Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2013 - 2014 môn: Toán lớp 6

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán - Lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,5 điểm):
a) Tính: .
b) Tìm x, biết: 
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Chứng minh rằng: M= 
chia hết cho 2014.
b) Chứng minh rằng (n+3) và (2n+5) là hai số nguyên tố cùng nhau với n là số tự nhiên bất kỳ.
Câu 3 (2,0 điểm):
a) Tìm các số nguyên x sao cho .
b) Tìm tất cả các chữ số x và y sao cho chia cho 2, 5, 9 đều dư 3. 
Câu 4 (2,5 điểm):
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho .
a) Chứng tỏ rằng: Tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.
b) Gọi Ot là tia đối của tia Ox. Tia Oz có phải là tia phân giác của không? Vì sao?
c) Lấy các điểm A thuộc tia Ot; B thuộc tia Oz; C thuộc tia Oy; D thuộc tia Ox (các điểm đó khác điểm O). Qua 5 điểm A, B, C, D, O vẽ được bao nhiêu đường thẳng phân biệt?
Câu 5 ( 1,0 điểm):
Tìm các số nguyên x, y biết: .
------------------Hết------------------
(Người coi thi không giải thích gì thêm!)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán - Lớp 6
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
=
0,5
0,5
b
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
2
a
M= 
= (2013+ 20132) + (20133 + 20134) +  + (20132013 + 20132014)
= 2013 (1 +2013) + 20133 (1+2013) +  + 20132013(1+ 2013)
= 2014( 2013 + 20133 + + 20132013) .
0,25
0,25
0,5
b
Gọi d =(n+ 3, 2n+5)
 (n+ 3) d và (2n +5) d
2(n+3) –(2n+5) d1d d =1.
Vậy n+ 3 và 2n+ 5 nguyên tố cùng nhau .	
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a
Ư(5)= 
.
0,25
0,25
0,5
b
Số chia cho 2 và 5 đều dư 3 tức chia cho 10 dư 3 thì y = 3. 
Ta có số . Để số chia 9 dư 3 thì (x+ 2+ 7+ 9+ 3) -3 = x+ 18 
.Vậy x= 9; y= 3.
0,25
0,25
0,25
0,25
4
a
z
y
t
x
O
Vì Oy, Oz nằm trên cùng một nửa mặt phằng bờ chứa tia Ox và (800 < 1300) nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.
0,75
b
Học sinh lập luận để tính được: nên tia Oz là tia phân giác của .
0,75
c
Học sinh biết chia các trường hợp:
Trường hợp 1. Ngoài bộ ba điểm A, O, D thẳng hàng thì các điểm còn lại không lập thành ba điểm thẳng hàng. 
Có 5 điểm không thẳng hàng sẽ có: 5.4:2 = 10 đường thẳng được tạo thành.
Có 3 điểm thẳng hàng tạo được 1 đường thẳng; có ba điểm không thẳng hàng lập được 3 đường thẳng,. Suy ra số đường thẳng giảm đi 3-1= 2 đường thẳng. Vậy ngoài bộ ba điểm A, O, D thẳng hàng thì các điểm còn lại không lập thành ba điểm thẳng hàng sẽ có 8 đường thẳng được tạo thành.
Trường hợp 2. Nếu có thêm bộ: A, B, C hoặc B, C, D thẳng hàng:
Lập luận tương tự tính được 6 đường thẳng.
0,5
0,5
5 
Suy ra 2y+ 1 là ước lẻ của 30
Lập bảng tìm được x, y. 
Có 8 cặp (x; y) thỏa mãn đề bài: (-2;-8); (-6;-3); (-10;-2); (-30;-1); (30;0); (10;1); (6;2); (2;7).
0,25
0,25
0,5
Tổng điểm
10,0