Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng loại (kiểu) II

 1 
ThS. ðồn Vương Nguyên toancapba.com 
CHUYÊN ðỀ 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) II 
1. Dạng 1: 


f(x, y) = 0
f(y, x) = 0
 (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia) 
Phương pháp giải chung 
Cách giải 1 
Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai 
phương trình của hệ. 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
3
3
x 2x y (1)
y 2y x (2)
 + =

 + =
. 
Giải 
Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: 
3 3 2 2x y 3x 3y 0 (x y)(x y xy 3) 0− + − = ⇔ − + + + = 
2 2y 3y
(x y) x 3 0 y x
2 4
   ⇔ − + + + = ⇔ =    
Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được: 
3x x 0 x 0+ = ⇔ = 
Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất 
x 0
y 0
 =
 =
. 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
 + + − =

 + + − =
Giải 
ðiều kiện: 
3
x 4
2
3
x 4
2
− ≤ ≤

− ≤ ≤
. 
Trừ (1) và (2) ta được: 
( ) ( )2x 3 2y 3 4 y 4 x 0+ − + + − − − = (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x) 0
2x 3 2y 3 4 y 4 x
+ − + − − −
⇔ + =
+ + + − + −
2 1
(x y) 0 x y
2x 3 2y 3 4 y 4 x
  ⇔ − + = ⇔ =   + + + − + −
. 
Thay x = y vào (1), ta được: 
 2 
2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + − = ⇔ + + + − = 
2
2
9 x 0 11
2 2x 5x 12 9 x x 3 x
9x 38x 33 0 9
 − ≥⇔ − + + = − ⇔ ⇔ = ∨ =
 − + =
 (nhận). 
Vậy hệ phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt 
11
xx 3
9
y 3 11
y
9
 = =  ∨ 
 =  =
. 
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 khơng giải được) 
Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích 
(thơng thường tương đương với 4 hệ phương trình mới). 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
3
3
x 2x y (1)
y 2y x (2)
 = +

 = +
Giải 
Trừ và cộng (1) với (2), ta được: 
3 2 2
3 2 2
x 2x y (x y)(x xy y 1) 0
y 2y x (x y)(x xy y 3) 0
  = + − + + − = ⇔ 
 = + + − + − =   
2 2
2 2 2 2 2 2
x y 0 x y 0x y 0 x xy y 1
x y 0 x xy y 3 x xy y 1 x xy y 3
  − = + = − = + + =  ⇔ ∨ ∨ ∨   
   + = − + = + + = − + =      
+ 
x y 0 x 0
x y 0 x 0
 − = =  ⇔ 
 + = =  
+ 
2 2 2
x y 0 y x x 3 x 3
x xy y 3 x 3 y 3 y 3
    − = =  = = −  ⇔ ⇔ ∨   
   − + = = = = −       
+ 
2 2 2
x y 0 y x x 1 x 1
y 1 y 1x xy y 1 x 1
   + = = −  = − =    ⇔ ⇔ ∨   
   = = −+ + = =     
+ 
2 2
2 22 2
xy 1x xy y 1 xy 1 x 1 x 1
x y 0 y 1 y 1x y 2x xy y 3
     = −+ + = = − = = −      ⇔ ⇔ ⇔ ∨    
    + = = − =+ =− + =      
Vậy hệ phương trình cĩ 5 nghiệm phân biệt: 
x 0 x 1 x 1 x 3 x 3
x 0 y 1 y 1 y 3 y 3
     = = − = = = −      ∨ ∨ ∨ ∨    
    = = = − = = −         
. 
Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y 
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
2x 3 4 y 4 (1)
2y 3 4 x 4 (2)
 + + − =

 + + − =
Giải 
 3 
ðiều kiện: 
3
x 4
2
3
x 4
2
− ≤ ≤

− ≤ ≤
. 
Trừ (1) và (2) ta được: 
 2x 3 4 x 2y 3 4 y+ − − = + − − (3) 
Xét hàm số 3f(t) 2t 3 4 t, t ; 4
2
 
 = + − − ∈ −
  
, ta cĩ: 
/ 1 1 3f (x) 0, t ; 4
22t 3 2 4 t
 = + > ∀ ∈ −   + −
(3) f(x) f(y) x y⇒ ⇔ = ⇔ = . 
Thay x = y vào (1), ta được: 
 2x 3 4 x 4 x 7 2 (2x 3)(4 x) 16+ + − = ⇔ + + + − = 
2 112 2x 5x 12 9 x x 3 x
9
⇔ − + + = − ⇔ = ∨ = (nhận). 
Vậy hệ phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt 
11
xx 3
9
y 3 11
y
9
 = =  ∨ 
 =  =
. 
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 
3
3
x 2x y
y 2y x
 + =

 + =
. 
Giải 
Xét hàm số 3 / 2f(t) t 2t f (t) 3t 2 0, t= + ⇒ = + > ∀ ∈ ℝ . 
Hệ phương trình trở thành 
f(x) y (1)
f(y) x (2)
 =
 =
. 
+ Nếu x y f(x) f(y) y x> ⇒ > ⇒ > (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn). 
+ Nếu x y f(x) f(y) y x< ⇒ < ⇒ < (mâu thuẩn). 
Suy ra x = y, thế vào hệ ta được 3x x 0 x 0.+ = ⇔ = 
Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất 
x 0
y 0
 =
 =
. 
Chú ý: 
Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải khơng được mới nghĩ đến cách 2 
và 3, nếu vẫn khơng giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1! 
Ví dụ 6 (trích đề thi ðH khối B – 2003). Giải hệ phương trình: 
2
2
2
2
x 2
3x
y
y 2
3y
x
 + =
 + =
Giải 
Nhận xét từ hệ phương trình ta cĩ 
x 0
y 0
 >
 >
. Biến đổi: 
 4 
2
2 2
2
2 22
2
x 2
3x 3xy x 2 (1)y
3yx y 2 (2)y 2
3y
x
 + =  = +  ⇔ 
  = ++  =
Trừ (1) và (2) ta được: 
(x y)(3xy x y) 0 x y (3xy x y 0).− + + = ⇔ = + + > 
Với 3 2x y : (1) 3x x 2 0= ⇔ − − = 2(x 1)(3x 2x 2) 0 x 1.⇔ − + + = ⇔ = 
Vậy hệ cĩ 1 nghiệm 
x 1
y 1
 =
 =
. 
2. Dạng 2: 


f(x, y) = 0
g(x, y) = 0
, trong đĩ chỉ cĩ 1 phương trình đối xứng 
Phương pháp giải chung 
Cách giải 1 
ðưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình cịn lại. 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
2
1 1
x y (1)
x y
2x xy 1 0 (2)
 − = −
 − − =
. 
Giải 
ðiều kiện: x 0, y 0≠ ≠ . Ta cĩ: 
1 1
(1) (x y) 1 0 y x y .
xy x
 ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −  
+ Với y = x: 2(2) x 1 0 x 1⇔ − = ⇔ = ± . 
+ Với 1y
x
= − : (2) vơ nghiệm. 
Vậy hệ phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt 
x 1 x 1
y 1 y 1
 = = −  ∨ 
 = = −  
. 
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 khơng giải được) 
ðưa phương trình đối xứng về dạng f(x) f(y) x y= ⇔ = với hàm f đơn điệu. 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
2
x y cos x cos y (1)
x y 3y 18 0 (2)
 − = −

 − − =
. 
Giải 
Tách biến phương trình (1), ta được: 
(1) x cos x y cos y⇔ − = − (3). 
Xét hàm số /f(t) t cos t f (t) 1 sin t 0, t= − ⇒ = + > ∀ ∈ ℝ . 
Suy ra (3) f(x) f(y) x y⇔ = ⇔ = . 
Thay x = y vào (2), ta được: 
 5 
3 2x 3x 18 0 (x 3)(x 3x 6) 0 x 3.− − = ⇔ − + + = ⇔ = 
Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất 
x 3
y 3
 =
 =
. 
Chú ý: 
Cách giải sau đây sai:
2
1 1
x y (1)
x y
2x xy 1 0 (2)
 − = −
 − − =
. 
Giải 
ðiều kiện: x 0, y 0≠ ≠ . 
Xét hàm số /
2
1 1
f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0}
t t
= − ∈ ⇒ = + > ∀ ∈ℝ ℝ . 
Suy ra (1) f(x) f(y) x y⇔ = ⇔ = ! 
Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0). 
BÀI TẬP 
Giải các hệ phương trình sau 
1) 
2
2
x 3y 2 0
y 3x 2 0
 − + =

 − + =
. ðáp số: 
x 1 x 2
y 1 y 2
 = =  ∨ 
 = =  
. 
2) 
2
2
x xy x 2y
y xy y 2x
 + = +

 + = +
. ðáp số: 
3
xx 0
2
y 0 3
y
2
 = =  ∨ 
 =  =
. 
3) x 1 y 7 4
y 1 x 7 4
 + + − =

 + + − =
. ðáp số: 
x 8
y 8
 =
 =
. 
4) x 1 y 2 3
y 1 x 2 3
 + + − =

 + + − =
. ðáp số: 
x 3
y 3
 =
 =
. 
5) x 3 2 y 3
y 3 2 x 3
 + + − =

 + + − =
. ðáp số: 
x 1 x 2
y 1 y 2
 = = −  ∨ 
 = = −  
. 
6) 
3
3
x x 2y
y y 2x
 = +

 = +
. ðáp số: 
x 0 x 3 x 3
y 0 y 3 y 3
   = = = −   ∨ ∨  
  = = = −     
. 
7) 2
2
3
2x y
x
3
2y x
y
 + =
 + =
. ðáp số: 
x 1
y 1
 =
 =
. 8) 
2
2
1
2x y
y
1
2y x
x
 = +

 = +
. ðáp số: 
x 1
y 1
 =
 =
. 
9) 
2 2
2 2
x y 4 y
xy 4 x
 − =

 − =
. ðáp số: 
x 2
y 2
 =
 =
. 
 6 
10) 
3 2
3 2
x x x 1 2y
y y y 1 2x
 − + + =

 − + + =
. ðáp số: 
x 1 x 1
y 1 y 1
 = = −  ∨ 
 = = −  
. 
11) (trích đề thi ðH khối A – 2003) 
3
1 1
x y (1)
x y
 2y x 1 (2)
 − = −
 = +
. 
Hướng dẫn giải 
ðiều kiện: x 0, y 0.≠ ≠ 
x y 1 1
(1) x y 0 (x y) 1 0 x y y .
xy xy x
 − ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −  
+ Với x y= : (2) 1 5x 1 x .
2
− ±
⇔ = ∨ = 
+ Với 41y : (2) x x 2 0.
x
= − ⇔ + + = 
Xét hàm số 4 / 3
3
1
f(x) x x 2 f (x) 4x 1 0 x .
4
−
= + + ⇒ = + = ⇔ = 
3 3 x
1 3
f 2 0, lim f(x) 0, x
4 4 4 →±∞
 −  = − > = +∞ ⇒ > ∀ ∈  
ℝ 
4x x 2 0⇒ + + = vơ nghiệm. 
Cách khác: 
+ Với 4x 1 x 2 0 x x 2 0 ⇒ + + > . 
+ Với 4 4x 1 x x x x x 2 0≥ ⇒ ≥ ≥ − ⇒ + + > . 
Suy ra (2) vơ nghiệm. 
Vậy hệ phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt 
1 5 1 5
x xx 1
2 2
y 1 1 5 1 5
y y
2 2
  − + − − = =  =    ∨ ∨  
  = − + − −   = =    
. 
12) x sin y (1)
y sin x (2)
 =
 =
Hướng dẫn giải 
Trừ (1) và (2) ta được: 
x y sin y sin x x sin x y sin y (3).− = − ⇔ + = + 
Xét hàm số /f(t) t sin t f (t) 1 cos t 0, t= + ⇒ = + ≥ ∀ ∈ ℝ . 
(3) f(x) f(y) x y (1) x sin x 0 (4).⇔ = ⇔ = ⇒ ⇔ − = 
Xét hàm số /g(x) x sin x g (x) 1 cos x 0, x= − ⇒ = − ≥ ∀ ∈ ⇒ℝ (4) cĩ khơng quá 1 nghiệm. 
Do g(0) 0 (4) x 0.= ⇒ ⇔ = Vậy hệ cĩ 1 nghiệm 
x 0
y 0
 =
 =
.