Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 
Dạng 2. PP lượng giác hóa 

 Nếu hàm f(x) có chứa 2 2a x− thì đặt 
2 2 2 2 2
(a sin ) cos
a sin
sin cos
dx d t a t dt
x t
a x a a t a t
= =
= →
− = − =
 Nếu hàm f(x) có chứa 2 2a x+ thì đặt 
2
2 2 2 2 2
( tan )
cos
tan
tan
cos

= =
= →
 + = + =

adtdx d a t
t
x a t
a
a x a a t
t

 MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU: 
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) ( )1 2 ; 24= =−∫
dxI a
x
 b) ( )22 1 ; 1= − =∫I x dx a 
c) ( )23 2 ; 11= =−∫
x dxI a
x
 d) ( )2 24 9 ; 3= − =∫I x x dx a 
Hướng dẫn giải: 
a) Đặt 12 2 2
(2sin ) 2cos 2cos2sin
2cos4 4 4sin 2cos 4
dx d t t dt dx t dt
x t I dt t C
tx t t x
= =
= → → = = = = +
− = − =
−
∫ ∫ ∫ 
Từ phép đặt 12sin arcsin arcsin2 2
x x
x t t I C   = ⇔ = → = +   
   
b) Đặt 
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =
= →
− = − =
Khi đó 22
1 cos2 1 1 11 cos .cos cos2 sin 2
2 2 2 2 4
t tI x dx t t dt dt dt t dt t C+= − = = = + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
Từ 
2 2
2cos 1 sin 1sin sin 2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x
 = − = −
= ⇒ → = = −
=
2
2
arcsin 1 1
2 2
xI x x C→ = + − + 
c) Đặt 
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =
= →
− = − =
Khi đó, 
2 2
2
3 2
sin .cos 1 os2 1 1
sin sin 2
cos 2 2 41
x dx t t dt c tI t dt dt t t C
tx
−
= = = = = − +
−
∫ ∫ ∫ ∫ 
Từ 
2 2
2cos 1 sin 1sin sin 2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x
 = − = −
= ⇒ → = = −
=
2
3
arcsin 1 1
2 2
xI x x C→ = − − + 
d) Đặt 
2 2
(3sin ) 3cos
3sin
9 9 9sin 3cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =
= →
− = − =
Khi đó, 2 2 2 2 2 24
81 81 1 os49 9sin .3cos .3cos 81 sin .cos sin 2
4 4 2
c tI x x dx t t t dt t t dt t dt dt−= − = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
Tài liệu bài giảng: 
03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 
81 1 1 81 1
os4 sin 4
4 2 2 4 2 8
tdt c t dt t C   = − = − +  
   ∫ ∫
Từ 
2
2
2cos 1 sin 1 293sin sin 2 1
3 9
arcsin
3
x
t t
x x
x t t
x
t

= − = −

= ⇒ → = −
 
=    
Mặt khác, 
2 2 2 2
2 2 2 2os2 1 2sin 1 2 1 sin 4 2sin 2 . os2 2. 1 . 1
3 9 3 9 9
x x x x x
c t t t t c t
  
= − = − = − → = = − −  
   
Từ đó ta được 
2 2
4
arcsin
81 23 1 . 1 .
4 2 6 9 9
x
x x xI C
  
     = − − − + 
  
  
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) ( )1 2 ; 11
dxI a
x
= =
+∫ b) 
2
2 2 5I x x dx= + +∫ c) ( )
2
3 2
; 2
4
x dxI a
x
= =
+
∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Đặt 
2 2
2
1 2
2 2
(tan ) (1 tan ) (1 tan )
tan cos
1 tan1 1 tan
dtdx d t t dt t dt
x t I dt t Ct
t
x t

= = = + +
= → → = = = +
+ + = +
∫ ∫ 
Từ giả thiết đặt 1tan arctan arctan .x t t x I x C= ⇔ = → = + 
b) Ta có 12 2 22 2 5 ( 1) 4 ( 1) 4t xI x x dx x d x I t dt= += + + = + + + → = +∫ ∫ ∫ 
 Đặt 
2
2 2
22 2
2(2 tan ) 2 coscos2 tan 22 cos cos
.cos4 4 4 tan
coscos
dudt d u du du u duut u I
u u
ut u
uu

= =
= → → = = =
 + = + =

∫ ∫ ∫ 
2
(sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin(sin ) ln .
1 sin 2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin
d u u u d u d u ud u C
u u u u u u
+ + − +
= = = + = +
− + − − + −∫ ∫ ∫ ∫
Từ phép đặt 
2 2
2 2
2 2 2
1 42 tan tan 1 sin 1 os 1
2 os 4 4 4
t t t
t u u u c u
c u t t
= ⇔ = → = + → = − = − =
+ +
Từ đó ta được 
2 2
2
2 2
11 1
1 1 sin 1 14 2 5ln ln ln .12 1 sin 2 21 1
4 2 5
t x
u t x xI C C C
t xu
t x x
+
+ +
+ + + +
= + = + = +
+
−
− −
+ + +
c) Đặt 
2
2
2 2
2(2 tan ) 2(1 tan )
os2 tan
4 4 tan 4
dtdx d t t dt
c tx t
x t

= = = +
= →
 + = +
( )
2 2 2 2 2
2 2
3 23 42 2
4 tan .2(1 tan ) sin sin .cos sin . (sin )4 tan 1 tan 4 4 4
cos cos2 1 tan 1 sin
t t dt t t t dt t d tI t t dt dt
t tt t
+
→ = = + = = =
+ −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
Đặt ( )
222
3 2 22
1 (1 ) (1 )
sin 4 4 4
1 2 (1 )(1 )1
u u u u
u t I du du du
u u uu
 + − − 
= → = = =   
− + −   −
∫ ∫ ∫ 
2
2 2 2 2
1 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
1 1 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )
du du du d u d u u u dudu
u u u u u u u u u u
− + − + + 
= − = + − = − + − 
− + − + − + − + − + 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
1 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
du dudu u u C
u u u u u u u u u u
 
− − − + = − − − − = − − − + + − + 
− + + − − + + − − + 
∫ ∫ ∫ 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 
3
1 1 1 1 1 1 1 1 sin 1ln ln ln .
1 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1
u u tC I C C
u u u u u u t t t
− − −
= − + + → = − + + = − + +
− + + − + + − + +
Từ giả thiết 
2 2
2 2 2
2 2 2
1 42 tan tan 1 tan 1 os sin
2 os 4 4 4
x x x
x t t t c t t
c t x x
= ⇔ = → = + = + ⇔ = → =
+ +
2
32
2 2 2
1
1 1 4
sin ln .
4 1 1 1
4 4 4
x
x xt I C
x x xx
x x x
−
+⇔ = → = − + +
+
− + +
+ + +
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
a) 1 2 1
dxI
x
=
−
∫ b) 2 2 2 4
dxI
x x
=
−
∫ c) 3 2 2 2
dxI
x x
=
− −
∫ 
Hướng dẫn giải: 
a) Đặt 
2
2
1 22
22
2
1 cos
cos
sin sin1 cos
sin
sin sin .cot1 11 cot1 1
sin
t dt
t dtdx d dxt t dx t dttx I
t t tx
x tx
t
 − 
−= =  
=
−  
= → ←→ → = = 
− 
− =
− = − 
∫ ∫ 
2 2
sin (cos ) (cos ) 1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos(cos ) ln .
sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
t dt d t d t t t td t C
t t t t t t t
− + + +
= − = = = = +
− − + − + −∫ ∫ ∫ ∫
Từ phép đặt 
2
2
2 2
12 2
111 1 1 1
os 1 sin 1 cos ln .
sin 2 11
x
x xx c t t t I C
t x x x
x
−
+
−
= → = − = − ⇔ = → = +
−
−
b) Đặt 
2 2
2 2 22
22
2 2cos 2cos
sin sin2 sin
8cotsin 4 4 2cot 44 4
sinsin
t dt t dtdx d dx
t t t
x
tt
x t x xx
tt
 − 
−
= = =    
= → ←→ 
 
− = ⇒ − =
− = −  
Khi đó, 2 2 2 2
2
2cos 1 1
sin cos .8cot 4 44 sin .
sin
dx t dtI t dt t C
tx x t
t
−
= = = − = +
−
∫ ∫ ∫ 
Từ 
2 2
2 2
22
2 4 4 4
os 1 sin 1 cos .
sin 4
x x
x c t t t I C
t x x x
− −
= → = − = − ⇔ = → = + 
c) 
( )
1
3 32 2 2 22
( 1)
2 2 ( 1) 3 3 3
t xdx d x dt dtI I
x x x t t
= −
−
= = → = =
− − − − −
−
∫ ∫ ∫ ∫ 
Đặt 
2
2
22
2
3 3 cos
3 cos
sin sin3
sin
sin 3 3 3 cot3 3
sin
u dudt d u dudtu u
t u
u
t ut
u
  
−
= = −   =  
= → ←→ 
 
− =
− = − 

3 2 222
3 cos sin (cos ) (cos )
sin 1 cos (1 cos )(1 cos )sin . 3 cot3
dt u du u du d u d uI
u u u uu ut
−
→ = = = − = =
− − +
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos(cos ) ln .
2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
u u ud u C
u u u
− + + +
= = +
− + −∫
Từ 
2 2
2
2
32 2 2
3 2 21 13 3 3 1 1 1os 1 cos ln ln .
sin 2 23 2 21 1
1
t x x
t t xt c u t I C C
u t t t x x
t x
− − −
+ +
−
−
= ⇒ = − ⇔ = → = + = +
− − −
− −
−
Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau: 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 4 

 2 2
1
arc tan .
dx x C
x a a a
 
= + +  
∫ 

 2 2
1 ln .
2
dx x a C
x a a x a
+
= +
− −
∫ 

 2 2
1 ln .
2
dx x a C
a x a x a
−
= +
− +∫

 
2
2
ln .dx x x a C
x a
= + ± +
±∫
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
1) 
2
1 2 4
x dxI
x
=
+
∫ 2) 
2
2 2
1 xI dx
x
−
= ∫ 3) 
2
3 24
x dxI
x
=
−
∫ 
4) 4 2
1
3 2
I dx
x x
=
−
∫ 5) 25 2 1I x dx= +∫ 6) 6 22 5
dxI
x
=
−
∫