ý
1,0
	- Mức độ, hiệu quả phụ thuộc vào hoạt động tự giác của học sinh.
	- Những học sinh yếu, kém có thể thường ỷ lại cho các bạn học khá giỏi làm việc, mình ngồi chơi, không làm việc.
	- Kinh nghiệm của GV chưa nhiều, mô hình, tài liệu về phương pháp này còn thiếu, dẫn đến sự bao quát của Gv còn hạn chế, xây dựng kế hoạch bài giảng còn gặp khó khăn.
	- Phụ thuộc nhiều đến đối tượng.
0,5
Hướng khắc phục:
GV cần chuẩn bị kỹ ở nhà: Mục đích hoạt động nhóm, kế hoạch phân chia nhóm, thời gian hoạt động nhóm để trên lớp đỡ mất thời gian chia nhóm.
GV tích cực bao quát theo dõi các nhóm làm việc
Đưa ra hình thức nhóm nào thảo luận quá ồn ào, mất trật tự sẽ bị trừ điểm làm bài của nhóm.
Gọi luân phiên học sinh trong nhóm trình bày kết quả của nhóm nhằm bắt buộc học sinh nào cũng phải làm việc để có thể trình bày được kết quả.
0,5
Câu 2
3 điểm
Quy trình:
Tính đạo hàm f’(x).
Tìm xi (a; b) sao cho f’(xi) = 0
Tính f(xi); f(a); f(b)
So sánh các giá trị của f(xi); f(a); f(b) suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần tìm.
Một số ứng dụng cơ bản:
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = m có nghiệm trên [a; b].
Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình f(x) m có nghiệm trên [a; b].
Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình f(x) m nghiệm đúng .
Sử dụng GTLN, GTNN để giải một số phương trình, bất phương trình
Tìm tập giá trị của hàm số.
Giải các bài toán trái ngược với các bài toán nêu trong 1., 2., 3. 
0,25
0,25
0,25
0,25
2 ý
1,0
3-4 ý
1,5
≥ 5 ý
2,0
Câu 3
a)
3,5 đ
Định hướng HS tìm cách giải:
Định hướng 1. 
Chuyển bài toán về bài toán quen thuộc là chứng minh:
Chỉ rõ sự xác định của I là giao điểm các đường phân giác 
Viết điều kiện xác định D bằng đẳng thức véc tơ?
. Phân tích các vec tơ theo
các véc tơ gốc I ta có 
Tương tự viết điều kiện xác định điểm I
bằng đẳng thức 
 - Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
0,25
0,25
0,25
Định hướng 2. 
GV đặt vấn đề
- Biểu diễn theo hai vectơ bằng cách:
+ Dựng hình bình hành IECF
+ 
+ Tìm cách tính k, m theo tỷ số diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB và diện tích tam giác ABC
- Tiếp đến phân tích các vectơ theo các véc tơ gốc I
- Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Cách giải: (theo HD cách 1)
+ 
+ Do D là chân đường phân giác trong góc A nên ta có:
 (1)
+ Do I là chân đường phân giác nên ta có:
 (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
b) 
2 điểm
Để ý trong cách 2 điểm I liên quan đến diện tích các tam giác. Khi I thay đổi trong tam giác ABC thì Sa, Sb, Sc thay đổi, nhưng Sa + Sb + Sc = S
Vậy thay I bởi điểm M thay đổi trong tam giác ABC ta có bài toán khái quát hơn:
M là điểm bất kỳ trong tam giác ABC, CMR: 
Cách giải:
+ Dựng hình bình hành MECF
+ Ta có 
+ 
1,0
0,25
0,25
0,5
Câu 4
3,5 đ
- Lời giải:
Ta có: 
Do 0 < 2 - 
Ta có 
Mà 
Suy ra là số lẻ
- Hướng dẫn giải:
+ Khai triển ?
+ Nhận xét tổng + ?
+ Hãy biểu biểu diễn bằng biểu thức có chứa tổng + ?
= (+ - 1) + (1 – )
+ Theo định nghĩa phần nguyên kết luận 
= + - 1 = 2m – 1 là số lẻ
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
Câu 5
3 điểm
Ta có: a + c = b(1- ac) > 0 . Dễ thấy ac 1 và nên 
0,5
0,5
Xét f(x) = 
 trên khoảng (0; ) và f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0, suy ra f(x) đạt cực đại tại x = x0
Xét 
Vậy giá trị lớn nhất của P là .
---------------------HẾT ----------------------
0,5
0,5
0,5
0,5
Ghi chú:
Phần lấy ví dụ, GV lấy ví dụ đúng khác với đáp án vẫn cho điểm tương ứng.
Phần giải bài tập, GV làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng.
Câu 1 (6 điểm)
a) Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học là thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo “phương pháp dạy học tích cực”, thầy (cô) hãy nêu những đặc trưng cơ bản của phương pháp dạy học tích cực.
HD 
a) Các đặc trưng cơ bản của phương pháp dạy học tích cực: (1,5 điểm)
* Dạy học tăng cường phát huy tính tính tự tin, tích cực, chủ động, sáng tạo thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh:
* Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp và phát huy năng lực tự học của học sinh.
* Dạy học phân hóa kết hợp với hợp tác.
Câu 1: (7,0 điểm) 
	Anh (chị) hãy nêu những nội dung chính về đổi mới giáo dục THPT? Trong đó nội dung nào là quan trọng nhất? Trình bày định hướng và mục đích của đổi mới phương pháp dạy học?
HD. 
Câu 1:
- Có 4 nội dung chính:
	+ Đổi mới chương trình, nội dung giáo dục THPT
	+ Đổi mới phương pháp dạy học
	+ Đổi mới kiểm tra đánh giá
	+ Phương tiện, thiết bị dạy học góp phần đổi mới phương pháp dạy học
- Nội dung đổi mới phương pháp dạy học là quan trọng nhất
- Định hướng đổi mới phương pháp dạy học:
	+ Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông.
	+ Phù hợp với nội dung dạy học cụ thể.
	+ Phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh
	+ Phù hợp với cơ sở vật chất, điều kiện dạy học của nhà trường.
	+ Phù hợp với việc đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả dạy - học
	+ Kết hợp giữa việc tiếp thu và sử dụng có chọn lọc, có hiệu quả các phương pháp dạy học tiên tiến, hiện đại với việc khai thác những yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống.
	+ Tăng cường sử dụng các phương tiện dạy học, thiết bị dạy học và đặc biệt lưu ý đến những ứng dụng của công nghệ thông tin
- Mục đích của đổi mới phương pháp dạy học là:
	+ Thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang phương pháp dạy học tích cực 
	+ Giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, biết vận dụng vào thực tiễn
	+ Tạo niềm vui, hứng thú trong học tập, giúp học sinh tìm tòi khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin, tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất
	+ Học để đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện tại và tương lai, bổ ích cho bản thân và phát triển xã hội
§æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc to¸n theo h­íng tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh
1.T­ t­ëng tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh
 	X· héi ph¸t triÓn vµ sù ®æi míi ®Êt n­íc ®ßi hái ph¶i n©ng cao chÊt l­îng gi¸o dôc nh»m ®µo t¹o nh÷ng con ng­êi lao ®éng ®¶m b¶o môc tiªu hiÖn ®¹i ho¸ ®Êt n­íc.
 NghÞ quyÕt Héi nghÞ lÇn thø hai Ban ChÊp hµnh trung ­¬ng §¶ng Céng s¶n ViÖt Nam kho¸ VIII nªu râ: “NhiÖm vô vµ môc tiªu c¬ b¶n cña gi¸o dôc lµ nh»m x©y dùng nh÷ng con ng­êi vµ thÕ hÖ thiÕt tha g¾n bã víi lý t­ëng ®éc lËp d©n téc vµ chñ nghÜa x· héi, cã ®¹o ®øc trong s¸ng, cã ý chÝ kiªn c­êng x©y dùng vµ b¶o vÖ tæ quèc: C«ng nghiÖp ho¸ vµ hiÖn ®¹i ho¸ ®Êt n­íc; gi÷ g×n vµ ph¸t huy c¸c gi¸ trÞ v¨n ho¸ d©n téc, cã n¨ng lùc tiÕp thu tinh hoa v¨n ho¸ nh©n lo¹i; ph¸t huy tiÒm n¨ng cña d©n téc vµ con ng­êi ViÖt Nam, cã ý thøc céng ®ång vµ ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña c¸ nh©n, lµm chñ tri thøc khoa häc vµ c«ng nghÖ hiÖn ®¹i, cã t­ duy s¸ng t¹o, cã kü n¨ng thùc hµnh giái, cã t¸c phong c«ng nghiÖp, cã tæ chøc vµ kû luËt; cã søc khoÎ, lµ nh÷ng ng­êi thõa kÕ x©y dùng chñ nghÜa x· héi võa “hång” võa “chuyªn” nh­ lêi c¨n dÆn cña B¸c Hå”.
Theo tinh thÇn cña NghÞ quyÕt nµy, trong thêi gian qua cïng víi thay ®æi vÒ néi dung, toµn ngµnh Gi¸o dôc vµ §µo t¹o ®ang cã nhiÒu cè g¾ng ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc.
+ Theo Kharlamop.I.F. “Häc tËp lµ mét qu¸ tr×nh nhËn thøc tÝch cùc” 
 Theo tõ ®iÓn TiÕng ViÖt: TÝch cùc lµ mét tr¹ng th¸i tinh thÇn cã t¸c dông kh¼ng ®Þnh vµ thóc ®Èy sù ph¸t triÓn . Trong ho¹t ®éng häc tËp nã diÔn ra ë nhiÒu ph­¬ng diÖn kh¸c nhau: Tri gi¸c tµi liÖu, th«ng hiÓu tµi liÖu, ghi nhí, luyÖn tËp, vËn dông, kh¸i qu¸t... vµ ®­îc thÓ hiÖn ë nhiÒu h×nh thøc ®a d¹ng, phong phó.
§éng c¬ häc tËp lµ nguån t¹o ra tÝnh tÝch cùc trong ho¹t ®éng häc vµ khi ®· h×nh thµnh l¹i cã gi¸ trÞ nh­ mét ®éng c¬ thóc giôc ho¹t ®éng, lµ thuéc tÝnh cña nh©n c¸ch, cßn tÝnh tÝch cùc l¹i lµ mét tr¹ng th¸i tinh thÇn lµm nÒn cho ho¹t ®éng diÔn ra cã hiÖu qu¶ vµ cã thuéc tÝnh thiªn vÒ c¶m xóc .
G.I. Sukina ®· chia tÝnh tÝch cùc ra lµm ba cÊp ®é
1. TÝnh tÝch cùc b¾t ch­íc, t¸i hiÖn: xuÊt hiÖn do t¸c ®éng kÝch thÝch bªn ngoµi. Trong tr­êng hîp nµy ng­êi häc thao t¸c trªn ®èi t­îng, b¾t ch­íc theo mÉu hoÆc m« h×nh cña GV, nh»m chuyÓn ®èi t­îng tõ ngoµi vµo trong theo c¬ chÕ “ho¹t ®éng bªn ngoµi bªn trong cã cïng cÊu tróc”. Nhê ®ã, kinh nghiÖm ho¹t ®éng ®­îc tÝch luü th«ng qua kinh nghiÖm ng­êi kh¸c.
 2. TÝnh tÝch cùc t×m tßi: ®i liÒn víi qu¸ tr×nh h×nh thµnh kh¸i niÖm. Gi¶i quyÕt c¸c t×nh huèng nhËn thøc, t×m ra c¸c ph­¬ng thøc hµnh ®éng trªn c¬ së cã tÝnh tù gi¸c, cã sù tham gia cña ®éng c¬, nhu cÇu, høng thó vµ ý chÝ cña HS. Lo¹i nµy xuÊt hiÖn kh«ng chØ do yªu cÇu cña GV mµ cßn hoµn toµn tù ph¸t trong qu¸ tr×nh nhËn thøc. Nã tån t¹i kh«ng chØ ë d¹ng tr¹ng th¸i, c¶m xóc mµ cßn ë d¹ng thuéc tÝnh bÒn v÷ng cña ho¹t ®éng. ë møc ®é nµy tÝnh ®éc lËp cao h¬n møc trªn, cho phÐp HS tiÕp nhËn nhiÖm vô vµ tù m×nh t×m ra ph­¬ng tiÖn thùc hiÖn.
 3. TÝnh tÝch cùc s¸ng t¹o: thÓ hiÖn khi chñ thÓ nhËn thøc tù t×m tßi kiÕn thøc míi, tù t×m kiÕm ra ph­¬ng thøc hµnh ®éng riªng vµ trë thµnh phÈm chÊt bÒn v÷ng cña c¸ nh©n. §©y lµ møc ®é biÓu hiÖn tÝnh tÝch cùc nhËn thøc cao nhÊt .
 Nh­ vËy nãi vÒ tÝnh tÝch cùc nhËn thøc, ng­êi ta th­êng ®¸nh gi¸ vÒ møc ®é nhËn thøc cña ng­êi häc trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn môc ®Ých d¹y häc.
Kharlamop I.F. viÕt: “TÝnh tÝch cùc trong ho¹t ®éng nhËn thøc lµ tr¹ng th¸i ho¹t ®éng cña HS, ®­îc ®Æc tr­ng bëi kh¸t väng häc tËp, sù cè g¾ng trÝ tuÖ víi nghÞ lùc cao trong qu¸ tr×nh n¾m v÷ng kiÕn thøc cho chÝnh m×nh”.
	+ TÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh: Tèi ®a ho¸ sù tham gia ho¹t ®éng cña ng­êi häc víi ®Þnh h­íng chØ ®¹o lµ tù nhËn thøc, tù ph¸t triÓn, tù thùc hiÖn, tù kiÓm tra vµ ®¸nh gi¸, qua ®ã h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn t­ duy ®éc lËp vµ s¸ng t¹o cña HS.
GS.TSKH NguyÔn B¸ Kim chØ râ 4 yªu cÇu ®Ó tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña HS:
- X¸c lËp vÞ trÝ chñ thÓ cña ng­êi häc, ®¶m b¶o tÝnh tù gi¸c, tÝch cùc s¸ng t¹o cña ho¹t ®éng häc tËp.
- D¹y häc ph¶i dùa trªn nghiªn cøu t¸c ®éng cña nh÷ng quan niÖm vµ kiÕn thøc s½n cã cña ng­êi häc, nh»m khai th¸c mÆt thuËn lîi, h¹n chÕ mÆt khã kh¨n, nghiªn cøu nh÷ng ch­íng ng¹i hoÆc sai lÇm cã thÓ cã cña nh÷ng kiÕn thøc ®ã trong qu¸ tr×nh häc tËp cña HS.
- D¹y häc kh«ng chØ nh»m môc ®Ých lµ tri thøc vµ kü n¨ng bé m«n, mµ quan träng h¬n c¶ lµ viÖc häc, d¹y c¸ch häc cho HS.
- Qu¸ tr×nh d¹y häc ph¶i bao hµm c¶ viÖc d¹y c¸ch tù häc th«ng qua viÖc ®Ó HS tù ho¹t ®éng nh»m ®¸p øng nhu cÇu cña b¶n th©n vµ cña x· héi .
 Tãm l¹i: §Ó ph¸t huy ®­îc tÝnh tÝch cùc trong ho¹t ®éng häc tËp cña HS cÇn mét qu¸ tr×nh lµm cho ng­êi häc trë thµnh chñ thÓ tÝch cùc trong ho¹t ®éng häc tËp cña chÝnh hä.
2. §Þnh h­íng ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc
+ Ph­¬ng ph¸p d¹y häc
 - Ph­¬ng ph¸p d¹y häc lµ con ®­êng, lµ c¸ch thøc cña ho¹t ®éng ®Ó ®¹t môc ®Ých d¹y häc.
 - Ph­¬ng ph¸p d¹y häc lµ c¸ch thøc ho¹t ®éng vµ giao l­u cña thÇy g©y nªn nh÷ng ho¹t ®éng vµ giao l­u cÇn thiÕt cña trß nh»m ®¹t môc ®Ých d¹y häc .
 - Ho¹t ®éng cña thÇy g©y nªn ho¹t ®éng cña trß:
 Ho¹t ®éng cña thÇy lµ t¸c ®éng ®iÒu khiÓn. Tuy nhiªn t¸c ®éng kh«ng chØ gåm ho¹t ®éng mµ cßn cã sù øng xö cña thÇy gi¸o.
ThuËt ng÷ “d¹y häc” vèn ®­îc dïng ®Ó ph¶n ¸nh ho¹t ®éng cña ng­êi d¹y, thÕ nh­ng ®èi t­îng cña ho¹t ®éng d¹y häc lµ HS, HS võa lµ ®èi t­îng cña ho¹t ®éng d¹y l¹i võa lµ chñ thÓ cña ho¹t ®éng häc. V× vËy ph­¬ng ph¸p d¹y häc võa bao hµm c¸ch d¹y cña thÇy vµ c¸ch häc cña trß.
Theo GS.TS TrÇn B¸ Hoµnh, ph­¬ng ph¸p d¹y häc cã quan hÖ chÆt chÏ gi÷a mÆt bªn ngoµi vµ mÆt bªn trong:
MÆt bªn ngoµi lµ tr×nh tù hîp lý c¸c thao t¸c hµnh ®éng cña GV vµ HS. MÆt bªn trong lµ c¸ch thøc tæ chøc ho¹t ®éng nhËn thøc cña HS, lµ con ®­êng gi¸o viªn dÉn d¾t HS lÜnh héi néi dung d¹y häc.
 MÆt bªn trong phô thuéc mét c¸ch kh¸ch quan vµo néi dung d¹y häc vµ tr×nh ®é t­ duy cña HS. MÆt bªn ngoµi phô thuéc vµo tr×nh ®é vµ kinh nghiÖm s­ ph¹m cña GV vµ chÞu ¶nh h­ëng cña ph­¬ng tiÖn vµ thiÕt bÞ d¹y häc. 
+ §æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc
NghÞ quyÕt Trung ­¬ng II kho¸ VIII cña §¶ng Céng s¶n ViÖt Nam chØ râ “§æi míi m¹nh mÏ ph­¬ng ph¸p gi¸o dôc ®µo t¹o, kh¾c phôc lèi truyÒn thô mét chiÒu, rÌn luyÖn thµnh nÕp t­ duy s¸ng t¹o cña ng­êi häc...”
§µo t¹o con ng­êi n¨ng ®éng s¸ng t¹o cã n¨ng lùc ph¸t hiÖn vÊn ®Ò vµ tù gi¶i quyÕt vÊn ®Ò lµ mét trong nh÷ng nhiÖm vô träng t©m cña ngµnh gi¸o dôc.
M©u thuÉn gi÷a yªu cÇu ®µo t¹o con ng­êi míi x©y dùng x· héi c«ng nghiÖp ho¸ vµ thùc tr¹ng l¹c hËu cña ph­¬ng ph¸p d¹y häc ®· lµm n¶y sinh thóc ®Èy c«ng cuéc ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc ë tÊt c¶ c¸c cÊp häc trong ngµnh gi¸o dôc .
Ph­¬ng ph¸p d¹y häc kh«ng ph¶i lµ b¶n th©n ho¹t ®éng vµ øng xö cña GV ë b×nh diÖn xem xÐt riªng lÎ, cô thÓ mµ theo NguyÔn B¸ Kim: 
“Ph­¬ng ph¸p d¹y häc lµ h×nh ¶nh kh¸i qu¸t ho¸ nh÷ng ho¹t ®éng øng xö nµo ®ã cña GV. H×nh ¶nh nµy th­êng ®­îc h×nh thµnh do ph¶n ¸nh nh÷ng ho¹t ®éng øng xö thµnh c«ng cña GV trong qu¸ tr×nh d¹y häc vµ ph¶n ¸nh nh÷ng thµnh tùu cña khoa häc gi¸o dôc hoÆc nh÷ng khoa häc kh¸c th«ng qua khoa häc gi¸o dôc... Ph­¬ng ph¸p d¹y häc lµ ph­¬ng tiÖn ®Ó ®¹t môc ®Ých d¹y häc” .
Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y t­ t­ëng d¹y häc chñ ®¹o ®­îc ph¸t biÓu d­íi nhiÒu h×nh thøc kh¸c nhau nh­ “lÊy HS lµm trung t©m”,“ph¸t huy tÝnh tÝch cùc”, “ph­¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc”, “tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp”, “Ho¹t ®éng ho¸ ng­êi häc” ....
 §Þnh h­íng ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn nay lµ tæ chøc cho häc sinh häc tËp trong ho¹t ®éng vµ b»ng ho¹t ®éng tù gi¸c, tÝch cùc vµ s¸ng t¹o.
+ Lµm thÕ nµo ®Ó tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh ?
Nhµ t©m lÝ häc I.X.Iakimanxkai cho r»ng: Nhµ tr­êng cÇn trang bÞ cho HS hai hÖ thèng tri thøc: 1. VÒ hiÖn thùc ®èi t­îng; 2. VÒ néi dung c¸ch thøc thùc hiÖn c¸c hµnh ®éng trÝ tuÖ, ®¶m b¶o viÖc n¾m v÷ng c¸c tri thøc khoa häc vÒ hiÖn thùc ®èi t­îng ®ã.
C¸c tri thøc lo¹i mét ®­îc ph¶n ¸nh trong SGK, cßn c¸c tri thøc lo¹i hai ®­îc h×nh thµnh chñ yÕu ë HS b»ng con ®­êng tù ph¸t. ë ®ã tri thøc lo¹i hai lµ c¸c thñ ph¸p cña häc tËp nh­: tri thøc logic (ph©n tÝch, so s¸nh, kh¸i qu¸t ho¸, ph©n lo¹i); tri thøc tæ chøc hîp lÝ c¸c qu¸ tr×nh nhËn thøc kh¸c nhau
 Lerner I.Ia. cßn thªm vµo ®ã hai hÖ thèng n÷a: Kinh nghiÖm ho¹t ®éng s¸ng t¹o vµ kinh nghiÖm th¸i ®é t×nh c¶m.
C¸c nhµ lÝ luËn d¹y häc P.I. Pitcaxixt­i,B.I. C«r«tiaiev kh¼ng ®Þnh: t­¬ng øng víi hai lo¹i ho¹t ®éng nhËn thøc t¸i t¹o vµ t×m tßi, s¸ng t¹o cña HS th× cã hai lo¹i th«ng tin t¸i hiÖn vµ dù ®o¸n. Th«ng tin t¸i hiÖn lµ nh÷ng tri thøc HS lÜnh héi ë d¹ng cã s½n, th«ng qua viÖc ghi nhËn vµ t¸i hiÖn l¹i. Th«ng tin dù ®o¸n lµ c¸c tri thøc häc tËp ®­îc HS kh«i phôc l¹i b»ng c¸ch thiÕt kÕ, t×m kiÕm vµ kiÓm tra tÝnh ®óng ®¾n cña ®iÒu dù ®o¸n. Trong khi ho¹t ®éng t¸i hiÖn chØ cã mét ph­¬ng ¸n vµ viÖc thùc hiÖn nã chÝnh x¸c lu«n dÉn ®Õn kÕt qu¶, th× ho¹t ®éng t×m tßi s¸ng t¹o l¹i dùa vµo nh÷ng th«ng tin Èn tµng, ch­a t­êng minh. HS kiÓm tra dù ®o¸n trªn c¬ së t×m kiÕm vµ lùa chän ph­¬ng ¸n cã kh¶ n¨ng nhÊt trong hÖ thèng kiÕn thøc ®· cã cña m×nh.
 Dùa vµo kÕt qu¶ nghiªn cøu cña P.I. Pitcaxixt­i, B.I. C«r«tiaiev cã hai c¸ch chiÕm lÜnh kiÕn thøc:
 1. T¸i hiÖn kiÕn thøc: ®Þnh h­íng ®Õn ho¹t ®éng t¸i t¹o, ®­îc x©y dùng trªn c¬ së HS lÜnh héi c¸c tiªu chuÈn, h×nh mÉu cã s½n.
 2. T×m kiÕm kiÕn thøc: ®Þnh h­íng ®Õn ho¹t ®éng c¶i t¹o tÝch cùc, dÉn ®Õn viÖc “ph¸t minh” kiÕn thøc vµ kinh nghiÖm ho¹t ®éng .
Nh­ vËy, PPDH nµo ®¶m b¶o phèi hîp gi÷a c¸ch d¹y t¸i hiÖn kiÕn thøc vµ t×m kiÕm kiÕn thøc, trong ®ã tËn dông c¬ héi vµ ®iÒu kiÖn ®Ó c¸ch d¹y t×m kiÕm kiÕn thøc chiÕm ­u thÕ, ®ång thêi kÕt hîp hµi hoµ víi tÝnh s½n sµng häc tËp cña HS, th× vÒ c¬ b¶n PPDH ®ã cã kh¶ n¨ng tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña HS
3. Dạy luyện tập toán cho học sinh
 Qu¸ tr×nh d¹y häc lµ mét qu¸ tr×nh t©m lý. Trong qu¸ tr×nh häc tËp HS ph¶i c¶m gi¸c, tri gi¸c, vËn dông trÝ nhí, t×nh c¶m, ý chÝ...
Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y, t©m lý häc ®· chó ý vµo “d¹y häc ph¸t triÓn”: D¹y häc ®i tr­íc sù ph¸t triÓn, ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ d¹y häc ph¶i tiÕn hµnh trong ®iÒu kiÖn dù kiÕn ®­îc møc ®é ph¸t triÓn cña HS cao h¬n hiÖn t¹i. Quan ®iÓm d¹y häc ®i tr­íc sù ph¸t triÓn vµ kÐo theo sù ph¸t triÓn ®­îc coi lµ quan ®iÓm khoa häc vµ c¸ch m¹ng.
Theo L.X. Vygotski, d¹y häc ph¶i theo ®óng chøc n¨ng cña nã, ph¶i ®i tr­íc sù ph¸t triÓn, nã sÏ thóc ®Èy, kÐo theo sù ph¸t triÓn ®i lªn. MÊu chèt cña d¹y häc ph¸t triÓn lµ x¸c ®Þnh ®óng c¸c tr×nh ®é ph¸t triÓn cña häc sinh: Tr×nh ®é ph¸t triÓn hiÖn thêi vµ kh¶ n¨ng ph¸t triÓn gÇn nhÊt. Møc ®é hiÖn t¹i ®­îc biÓu hiÖn qua qu¸ tr×nh HS ®éc lËp gi¶i quyÕt nhiÖm vô, kh«ng cÇn sù trî gióp tõ bªn ngoµi. Cßn kh¶ n¨ng ph¸t triÓn gÇn nhÊt ®­îc thÓ hiÖn trong t×nh huèng HS hoµn thµnh nhiÖm vô khi cã sù hîp t¸c, gióp ®ì cña ng­êi kh¸c. Tõ ®ã «ng ®­a ra nguyªn lý d¹y häc ph¶i t¸c ®éng vµo vïng ph¸t triÓn gÇn nhÊt, cã nghÜa lµ ph­¬ng ph¸p d¹y häc tu©n theo nguyªn t¾c t«n träng kinh nghiÖm ®· cã cña HS vµ t¨ng dÇn møc ®é khã kh¨n.
 Nh­ vËy d¹y häc kh«ng bÞ ®éng chê sù ph¸t triÓn, mµ ng­îc l¹i ph¸t triÓn c¸c chøc n¨ng t©m lÝ. VÊn ®Ò ®éng c¬ häc tËp, høng thó nhËn thøc cã ý nghÜa rÊt quan träng ®Õn hiÖu qu¶ cña qu¸ tr×nh d¹y häc.
 §Ó ®¶m b¶o thµnh c«ng cña qu¸ tr×nh d¹y häc, thÇy gi¸o ph¶i ®Æc biÖt chó ý tíi mÆt t©m lý trong qu¸ tr×nh d¹y häc.
- D¹y häc lµ mét qu¸ tr×nh x· héi, trong ®ã cã sù t­¬ng t¸c gi÷a ng­êi vµ ng­êi, gi÷a ng­êi vµ x· héi. HiÓu ®­îc tÝnh x· héi cña d¹y häc vµ ¶nh h­ëng cña x· héi ®èi víi nhµ tr­êng sÏ gióp ng­êi d¹y ®iÒu khiÓn ®­îc qu¸ tr×nh d¹y häc.
Sù gièng nhau vµ kh¸c nhau vÒ yªu cÇu x· héi, vÒ sù ph¸t triÓn nh©n c¸ch cña tõng ng­êi ®ßi hái mét qu¸ tr×nh d¹y häc thèng nhÊt cïng víi biÖn ph¸p ph©n ho¸, do vËy trong ho¹t ®éng cña m×nh ng­êi thÇy cÇn quan t©m ®Õn kinh nghiÖm sèng vµ ®iÒu kiÖn häc tËp thùc tÕ cña HS ®Ó x©y dùng kÕ ho¹ch vµ néi dung d¹y häc thÝch hîp.
Tãm l¹i, c¨n cø vµo nhËn thøc vÒ qu¸ tr×nh d¹y häc trong giai ®o¹n hiÖn nay (qu¸ tr×nh nhËn thøc, qu¸ tr×nh t©m lý vµ qu¸ tr×nh x· héi), hÖ thèng BT cÇn ph¶i ph¶n ¸nh tÝch cùc vµ cã chän läc c¸c tri thøc, ph­¬ng ph¸p, kü n¨ng ... liªn quan chÆt chÏ ®Õn ho¹t ®éng to¸n häc, thóc ®Èy c¸c chøc n¨ng t©m lý, høng thó nhËn thøc vµ chó ý ®Õn kinh nghiÖm sèng vµ ®iÒu kiÖn thùc tÕ cña häc sinh.
TiÕn tr×nh gi¶i bµi tËp to¸n
Gi¶i BTT lµ thùc hiÖn mét lo¹t c¸c ho¹t ®éng liªn tôc vµ kh¸ phøc t¹p v× BTT lµ sù kÕt hîp ®a d¹ng nhiÒu kh¸i niÖm , quan hÖ to¸n häc... V× vËy ®Ó gi¶i ®ược BTT ®ßi hái häc sinh n¾m ch¾c c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh lý, quy t¾c... c¸c kiÕn thøc trong mèi quan hÖ to¸n häc cña ch¬ng tr×nh ®· häc.
 Theo V.M. Bra®ix¬ “BTT cã thÓ xem lµ ®· ®îc gi¶i chØ sau khi ®· t×m ®ược lêi gi¶i ®¶m b¶o c¸c ®iÒu kiÖn: Kh«ng sai sãt, cã lËp luËn khoa häc, mang tÝnh toµn diÖn vµ tèi ưu”.
Theo Polya G. : “Gi¶i mét BTT chóng ta ph¶i lËp ®ược mét lưîc ®å x¸c ®Þnh m¹nh l¹c nh÷ng thao t¸c (l«gÝc, to¸n häc hay thùc tiÔn) b¾t ®Çu tõ gi¶ thiÕt vµ kÕt thóc b»ng kÕt luËn, dÉn d¾t tõ c¸c ®èi tượnng mµ ta cã trong tay ®Õn ®èi tưîng ta muèn ®¹t tíi”.
+ Polya G. quan niÖm gi¶i mét BTT lµ mét qu¸ tr×nh t×m kiÕm nh÷ng ho¹t ®éng thÝch hîp ®Ó ®¹t kÕt qu¶. Theo «ng tiÕn tr×nh gi¶i mét BTT gåm 4 bước:
 - HiÓu râ BTT (understanding the problem)
 - X©y dùng chư¬ng tr×nh gi¶i (devising a plan)
 - Thùc hiÖn chư¬ng tr×nh gi¶i (carrying out the plan)
 - KiÓm tra lêi gi¶i t×m ®ược (looking back)
Bước 1: HiÓu râ bµi tËp to¸n
- X¸c ®Þnh ®èi tưîng vµ c¸c ®iÒu kiÖn vµ hÖ thèng hµnh ®éng, lµm râ c¸c mèi quan hÖ ë gi¶ thiÕt, mèi quan hÖ gi÷a gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn. X¸c ®Þnh ®ùîc d¹ng BTT, xem xÐt cÊu tróc cña BTT tõ ®ã suy nghÜ hùíng gi¶i BTT ®ã.
Bíc 2: X©y dùng chư¬ng tr×nh gi¶i
- Tõ sù ph©n tÝch mèi quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè cña BTT, tõ suy nghÜ hùíng gi¶i ë bùíc 1, HS t×m con ®ùêng cô thÓ, kh¶ n¨ng ®¹t ®îc môc ®Ých, ®Þnh hùíng c¸c hµnh ®éng tiÕn tíi qu¸ tr×nh gi¶i BTT.
- Qu¸ tr×nh nµy kÕt hîp gi÷a logic h×nh thøc (viÖc v¹ch ra “cÊu tróc” cña kÕ ho¹ch) vµ l«gic biÖn chøng (chØ ra tÝnh cô thÓ, tÝnh kh¶ thi vµ phù¬ng thøc thùc hiÖn kÕ ho¹ch). 
Bíc 3: Thùc hiÖn chù¬ng tr×nh gi¶i 
 - KÕ ho¹ch gi¶i vÉn cßn ë ý tùëng, HS ph¶i thùc hiÖn mét hÖ thèng hµnh ®éng phï hîp víi nh÷ng chi tiÕt cô thÓ cña BTT.
 - Sö dông c¸c thao t¸c tư duy nh÷ng lËp luËn logic ®Ó thùc hiÖn kÕ ho¹ch.
 - Cã thÓ gi¶i BTT theo nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau, t×m ra c¸ch gi¶i tèi ưu.
 - ë b ư íc nµy thao t¸c tư duy logÝc, ho¹t ®éng ng«n ng÷ ®ãng vai trß quan träng.
Bíc 4: Kh¶o s¸t lêi gi¶i t×m ®ưîc
- C«ng viÖc ®ưîc tiÕn hµnh trong suèt qu¸ tr×nh gi¶i BTT, viÖc kiÓm tra nh»m chÝnh x¸c ho¸ lêi gi¶i (c¸c bưíc suy luËn, c¸c kh©u tÝnh to¸n...).
 - Qua kh¶o s¸t lêi gi¶i cßn rót ra ®îc kinh nghiÖm cho HS, gi¶i bµi BTT lµ ph¬ng tiÖn häc tËp. Tõ kh¶o s¸t lêi gi¶i HS cã thÓ hîp thøc ho¸ BTT thµnh tri thøc vµ kinh nghiÖm cña b¶n th©n. 
* Gi¶i bµi tËp to¸n theo ®Þnh hưíng ang«rit vµ ¬ristic
“C¸c ang«rit tån t¹i dưíi nhiÒu h×nh thøc biÓu diÔn kh¸c nhau, ng«n ng÷ tù nhiªn, ng«n ng÷ to¸n häc, s¬ ®å khèi, ng«n ng÷ phư¬ng tr×nh, lËp tr×nh..., ang«rit (thuËt to¸n, thuËt gi¶i) lµ mét b¶n quy ®Þnh nh÷ng thao t¸c cÇn thùc hiÖn ®Ó gi¶i mét BTT” .
“ThuËt to¸n ®ưîc hiÓu nh mét quy t¾c mµ tõ nh÷ng chØ dÉn râ rµng vµ chÝnh x¸c ®Ó ngưêi (hay m¸y) thùc hiÖn mét lo¹t thao t¸c nh»m ®¹t ®îc môc ®Ých ®Æt ra hay gi¶i mét líp BTT nhÊt ®Þnh”.
R. §Ò C¸c ®· nghÜ ®Õn mét phư¬ng ph¸p toµn n¨ng ®Ó gi¶i mäi bµi tËp, Leibnis th× ®a ra ý niÖm râ rµng vÒ mét ph¬ng ph¸p toµn mü ®Ó gi¶i to¸n. Polya G. ®· rÊt ®Ò cao viÖc h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn n¨ng lùc s¸ng t¹o qua gi¶i bµi tËp to¸n nhng «ng ®· kh¼ng ®Þnh “T×m kiÕm mét phư¬ng ph¸p toµn n¨ng vµ toµn mü ch¼ng mang l¹i kÕt qu¶ g× h¬n ®i t×m mét viªn ®¸ thÇn kú, ®Ó cã thÓ biÕn mäi kim lo