Chuyên đề luyện thi đại học môn toán - Mở đầu về nguyên hàm

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 
1. Khái niệm nguyên hàm 
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu '( ) ( )F x f x= , ∀x ∈ K 
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) là ( ) ( )f x dx F x C= +∫ , C ∈ R. 
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 
2. Tính chất 
• '( ) ( )f x dx f x C= +∫ 
• [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ 
• ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k= ≠∫ ∫ 
3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 
• 0dx C=∫ 
• dx x C= +∫ 
• 
1
, ( 1)
1
x
x dx C
+
= + ≠ −
+∫
α
α α
α
• 
1
lndx x C
x
= +∫ 
• 
x xe dx e C= +∫ 
• (0 1)
ln
x
x aa dx C a
a
= + < ≠∫ 
• cos sinxdx x C= +∫ 
• sin cosxdx x C= − +∫ 
• 
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +∫ 
• 
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +∫ 
• 
1
cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a
a
+ = + + ≠∫ 
• 
1
sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C a
a
+ = − + + ≠∫ 
• 
1
, ( 0)ax b ax be dx e C a
a
+ +
= + ≠∫ 
• 
1 1
lndx ax b C
ax b a
= + +
+∫
Ví dụ 1. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng 
a) ( ) (4 5)
( ) (4 1)
x
x
F x x e
f x x e
 = −

= −
 b) 
4
5 3
( ) tan 3 5
( ) 4 tan 4 tan 3
F x x x
f x x x
 = + −

= + +
c) 
2
2
2 2
4( ) ln
3
2( )
( 4)( 3)
xF x
x
xf x
x x
  +
=  
 + 
− =
 + +
 d) 
2
2
2
4
2 1( ) ln
2 1
2 2( 1)( )
1
x xF x
x x
xf x
x

− +
=
 + +

−
=
 +
Tài liệu bài giảng: 
01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 
Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau 
1) 2 1– 3 ..........................................................................x x dx
x
 
+ = 
 
∫ 
2)
4
2
2 3
..................................................................................
x dx
x
+
=∫ 
3) 2
1
...................................................................................
x dx
x
−
=∫ 
4)
2 2
2
( 1)
..............................................................................
x dx
x
−
=∫ 
5) ( )3 4 ......................................................................................x x x dx+ + =∫ 
6) 
3
1 2
...............................................................................dx
x x
 
− = 
 
∫ 
7) 22sin .............................................................
2
x dx =∫ 
8) 2tan ............................................................................xdx =∫ 
9) 2cos ................................................................xdx =∫ 
10) 2 2
1
.........................................................................................
sin .cos
dx
x x
=∫ 
11) 2 2
cos 2
....................................................................................................................................
sin .cos
x dx
x x
=∫ 
12) 2sin 3 cos 2 ............................................................................................x xdx =∫ 
13) ( )– 1 .............................................................................x xe e dx =∫ 
14) 22 .......................................................................................cos
x
x ee dx
x
− 
+ = 
 ∫
15) 3 1 2 ......................................................................................................................
1
x xe dx
x
+ + = 
− 
∫ 
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: 
a) 3( ) 4 5; (1) 3f x x x F= − + = b) pi= − =( ) 3 5cos ; ( ) 2f x x F 
c) 
23 5
( ) ; ( ) 1
x
f x F e
x
−
= = d) 
2 1 3
( ) ; (1)
2
x
f x F
x
+
= = 
e) −= − =
3
2
1( ) ; ( 2) 0xf x F
x
 f) 1( ) ; (1) 2f x x x F
x
= + = − 
g)  pi= = 
 
( ) sin2 .cos ; ' 0
3
f x x x F h) 
4 3
2
3 2 5( ) ; (1) 2x xf x F
x
− +
= = 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 
i) 
3 3
2
3 3 7
( ) ; (0) 8
( 1)
x x x
f x F
x
+ + −
= =
+
 k) 2 pi pi( ) sin ;
2 2 4
xf x F  = = 
 
Ví dụ 4. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: 
a) pi = + = = 
 
2( ) cos ; ( ) sin ; 3
2
g x x x x f x x x F 
b) pi= + = =2( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0g x x x x f x x x F 
c) 2( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2g x x x x f x x F= + = = − 
Ví dụ 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): 
a) 
3 2
2
( ) (3 2) 4 3. .
( ) 3 10 4
F x mx m x x
Tìm m
f x x x
 = + + − +

= + −
 b) 
2
2
( ) ln 5
. .2 3
( )
3 5
F x x mx
Tìm mx
f x
x x

= − +
+
=
+ +
c) 
2 2
2
( ) ( ) 4 . , , .
( ) ( 2) 4
F x ax bx c x x
Tìm a b c
f x x x x
 = + + −

= − −
 d) 
2( ) ( ) . , , .
( ) ( 3)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x e
 = + +

= −
e) 
2 2
2 2
( ) ( ) . , , .
( ) (2 8 7)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x x e
−
−
 = + +

= − − +
 f) 
2
2
( ) ( ) . , , .
( ) ( 3 2)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x x e
−
−
 = + +

= − +
g) ( ) ( 1)sin sin2 sin3 . , , .2 3
( ) cos
b c
F x a x x x Tìm a b c
f x x

 = + + +

 =
h) 
2
2
( ) ( ) 2 3
. , , .20 30 7
( )
2 3
F x ax bx c x
Tìm a b cx x
f x
x

= + + −

− +
=
−