Đề chọn đội dự tuyển thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa (Có đáp án)

ĐỀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN THI HSG TỈNH THANH HOÁ
NĂM HỌC: 2020 - 2021
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1	 ( 4,0 điểm )
1) Rút gọn biểu thức: với .
2) Tính giá trị biểu thức: với thỏa mãn: .
Bài 2	 ( 4,0 điểm)
1) Giải phương trình: .
2) Giải phương trình: .
Bài 3	 ( 4,0 điểm)
1) Cho , là các số nguyên sao cho là số nguyên. Chứng minh chia hết cho .
2) Tìm số nguyên tố , , thỏa mãn: .
Bài 4	 ( 6,0 điểm). Cho nhọn, các đường cao , , cắt nhau tại . Trên , lấy , sao cho ; .
a) Chứng minh rằng: .
b) Gọi là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng . Chứng minh:.
c) Chứng minh đường thẳng đi qua điểm vuông góc với , đường thẳng đi qua điểm vuông góc với và đường thẳng đi qua điểm vuông góc với đồng quy tại một điểm.
Bài 5	 ( 2,0 điểm). Cho , , là các số thực dương thỏa mãn: .
Chứng minh rằng: .
– HẾT —
ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN THI HSG TỈNH
NĂM HỌC: 2020 – 2021
Môn Toán: Lớp 9
Bài 1	 ( 4,0 điểm )
1) Rút gọn biểu thức: với .
2) Tính giá trị biểu thức: với thỏa mãn: .
LỜI GIẢI
1) Ta có:
2) Ta có:
 Khi đó:
Suy ra:
.
Vậy với 
Bài 2	 ( 4,0 điểm)
1) Giải phương trình: .
2) Giải phương trình: .
LỜI GIẢI
1) Điều kiện xác đinh: ; ; ; 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
2) Điều kiện xác định: 
Đặt: Khi đó phương trình trở thành:
+) TH1: Nếu , ta có:
+) TH2: Nếu , ta có:
(vô nghiệm, vì )
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 
Bài 3	 ( 4,0 điểm)
1) Cho , là các số nguyên sao cho là số nguyên. Chứng minh chia hết cho .
2) Tìm số nguyên tố , , thỏa mãn: .
LỜI GIẢI
1) Đặt  ;  ; và .
Theo đề bài, ta có:
Mặt khác: ; (với , là số nguyên)
 nên hay .
Vậy 
2) Ta có:
 và khác tính chẵn, lẻ ; khác tính chẵn, lẻ.
Mà ; là các số nguyên tố nên ta xét các trường hợp sau:
+) TH1: , ta có:
 và là lũy thừa của 2
Đặt .
Khi đó: (vì là số lẻ)
Suy ra và 
+) TH 2: , , ta có:
Do là số lẻ nên suy ra , (loại)
Vậy 
Bài 4	 ( 6,0 điểm). Cho nhọn, các đường cao , , cắt nhau tại . Trên , lấy , sao cho ; .
a) Chứng minh rằng: .
b) Gọi là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng . Chứng minh:.
c) Chứng minh đường thẳng đi qua điểm vuông góc với , đường thẳng đi qua điểm vuông góc với và đường thẳng đi qua điểm vuông góc với đồng quy tại một điểm.
LỜI GIẢI
a) Chứng minh rằng: .
Xét vuông tại , đường cao .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có: (1)
Xét vuông tại , đường cao .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có: (2)
Xét và , có:
 chung
 (g.g) (3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra: 
b) Chứng minh: .
Xét và , có:
 chung
Chứng minh tương tự, ta có: 
, lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh của 
c) Gọi là giao điểm của ba đường trung trực của 
 (vì cân tại ); (vì cân tại ); (vì cân tại )
Lại có: 
Chứng minh tương tự, ta có: ; .
Vậy đường thẳng đi qua điểm vuông góc với , đường thẳng đi qua điểm vuông góc với và đường thẳng đi qua điểm vuông góc với đồng quy tại điểm .
Bài 5	 ( 2,0 điểm). Cho , , là các số thực dương thỏa mãn: .
Chứng minh rằng: .
LỜI GIẢI
Áp dụng bất đẳng thức , ta có:
Mặt khác, ta có: 
 (1)
Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si, có:
Từ (1) và (2), suy ra: 
Chứng minh tương tự, ta có:
; 
Do đó:
Dấu xảy ra khi: .
– HẾT —