Đề kiểm tra cuối hè năm 2019 môn Toán 10 chuyên - Trường THPT Chuyên Bắc Ninh (Có đáp án)

 TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HÈ NĂM 2019 
 TỔ TOÁN – TIN Môn thi: Toán 10 chuyên 
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
 (Đề thi gồm 01 trang) 
 Câu 1 (2,0 điểm). 
 m
 Cho phương trình 8xx2 + 42 += 55 
 4xx2 ++ 23 33
 a) Giải phương trình khi m =1. 
 b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 
 Câu 2 (3,0 điểm)
 Cho hình vuông ABCD có tâm O. Đường thẳng d quay quanh O, cắt hai cạnh AD và 
 BC lần lượt ở E và F (không trùng với các đỉnh của hình vuông). Qua E và F lần lượt 
 kẻ đường thẳng song song với BD và AC chúng cắt nhau tại I. Kẻ IH vuông góc với 
 EF tại H. Chứng minh rằng: 
 a) Điểm I chạy trên đoạn AB. 
 b) Điểm H thuộc đường tròn cố định và đường thẳng IH đi qua một điểm cố định. 
 64
 Câu 3 (1,0 điểm). Cho hai số 2ab>> 0. Chứng minh rằng 2a +≥2 5. 
 (23abb−+)( )
 Câu 4 (2,0 điểm). 
 a) Cho tập X = {1,2,3,...,2020} . Chứng minh rằng trong số 1011 phần tử bất kì của tập X 
 luôn có hai phần tử nguyên tố cùng nhau. 
 b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn 51n − chia hết cho n. 
 2
 Câu 5 (2,0 điểm). Giả sử phương trình ax+ bx += c00( a ≠) có các nghiệm xx12,. 
 nn
 Đặt Sn =+∈ x12 xn,. 
 a) Chứng minh: aSnn++= bS−−12 cS n0. 
 88
 b) Áp dụng tính A =+(13) +−( 13) 
 ------------ Hết ------------ 
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN TOÁN 10 
Câu Nội dung Điểm 
 1 1 điểm 
 a) Khi m =1, ta có phương trình 8xx2 + 42 += 55 ĐK 
 4xx2 ++ 23 33
 11
 xx≠−3; ≠−
 4
 PT⇔()()()()2 x + 5 4 x + 11 4 x + 11 x += 3 1
 2
 ⇔+()()()2xx 5 + 3 4 x + 11 = 1
 2
 ⇔+++=()()()4xxx 10 4 12 4 11 8
 2 1± 33
 Đặt ()4x+=≥ 3 tt ,( 0), phương trình trở thành tt2 −−80 = ⇔ t = ,
 2
 đối chiếu đk, 
 Câu 1 
 (2điểm) 
 2 1++ 33 1 1 33
 ta có ()4xx+ 11 = ⇔= −±11 
 
 24 2
 2
 b) Ta có ()()()4xxx+++=⇒−−= 10 4 12 4 11 8 mttm2 8 0 (1) 1 điểm 
 2
 với tx=+≥()4 11 , t 0. 
 PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (1) có hai nghiệm 
 ∆>t 0 1+> 32m 0
  1
 dương phân biệt ⇔Sm >0 ⇔ 1 > 0 ⇔− < <0. 
  32
 Pm>0 −> 80 1 điểm 
Câu 2 
(3điểm 
 a) Dễ dàng chứng minh được ∆EFI vuông ở I, và IO là trung tuyến thuộc
 cạnh huyền EF, do đó OE= OI nên O nằm trên trung trực của EI
 Mặt khác OA⊥ EI nên OA là trung trực của EI. Nên ∆AEI vuông cân tại A 
 Suy ra AIE = 450 . Tương tự BIF = 450 . Vậy 
 AIB= AIE + EIF + BIF =++=45000 90 45 180 0 suy ra I,, AB thẳng hàng 
 hay I∈ AB (đpcm). 
 b) Ta có: AEHI và BFHI là các tứ giác nội tiếp. Suy ra 2 điểm 
 AHI== AEI450 , IHB ==⇒= IFB 45 00 AHB 90 . Vậy H ∈ đường tròn
 đường kính AB. (đpcm).
 Gọi HI cắt đường tròn đường kính AB ở K , ta có AHK= BHK = 450 nên 
 K là trung điểm cung AB suy ra K cố định. (đpcm). 
Câu 3 1 1 điểm 
 Theo BĐT AM-GM: ()()()2abb−++=− 33 b()()() 4233 a bb ++ b
1điểm 2
 3 3
 1 4a− 2 bb ++++ 3 b 3 42()a + 3 64 63
 ≤ =⇒≥232.
 2 3 27 ()()2abb−+ 3() 23 a +
 64 63
 ⇒+2aa≥2 + . (1)
 23
 ()()2abb−+ 3() 23a +
 Theo BĐT AM-GM ta có 232323aaa+++ 6336 35
 +++33 ≥⇒+≥−=4 a 4 (2)
 666()23aa++() 23 22
 3
 Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi ab=, = 1.
 2
Câu 4 a) Chia tập X thành các cặp ()()()1,2 , 3,4 ,..., 2019,2020 . Có tất cả 1010 cặp 1 điểm 
2điểm 
 và 1011 phần tử nên theo nguyên tắc Dỉichlet, tồn tại hai phần tử thuộc cùng
 một cặp. Hai phần tử này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)
 x
 n 
 b) Xây dựng dãy ()xxnn:11= 1, x+ = 5 − 1. Ta chứng minh ()xn là dãy số 1 điểm
 nguyên dương tăng và mọi số hạng của dãy đều thỏa mãn đk bài toán. 
 + Thật vậy ()xn là dãy số nguyên dương. Áp dụng BĐT Becnuli ta có 
 xn
 xn+1 =5 −≥+ 1 1 4.xn −= 1 4 xxnn > Vậy ()xn là dãy số tăng. (1) 
 xn
 + Dùng quy nạp chứng minh 51− xn (*)
 x1
 Với n=1, ta có 51− x1 (đúng) 
 xxnn*
 Giả sử (*) đúng đến n, tức là 51− xnn ⇒ x+1 = 51., −= kxn() k ∈
 xn++11kx nn x x n
 Ta có 51515151.−= −() − ⇒ − xn+1 Theo nguyên lí quy nạp suy ra 
 xn *
 5− 1, xnn ∀∈ (2).
 Từ (1) và (2) suy ra đpcm. 
 22
Câu 5 a) ta có ax11+ bx += c0() 1, ax22 + bx += c 0() 2 Nhân hai vế của (1) 1 điểm
2điểm 
 n−2 n−2
 với x1 và nhân hai vế của (2) với x2 rồi cộng theo vế ta đc đpcm. 
 b) Ta có 13± là nghiệm của PT xx2 −2 −= 20 nên 1 điểm 
 SSnn−2−−1 − 2 S n 201 = 0,S = 2, S =⇒=+=⇒= 2 S 210 2 SS 2 8,... S 8 3104. Vậy 
 A=31044. 
 2