Chuyên đề Phương trình bậc nhất –bậc hai
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề Phương trình bậc nhất –bậc hai, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 14 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1) · x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng. · Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. · Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x 1 ( ) thì cần điều kiện P(x) ¹ 0. – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x) ³ 0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2. · (1) Û (2) khi và chỉ khi S1 = S2. · (1) Þ (2) khi và chỉ khi S1 Ì S2. 3. Phép biến đổi tương đương · Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0. · Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x 5 53 12 4 4 + = + - - b) x x x 1 15 15 3 3 + = + + + c) x x x 2 1 19 1 1 - = - - - d) x x x 2 23 15 5 5 + = + - - Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x1 1 2+ - = - b) x x1 2+ = - c) x x1 1+ = + d) x x1 1- = - e) x x x 3 1 1 = - - f) x x x2 1 2 3- - = - + Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x23( 3 2) 0- - + = b) x x x21( 2) 0+ - - = c) x x x x 1 2 2 2 = - - - - d) x x x x x 2 4 3 1 1 1 - + = + + + + CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 15 Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x2 1- = + b) x x1 2+ = - c) x x2 1 2- = + d) x x2 2 1- = - Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x x x x1 1 = - - b) x x x x 2 2 1 1 - - = - - c) x x x x2 2 = - - d) x x x x 1 1 2 2 - - = - - Bài 6. a) Chú ý: Khi a ¹ 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn. Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) m x m x2( 2) 2 3+ - = - b) m x m x m( ) 2- = + - b) m x m m x( 3) ( 2) 6- + = - + d) m x m x m2 ( 1) (3 2)- + = - e) m m x x m2 2( ) 2 1- = + - f) m x m x m2( 1) (2 5) 2+ = + + + Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c: a) x a x bb a a b a b ( , 0)- -- = - ¹ b) ab x a b b x( 2) 2 ( 2a)+ + = + + c) x ab x bc x b b a b c a c b 2 3 ( , , 1) 1 1 1 + + + + + = ¹ - + + + d) x b c x c a x a b a b c a b c 3 ( , , 0)- - - - - -+ + = ¹ Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x Î R. a) m x n( 2) 1- = - b) m m x m2( 2 3) 1+ - = - c) mx x mx m x2( 2)( 1) ( )+ + = + d) m m x x m2 2( ) 2 1- = + - Bài 4. a) II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0 ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a ¹ 0 (1) có nghiệm duy nhất bx a = - b ¹ 0 (1) vô nghiệm a = 0 b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 16 1. Cách giải Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c a . – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = c a - . – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với bb 2 ¢ = . 2. Định lí Vi–et Hai số x x1 2, là các nghiệm của phương trình bậc hai ax bx c 2 0+ + = khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức bS x x a1 2 = + = - và cP x x a1 2 = = . VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax bx c2 0+ + = Để giải và biện luận phương trình ax bx c2 0+ + = ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a: – Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx c 0+ = . – Nếu a ¹ 0 thì mới xét các trường hợp của D như trên. Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) x x m2 5 3 1 0+ + - = b) x x m22 12 15 0+ - = c) x m x m2 22( 1) 0- - + = d) m x m x m2( 1) 2( 1) 2 0+ - - + - = e) m x m x2( 1) (2 ) 1 0- + - - = f) mx m x m2 2( 3) 1 0- + + + = Bài 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại: a) x mx m x2 31 0; 2 - + + = = - b) x m x m x2 22 3 0; 1- + = = c) m x m x m x2( 1) 2( 1) 2 0; 2+ - - + - = = d) x m x m m x2 22( 1) 3 0; 0- - + - = = Bài 3. a) III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1) b ac2 4D = - Kết luận D > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt bx a1,2 2 D- ± = D = 0 (1) có nghiệm kép bx a2 = - D < 0 (1) vô nghiệm Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 17 VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax bx c a2 0 ( 0)+ + = ¹ (1) · (1) có hai nghiệm trái dấu Û P < 0 · (1) có hai nghiệm cùng dấu Û P 0 0 Dì ³ í >î · (1) có hai nghiệm dương Û P S 0 0 0 Dì ³ï >í ï >î · (1) có hai nghiệm âm Û P S 0 0 0 Dì ³ï >í ï <î Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì D > 0. Bài 1. Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt iii) có hai nghiệm dương phân biệt a) x x m2 5 3 1 0+ + - = b) x x m22 12 15 0+ - = c) x m x m2 22( 1) 0- - + = d) m x m x m2( 1) 2( 1) 2 0+ - - + - = e) m x m x2( 1) (2 ) 1 0- + - - = f) mx m x m2 2( 3) 1 0- + + + = g) x x m2 4 1 0- + + = h) m x m x m2( 1) 2( 4) 1 0+ + + + + = Bài 2. a) VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et 1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số Ta sử dụng công thức b cS x x P x x a a1 2 1 2 ;= + = - = = để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm x1, x2 theo S và P. Ví dụ: x x x x x x S P2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 2+ = + - = - x x x x x x x x S S P3 3 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 3 ( 3 )é ù+ = + + - = -ë û 2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm: b cS x x P x x a a1 2 1 2 ;= + = - = = (S, P có chứa tham số m). Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2. 3. Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng: x Sx P2 0- + = , trong đó S = u + v, P = uv. Bài 1. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: A = x x2 21 2+ ; B = x x 3 3 1 2+ ; C = x x 4 4 1 2+ ; D = x x1 2- ; E = x x x x1 2 2 1(2 )(2 )+ + a) x x2 5 0- - = b) x x22 3 7 0- - = c) x x23 10 3 0+ + = d) x x2 2 15 0- - = e) x x22 5 2 0- + = f) x x23 5 2 0+ - = Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 18 Bài 2. Cho phương trình: m x m x m2( 1) 2( 1) 2 0+ - - + - = (*). Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2. Bài 3. Cho phương trình: x m x m2 2(2 1) 3 4 0- + + + = (*). a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tính theo m, biểu thức A = x x3 31 2+ . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x x2 21 2, . HD: a) m 2 2 ³ b) x x x x1 2 1 2 1+ - = - c) A = m m m 2(2 4 )(16 4 5)+ + - d) m 1 2 7 6 ± = e) x m m x m2 2 22(8 8 1) (3 4 ) 0- + - + + = Bài 4. Cho phương trình: x m x m m2 22( 1) 3 0- - + - = (*). a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x x2 21 2 8+ = . HD: a) m = 3; m = 4 b) x x x x x x21 2 1 2 1 2( ) 2( ) 4 8 0+ - + - - = c) m = –1; m = 2. Bài 5. Cho phương trình: x m m x m2 2 3( 3 ) 0- - + = . a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. HD: a) m = 0; m = 1 b) x x x2 2 21; 5 2 7; 5 2 7= = - = - - . Bài 6. (nâng cao) Cho phương trình: x x x2 22 2 sin 2 cosa a+ = + (a là tham số). a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi a. b) Tìm a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN. Bài 7. Cho phương trình: a) Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 19 1. Định nghĩa và tính chất · A khi AA A khi A 0 0 ì ³= í- <î · A A0,³ " · A B A B. .= · A A 2 2= · A B A B A B. 0+ = + Û ³ · A B A B A B. 0- = + Û £ · A B A B A B. 0+ = - Û £ · A B A B A B. 0- = - Û ³ 2. Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. · Dạng 1: f x g x( ) ( )= C f x f x g x f x f x g x 1 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) éì ³ íê =îÛ ê ì <êíê - =îë C g x f x g x f x g x 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ì ³ ïÛ é =í êï = -ëî · Dạng 2: f x g x( ) ( )= [ ] [ ] C f x g x 1 2 2 ( ) ( )Û = C f x g x f x g x 2 ( ) ( ) ( ) ( ) é =Û ê = -ë · Dạng 3: a f x b g x h x( ) ( ) ( )+ = Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 1 3- = + b) x x4 7 2 5+ = + c) x x2 3 2 0- + = d) x x x2 6 9 2 1+ + = - e) x x x2 4 5 4 17- - = - f) x x x24 17 4 5- = - - g) x x x x1 2 3 2 4- - + + = + h) x x x1 2 3 14- + + + - = i) x x x1 2 2- + - = Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x x4 7 4 7+ = + b) x x2 3 3 2- = - c) x x x1 2 1 3- + + = d) x x x x2 22 3 2 3- - = + + e) x x x22 5 2 7 5 0- + - + = f) x x3 7 10+ + - = Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x x2 2 1 1 0- + - - = b) x x x2 2 5 1 7 0- - - + = c) x x x2 2 5 1 5 0- - - - = d) x x x2 4 3 2 0+ + + = e) x x x24 4 2 1 1 0- - - - = f) x x x2 6 3 10 0+ + + + = Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 1 5- = b) mx x x1 2- + = + c) mx x x2 1+ - = d) x m x m3 2 2+ = - e) x m x m 2+ = - + f) x m x 1- = + Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) mx x2 4- = + b) Bài 6. a) IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 20 Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. Dạng 1: f x g x( ) ( )= Û [ ]f x g x g x 2 ( ) ( ) ( ) 0 ìï =í ³ïî Dạng 2: f x g xf x g x f x hay g x ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ( ) 0) ì == Û í ³ ³î Dạng 3: af x b f x c( ) ( ) 0+ + = Û t f x t at bt c2 ( ), 0 0 ìï = ³ í + + =ïî Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )+ = · Đặt u f x v g x( ), ( )= = với u, v ³ 0. · Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. Dạng 5: f x g x f x g x h x( ) ( ) ( ). ( ) ( )+ + = Đặt t f x g x t( ) ( ), 0= + ³ . Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x2 3 3- = - b) x x5 10 8+ = - c) x x2 5 4- - = d) x x x2 12 8+ - = - e) x x x2 2 4 2+ + = - f) x x x23 9 1 2- + = - g) x x x23 9 1 2- + = - h) x x x2 3 10 2- - = - i) x x x2 2( 3) 4 9- + = - Bài 2. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 26 9 4 6 6- + = - + b) x x x x2( 3)(8 ) 26 11- - + = - + c) x x x x2( 4)( 1) 3 5 2 6+ + - + + = d) x x x x2( 5)(2 ) 3 3+ - = + e) x x2 2 11 31+ + = f) x x x x2 2 8 4 (4 )( 2) 0- + - - + = Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x1 1 1+ - - = b) x x3 7 1 2+ - + = c) x x2 29 7 2+ - - = d) x x x x2 23 5 8 3 5 1 1+ + - + + = e) x x3 31 1 2+ + - = f) x x x x2 25 8 4 5+ - + + - = g) x x3 35 7 5 13 1+ - - = h) x x3 39 1 7 1 4- + + + + = Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x x x x3 6 3 ( 3)(6 )+ + - = + + - b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16+ + + = + + + - c) x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1- + - - - - = d) x x x x7 2 (7 )(2 ) 3- + + - - + = e) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5+ + - + + - = f) x x x x x23 2 1 4 9 2 3 5 2- + - = - + - + g) x x x x221 1 3 + - = + - h) x x x x29 9 9+ - = - + + V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 21 Bài 5. Giải các phương trình sau: a) x x x x2 4 2 2 5 2 4 6 2 5 14- + - + + + - = b) x x x x5 4 1 2 2 1 1+ - + + + - + = c) x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4- - - + - - + + - - = Bài 6. Giải các phương trình sau: a) Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của phương trình (mẫu thức khác 0). Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x x x 2 10 501 2 3 (2 )( 3) + = - - + - + b) x x x x x x 1 1 2 1 2 2 1 + - + + = + - + c) x x x x 2 1 1 3 2 2 + + = + - d) x x x 2 2 3 5 1 4 - + = - - e) x x x x x x 2 22 5 2 2 15 1 3 - + + + = - - f) x x x x2 2 3 4 2 ( 1) (2 1) + - = + - Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx m x 1 3 2 - + = + b) mx m x m 2 3+ - = - c) x m x x x m 1 2 1 - - + = - - d) x m x x x 3 1 2 + + = - - e) m x m m x ( 1) 2 3 + + - = + f) x x x m x 1 = + + Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau: a) VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 22 1. Cách giải: t x tax bx c at bt c 2 4 2 2 , 00 (1) 0 (2) ìï = ³+ + = Û í + + =ïî 2. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng. · (1) vô nghiệm Û voâ nghieäm coù nghieäm keùp aâm coù nghieäm aâm (2) (2) (2) 2 é ê ê ë · (1) có 1 nghiệm Û coù nghieäm keùp baèng coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi aâm (2) 0 (2) 1 0, é êë · (1) có 2 nghiệm Û coù nghieäm keùp döông coù nghieäm döông vaø nghieäm aâm (2) (2) 1 1 é êë · (1) có 3 nghiệm Û coù nghieäm baèng nghieäm coøn laïi döông(2) 1 0, · (1) có 4 nghiệm Û coù nghieäm döông phaân bieät(2) 2 3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn · Dạng 1: x a x b x c x d K vôùi a b c d( )( )( )( ) ,+ + + + = + = + – Đặt t x a x b x c x d t ab cd( )( ) ( )( )= + + Þ + + = - + – PT trở thành: t cd ab t K2 ( ) 0+ - - = · Dạng 2: x a x b K4 4( ) ( )+ + + = – Đặt a bt x 2 + = + Þ a b b ax a t x b t, 2 2 - - + = + + = + – PT trở thành: a bt t K vôùi4 2 2 42 12 2 0 2 a a a æ ö- + + - = =ç ÷ è ø · Dạng 3: ax bx cx bx a a4 3 2 0 ( 0)+ + ± + = ¹ (phương trình đối xứng) – Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 , ta được: PT Û a x b x c xx 2 2 1 1 0 æ ö æ ö + + ± + =ç ÷ç ÷ è øè ø (2) – Đặt t x hoaëc t x x x 1 1æ ö = + = -ç ÷ è ø với t 2³ . – PT (2) trở thành: at bt c a t2 2 0 ( 2)+ + - = ³ . Bài 1. Giải các phương trình sau: a) x x4 23 4 0- - = b) x x4 25 4 0- + = c) x x4 25 6 0+ + = d) x x4 23 5 2 0+ - = e) x x4 2 30 0+ - = f) x x4 27 8 0+ - = Bài 2. Tìm m để phương trình: i) Vô nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm a) x m x m4 2 2(1 2 ) 1 0+ - + - = b) x m x m4 2 2(3 4) 0- + + = c) x mx m4 28 16 0+ - = VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax4 + bx2 + c = 0 (a ¹ 0) Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 23 Bài 3. Giải các phương trình sau: a) x x x x( 1)( 3)( 5)( 7) 297- - + + = b) x x x x( 2)( 3)( 1)( 6) 36+ - + + = - c) x x4 4( 1) 97+ - = d) x x4 4( 4) ( 6) 2+ + + = e) x x4 4( 3) ( 5) 16+ + + = f) x x x x4 3 26 35 62 35 6 0- + - + = g) x x x x4 3 24 1 0+ - + + = Bài 4. Giải các phương trình sau: a) Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 24 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a x b y c a b a b a x b y c 2 2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( 0, 0) ì + = + ¹ + ¹í + =î Giải và biện luận: – Tính các định thức: a b D a b 1 1 2 2 = , x c b D c b 1 1 2 2 = , y a c D a c 1 1 2 2 = . Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 5 4 3 7 9 8 ì - = í - =î b) x y x y 2 11 5 4 8 ì + = í - =î c) x y x y 3 1 6 2 5 ì - = í - =î d) ( ) ( ) x y x y 2 1 2 1 2 2 1 2 2 ìï + + = - í - - =ïî e) x y x y 3 2 16 4 3 5 3 11 2 5 ì + =ï í ï - = î f) x y y 3 1 5x 2 3 ìï - = í + =ïî Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 1 8 18 5 4 51 ì - =ïï í ï + = ïî b) x y x y 10 1 1 1 2 25 3 2 1 2 ì + =ïï - + í ï + = ï - +î c) x y x y x y x y 27 32 7 2 3 45 48 1 2 3 ì + =ïï - + í ï - = - ï - +î d) x y x y 2 6 3 1 5 5 6 4 1 1 ì - + + = í - - + =î e) x y x y x y x y 2 9 3 2 17 ì + - - = í + + - =î f) x y x y x y x y 4 3 8 3 5 6 ì + + - = í + - - =î Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) mx m y m x my ( 1) 1 2 2 ì + - = + í + =î b) mx m y m x m y ( 2) 5 ( 2) ( 1) 2 ì + - = í + + + =î c) m x y m m x y m ( 1) 2 3 1 ( 2) 1 ì - + = - í + - = -î d) m x m y m x m y m ( 4) ( 2) 4 (2 1) ( 4) ì + - + = í - + - =î e) m x y m m x y m m2 2 ( 1) 2 1 2 ì + - = - í - = +î f) mx y m x my m 2 1 2 2 5 ì + = + í + = +î Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Î Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) m x y m m x y m m2 2 ( 1) 2 1 2 ì + - = - í - = +î b) mx y x m y m 1 4( 1) 4 ì - = í + + =î c) mx y x my m 3 3 2 1 0 ì + - = í + - + =î VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Xét D Kết quả D ¹ 0 Hệ có nghiệm duy nhất yx DD x y D D ; æ ö = =ç ÷ è ø Dx ¹ 0 hoặc Dy ¹ 0 Hệ vô nghiệm D = 0 Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 25 Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. a) mx y m x my m 2 1 2 2 5 ì + = + í + = +î b) mx m y m x my 6 (2 ) 3 ( 1) 2 ì + - = í - - =î c) mx m y m x my ( 1) 1 2 2 ì + - = + í + =î Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) ax y b x y3 2 5 ì + = í + = -î b) y ax b x y2 3 4 ì - = í - =î c) ax y a b x y a2 ì + = + í + =î d) a b x a b y a a b x a b y b ( ) ( ) (2 ) (2 ) ì + + - = í - + + =î e) ax by a b bx ay ab 2 2 2 ì + = +í + =î f) ax by a b bx b y b 2 2 4 ìï - = - í - =ïî Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) x y z x y z x y z 3 1 2 2 5 2 3 0 ì + - =ï - + =í ï - - =î b) x y z x y z x y z 3 2 8 2 6 3 6 ì + + =ï + + =í ï + + =î c) x y z x y z x y z 3 2 7 2 4 3 8 3 5 ì - + = -ï - + + =í ï + - =î Bài 8. a) Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 26 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai · Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. · Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. · Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1 Hệ có dạng: (I) f x y g x y ( , ) 0 ( , ) 0 ì = í =î (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). · Đặt S = x + y, P = xy. · Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. · Giải hệ (II) ta tìm được S và P. · Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P2 0- + = . 3. Hệ đối xứng loại 2 Hệ có dạng: (I) f x y f y x ( , ) 0 (1) ( , ) 0 (2) ì = í =î (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). · Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I) Û f x y f y x f x y ( , ) ( , ) 0 (3) ( , ) 0 (1) ì - = í =î · Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) Û x y g x y( ). ( , ) 0- = Û x y g x y( , ) 0 é = ê =ë . · Như vậy, (I) Û f x y x y f x y g x y ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 éì = íê =îê ì =êíê =îë . · Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). 4. Hệ đẳng cấp bậc hai Hệ có dạng: (I) a x b xy c y d a x b xy c y d 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ì + + =ï í + + =ïî . · Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). · Khi x ¹ 0, đặt y kx= . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để giải (sẽ học ở lớp 12). – Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm x y0 0( ; ) thì y x0 0( ; ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x y0 0= . IX. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 27 Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) x y x y 2 24 8 2 4 ì + =í + =î b) x xy x y 2 24 2 3 1 ì - =í - =î c) x y x y 2( ) 49 3 4 84 ì - =í + =î d) x xy y x y x y 2 23 2 3 6 0 2 3 ì - + + + - =í - =î e) x y xy x y 3 4 1 0 3( ) 9 ì - + = í = + -î f) x y xy x y 2 3 2 6 0 ì + = í + + + =î g) y x x x y 2 4 2 5 0 ì + =í + - =î h) x y x y y2 2 2 3 5 3 2 4 ì + = í - + =î i) x y x xy y2 2 2 5 7 ì - = í + + =î Bài 2. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x y x y m2 2 6ì + = í + =î b) x y m x y x2 2 2 2 ì + = í - + =î c) x y x y m2 2 3 2 1ì - = í + =î Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x y xy x y2 2 11 2( ) 31 ì + + = í + - - + = -î b) x y x xy y2 2 4 13 ì + = í + + =î c) xy x y x y x y2 2 5 8 ì + + = í + + + =î d) x y y x x y 13 6 6 ì + =ï í ï + =î e) x x y y x y xy 3 3 3 3 17 5 ì + + =í + + =î f) x x y y x xy y 4 2 2 4 2 2 481 37 ìï + + = í + + =ïî Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x y xy m x y m2 2 3 2 ì + + = í + = -î b) x y m x y xy m m2 2 2 1 2 3 ì + = + í + = - -î c) x y m xy x y m ( 1)( 1) 5 ( ) 4 ì + + = + í + =î Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: a) x x y y y x 2 2 3 2 3 2 ìï = + í = +ïî b) x y x y y x y x 2 2 2 2 2 2 2 2 ìï - = + í - = +ïî c) x x y y y x 3 3 2 2 ìï = + í = +ïî d) yx y x x y x y 3 4 3 4 ì - =ïï í ï - = ïî e) yy x xx y 2 2 2 2 23 23 ì + =ï ï í +ï = ïî f) x y y y x x 2 2 12 12 ì = +ïï í ï = + ïî Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x x my y y mx 2 2 3 3 ìï = + í = +ïî b) x y m m y x m m 2 2 2 2 (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) ìï - = - í - = -ïî c) xy x m y xy y m x 2 2 ( 1) ( 1) ìï + = - í + = -ïî Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 1 3 3 13 ìï - + = - í - + =ïî b) x xy y x xy y 2 2 2 2 2 4 1 3 2 2 7 ìï - + = - í + + =ïî c) y xy x xy y 2 2 2 3 4 4 1 ìï - = í - + =ïî d) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 5 4 38 5 9 3 15 ìï + - = í - - =ïî e) x xy y x xy y 2 2 2 2 2 3 9 4 5 5 ìï - + = í - + =ïî f) x xy y x xy y 2 2 2 2 3 8 4 0 5 7 6 0 ìï - + = í - - =ïî Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) x mxy y m x m xy my m 2 2 2 2( 1) ìï + + = í + - + =ïî b) xy y x xy m 2 2 12 26 ìï - = í - = +ïî c) x xy y m y xy 2 2 2 4 3 4 ìï - + = í - =ïî Bài 9. Giải các hệ phương trình sau: a) Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 28 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) m x m x m2 24 3+ - = + b) a b x a a a b a b x2 2 2 2( ) 2 2 ( ) ( )+ + = + + + c) a x ab b x a b2 2 2 22+ = + + d) a ax b ax b2( ) 4 5+ = + - Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x m x m x x 2 1 1 1 + + - - = - b) m x m x m x 2 2 1 1 - = + - c) mx mx x x 2 1 12 1 1 1 - + - - = - - d) x x m1 2 3- + - = Bài 3. Giải và biện
File đính kèm:
Chuong III Phuong trinh va He phuong trinh.pdf
