Chuyên đề Lượng giác

 LTĐH Cấp Tơc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đồn Văn Tính(0946069661) 1 
Chuyên đề 
LƢỢNG GIÁC 
Phần 1: CƠNG THỨC 
1. Hệ thức LG cơ bản 
2 2
2
2
sin cos 1
sin
tan
cos 2
1
tan 1
2cos
k
k
 
 
  


  

 
 
   
 
 
    
 
  
 2
2
tan .cot 1
cos
cot
sin
1
cot 1
sin
k
k
 

  

  


 
  
 
2. Cơng thức LG thường gặp 
Cơng thức cộng: 
 
 
 
sin sinacosb sinbcosa
cos cosa cos b sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
a b
a b
a b
a
a b
  
 

 


 
 
Cơng thức nhân: 
2 2 2 2
3
3
3
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
3tan tan
tan 3 =
1 3tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a
a

     
 
 


 
 
Tích thành tổng: cosa.cosb =
1
2
[cos(ab)+cos(a+b)] 
sina.sinb =
1
2
[cos(ab)cos(a+b)] 
sina.cosb =
1
2
[sin(ab)+sin(a+b)] 
Tổng thành tích: 
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
 
 
 
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
 
 
 
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
 
 
 
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
 
  
 
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

 
 
Cơng thức hạ bậc: cos2a =
1
2
(1+cos2a) 
sin
2
a =
1
2
(1cos2a) 
 
 
 
 LTĐH Cấp Tơc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đồn Văn Tính(0946069661) 2 
 
\ 
Biểu diễn các hàm số LG theo 
tan
2
a
t 
 
2
2 2 2
2 1- 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
  
  
 
 
3. Phương trìng LG cơ bản 
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k

 
 
    
 * cosu=cosvu=v+k2 
* tanu=tanv  u=v+k * cotu=cotv  u=v+k 
 Zk 
. 
4. Một số phương trình LG thường gặp 
1. Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác: 
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các 
cơng thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. 
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình cĩ dạng 
a.sin
2
x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các 
phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG.. 
2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx: 
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là 
2 2 2a b c 
. 
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt 
tan
b
a

, ta được: sinx+tancosx=
cos
c
a

 

sinx
cos
+
sin
cosx=
cos
c
a

 

 sin(x+

)=
cos
c
a

sin
đặt . 
Cách 2: Chia hai vế phương trình cho
2 2a b
, ta được: 
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
 
  
 
Đặt: 
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
  
 
. Khi đĩ phương trình tương đương: 
2 2
cos sin sin cos
c
x x
a b
  

 hay 
 
2 2
sin sin
c
a b
   

đặt
. 
Cách 3: Đặt 
tan
2
x
t 
. 
3. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: 
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). 
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 
2
x k

 
. 
+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. 
Chú ý: 
2
2
1
tan 1
2cos
x x k
x
      
 
 
Cách 2: Áp dụng cơng thức hạ bậc. 
4. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và cosx: 
Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c. 
Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện  t 
2
. 
 sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x
 
 
   
       
   
   
        
   
Lưu y ùcác công thức : 
 LTĐH Cấp Tơc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đồn Văn Tính(0946069661) 3 
 
 
 
 
Phần 2: VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
KHƠNG MẪU MỰC 
Ví dụ 1: Giải phương trình : 2sin2 (cot tan2 ) 4cosx x x x  (1) 
 Điều kiện: sin 0
cos2 0
4 2
x k
x
x x k

 
 
 
 
   
 
 Ta cĩ: cos sin 2
cot tan 2
sin cos2
x x
x x
x x
  
cos2 cos sin 2 sin
sin cos2
x x x
x x


cos
sin cos2x x

 
 cos 2(1) 2sin cos 4cos
sin cos2
x
x x x
x x
 
 
 2cos 22cos
cos2
x
x
x
 
2cos (1 2cos2 ) 0x x  
 
 cos 0
cos2 1/ 2
x
x

  
2
6
x k
x k





 
 
   

 
 Vậy,phương trình cĩ nghiệm: 
2
x k

 
,
6
x k

  
 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
4 4sin 2 cos 2 4cos 4
tan( ) tan( )
4 4
x x
x
x x
 


 
 (1) 
 Điều kiện: 
sin( )cos( ) 0
4 4
sin( )cos( ) 0
4 4
x x
x x
 
 

  

   

 
sin( 2 ) 0
4
cos2 0
sin( 2 ) 0
4
x
x
x



 
  
  

 
 1 tan 1 tan
tan( ) tan( ) . 1
4 4 1 tan 1 tan
x x
x x
x x
   
   
 
 
 4 4 4(1) sin 2 cos 2 cos 4x x x   2 2 41 2sin 2 cos 2 cos 4x x x   
 1 2 41 sin 4 cos 4
2
x x  
 1 2 41 (1 cos 4 ) cos 4
2
x x   
 
 4 22cos 4 cos 4 1 0x x    2os 4 1x  
 21 cos 4 0x   sin4 0x  
4
x k

 
 
 Vậy,phương trình cĩ nghiệm: 
2
x k


 
 LTĐH Cấp Tơc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đồn Văn Tính(0946069661) 4 
Ví dụ 3: Giải phương trình : 58 8 10 10sin cos 2(sin cos ) cos2
4
x x x x x   
 
 58 2 8 2sin (1 2sin ) cos (2cos 1) cos2
4
x x x x x    
 
 58 8sin cos2 cos cos2 cos2
4
x x x x x  
 
 8 84cos2 (cos sin ) 5cos2 0x x x x    
 4 4 4 44cos2 (cos sin )(cos sin ) 5cos2 0x x x x x x     
 2 2 2 2 4 44cos2 (cos sin )(cos sin )(cos sin ) 5cos2 0x x x x x x x x     
 12 2 24cos2 (cos sin )(1 sin 2 ) 5cos2 0
2
x x x x x    
 
 12 24cos 2 (1 sin 2 ) 5cos2 0
2
x x x   
 24cos2 (4cos2 2cos2 sin 2 5) 0x x x x    
 24cos2 [4cos2 2cos2 (1 cos 2 ) 5] 0x x x x     
 34cos2 (2cos 2 2cos2 5) 0x x x   cos2 0x  
4 2
x k
 
  
 
 
 
 
Ví dụ 4. Giải phương trình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). 
Giải 
Phương trình (1) tương đương với: 
1 cos 2 1 cos6 1 cos 4 1 cos8
2 2 2 2
x x x x   
  
 
 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 
 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 
 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 
 4cos5x.cos2x.cosx = 0 
5
10 52cos5 0
cos 2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2
 
π kππ
xx kπ
x
π π lπ
x x kπ x k l n
x
π π
x kπ x nπ

   
 
         
 
  
    
  

 
Ví dụ 5. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2). 
Giải 
Ta cĩ (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x) 
 cos2x(sin6x–cos6x) = 0 
 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 
 cos2x = 0 
 
2 , ( )
2 4 2
π π kπ
x kπ x k     
 
Ví dụ 6: Giải phương trình: 
6 3 48 2 cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0x x x x   
(3). 
Giải 
 LTĐH Cấp Tơc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đồn Văn Tính(0946069661) 5 
Ta cĩ: 
3 3 3
2 2
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2
2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2
2
cos 2 (1 cos 4 )
2
2
cos 2 .cos 2
4
2
cos 2
2 8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
π
x x
    
  
      
  
  
 
     , ( )kπ k 
 
Ví dụ 7. Giải phương trình lượng giác: 
8 8 17sin cos
32
x x 
 (4). 
Giải 
Ta cĩ (4) 
4 4
4 21 cos 2 1 cos 2 17 1 17(cos 2 6cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
    
         
   
 
Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta cĩ 2 2
1
17 13 2
6 1 6 0
134 4
2
t
t t t t
t


        
  

 
Vì t[0;1], nên 
21 1 cos4 1 1cos 2
2 2 2 2
x
t x

    
 
 cos4x = 0 
4 , ( )
2 8 4
π π π
x kπ x k k     
 
Ví dụ 8. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) 
Giải 
Ta cĩ (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0 
 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0 
 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*) 
x x k π k
x x x x
   
     
 
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện 
| | 2t 
, khi đĩ phương trình (*) trở thành: 
2t + t
2
 – 1 + 1 = 0  t2 + 2t = 0
0
sin -cos ,( )
2 ( 4
t π
x x x nπ n
t lo

         

¹i)
 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
π
x nπ  
; 
2 , ( , ) x k π n k 
 
BÀI TẬP 
Giải các phƣơng trình sau: 
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 ĐS: 
2 ; 2
2
x k x n
   
 
2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) 
HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: 
; 2
4 3
x k x n
       
 
3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) 
 LTĐH Cấp Tơc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đồn Văn Tính(0946069661) 6 
ĐS: 
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
           
 
4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 ĐS:
2
x k


. 
5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) 
ĐS: 
2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l
            
 với 
1
sin
4
  
. 
6. sinx4sin3x+cosx =0 ĐS: 
4
x k

 
. 
7. 
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
    
     
   
 ĐS: 
4 2
x k
 
 
 
8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x 
HD: sin
2
x.sinx.cos3x+cos
2
x. cosx.sin3x=sin
3
4x ĐS: 
12
x k


. 
9. 
1 1 7
4sin
3sin 4
sin
2
x
x
x


 
   
   
 
 
 ĐS: 
4
8
5
8
x k
x k
x k







 

  


  

 
10. 
3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x  
 
HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = 
3
k

 
, 
4
x k

  
 
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 
2
2 ( )
4 3
x k x k k
        
 
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). 
13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. 
14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. 
15. Giải phƣơng trình lƣợng giác:  2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x


 
 ĐS :
 2
4
x k k
    
 
16. Giải phƣơng trình: 
 
4 4sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x

 
 ĐS:vơ nghiệm. 
17. Giải phƣơng trình: 
2 22sin 2sin tan
4
x x x
 
   
 
. 
HD

(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0. 
18. Giải phƣơng trình: 
   3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x      
. 
ĐS:
,3
2
x k
k
x k




  



 
19. Giải phƣơng trình: cosx=8sin3
6
x
 
 
 
 ĐS:
 x k
 
20. Giải phƣơng trình lƣợng giác:  2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x


 
 ĐS:
 2
4
x k k
     
 
21. Giải phƣơng trình: 
cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x   
 
 LTĐH Cấp Tơc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đồn Văn Tính(0946069661) 7 
ĐS: 2
2 ( )
2
x k
k Z
x k
 
 
  
 
  
 
22. Giải phƣơng trình: 2cos3x + 
3
sinx + cosx = 0 
ĐS: x = 
3 2
k 

 (kZ) 
23. Giải phƣơng trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2
8
 ĐS: 
,
16 2
x k k Z
 
   
. 
: 
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 
KHỐI A 
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình: 
cos3 sin 3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
 
   
 
 ( A_2002). 
ĐS: 
5
;
3 3
x x
 
 
. 
2. Giải phương trình: 
2cos 2 1cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
   

 ( A_2003) 
ĐS: 
 
4
x k k
   
 
3. Giải phương trình: 
2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x 
 ( A_2005) 
ĐS: 
 
2
k
x k

 
 
4. Giải phương trình:  6 62 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
 


 ( A_2006) 
ĐS: 
 
5
2
4
x k k
   
 
5. Giải phương trình: 
   2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x    
 ( A_2007) 
ĐS: 
 , 2 , 2
4 2
x k x k x k k
         
 
6. 
1 1 7
4sin
3sin 4
sin
2
x
x
x


 
   
   
 
 
 ( A_2008) 
ĐS: 
 
5
, , ,
4 8 8
x k x k x k k
           
 
7. Giải phương trình: 
 
   
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x


 
. ( A_2009) 
ĐS: 
 
2
,
18 3
x k k
 
   
 
8. Giải phương trình (1 sinx cos2 ) in( ) 14 cos
1 t anx 2
x s x
x

  


 (A-2010) 
9. Giải phương trình 
2
1 sin 2 os2
2 sin xsin 2
1 cot
x c x
x
x
 


 (A-2011) 
10. Giải phương trình 
3sin2x+cos2x=2cosx-1
 (A-2012) 
11. Giải phương trình 
1 tan x 2 2 sin x
4
 
   
 
 (A-2013) 
 
 LTĐH Cấp Tơc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đồn Văn Tính(0946069661) 8 
 
KHỐI B 
12. Giải phương trình 
2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x  
 ( B_2002) 
ĐS: 
 ; ,
9 2
x k x k k
 
  
 
13. Giải phương trình 
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
  
 ( B_2003) 
ĐS: 
 ,
3
x k k
    
 
14. Giải phương trình 
  25sin 2 3 1 sin tanx x x  
 ( B_2004) 
ĐS: 
 
5
2 ; 2 ,
6 6
x k x k k
      
 
15. Giải phương trình 
1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x    
 ( B_2005) 
 
ĐS: 
 
2
2
3
x k k
    
 
16. Giải phương trình: 
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
   
 
 ( B_2006) 
ĐS: 
 
5
; ,
12 12
x k x k k
      
 
17. Giải phương trình: 
22sin 2 sin 7 1 sinx x x  
 ( B_2007) 
ĐS: 
 
2 5 2
; ,
18 3 18 3
x k x k k
   
    
 
18. Giải phương trình 
3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x  
 ( B_2008) 
 
ĐS: 
 ; ,
4 2 3
x k x k k
        
 
19. Giải phương trình: 
 3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x   
. ( B_2009) 
ĐS: 
 
2
, 2 ,
42 7 6
k
x x k k
        
 
20. Giải phương trình 
(sin 2 os2 )cos os2 inx=0x c x x c x s  
 (B-2010) 
21. Giải phương trình 
sin2xcos +sinxcosx=cos2x+sinx cosx x
 (B-2011) 
22. Giải phương trình 
2(cos 3sin )cos cos 3sin 1.x x x x x   
 (B-2012) 
23. Giải phương trình 
2sin5x 2cos x 1 
 (B-2013) 
 
 
KHỐI D 
24. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 (D_2002) 
ĐS: 
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
   
   
 
25. 
2 2 2sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
 
   
 
 ( D_2003) 
ĐS: 
 2 , ,
4
x k x k k
       
 
26. Giải phương trình 
  2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x   
 ( D_2004) 
ĐS: 
 2 , ,
3 4
x k x k k
        
 
27. Giải phương trình: 
4 4 3cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
    
        
   
 ( D_2005) 
 LTĐH Cấp Tơc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đồn Văn Tính(0946069661) 9 
ĐS: 
 ,
4
x k k
   
 
28. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 ( D_2006) 
ĐS: 
 
2
2 ,
3
x k k
    
 
29. Giải phương trình 2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
   
 
 (D_2007) 
ĐS: 
 2 , 2 ,
2 6
x k x k k
       
 
30. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (D_2008) 
ĐS: 
 
2
2 , ,
3 4
x k x k k
       
 
31. Giải phương trình 
3 cos5 2sin3 cos 2 sin 0x x x x  
 ( D_2009) 
ĐS: 
 , ,
18 3 6 2
x k x k k
   
     
 
32. Giải phương trình 
in2x cos2 3sin cos 1 0s x x x    
 (D-2010) 
33. Giải phương trình 
sin2x 2cos in 1
0
3 t anx
x s x  


 (D-2011) 
34. Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = 
2
cos2x (D-2012) 
 
 
35. Giải phương trình 
sin 3 3 cos3 2sin 2x x x 
 
ĐS: 
 
4 2
2 , ,
3 15 5
x k x k k
      
 
36. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx 
ĐS: 
 
5
, ,
12 12
x k x k k
      
 
 
Hết 
“Chúc các em thành cơng “