Chuyên đề Dãy số (Bồi dưỡng học sinh giỏi)

CHUYÊN ðỀ DÃY SỐ (BDHSG) 
1. KHÁI NIỆM DÃY SỐ 
1) Cho A là một tập con khác rỗng của tập số nguyên ,ℤ hàm số u : A →ℝ 
 nn u(n) u=֏ 
được gọi là một dãy số, và kí hiệu là n(u ) hoặc { }nu . Thơng thường ta hay chọn A sao cho phần tử nhỏ nhất 
của A là 1. Dãy (un) gọi là dãy sỗ hữu hạn (hoặc dãy số vơ hạn) nếu A là tập hợp gồm hữu hạn (vơ hạn) phần tử. 
Số un được gọi là số hạng tổng quát của dãy (un). 
2) Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng (tăng khơng nghiệm ngặt, giảm, giảm khơng nghiêm ngặt) nếu n n 1u u +< 
(tương ứng n n 1u u +≤ , n n 1u u +> , n n 1u u +≥ ) với mọi n A.∈ 
3) Dãy số (un) được gọi là tuần hồn nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho n k nu u , n A.+ = ∀ ∈ Số k nhỏ nhất 
thoả mãn tính chất này được gọi là chu kì của dãy tuần hồn (un). Nếu k = 1 thì ta được một dãy hằng (tất cả các 
số hạng bằng nhau). 
4) Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho nu M≤ với mọi n A.∈ Dãy số (un) được 
gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho nu m≥ với mọi n A.∈ Dãy số (un) được gọi là bị chặn (hoặc 
giới nội) nếu nĩ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại số thực M, m sao cho nm u M≤ ≤ với mọi 
n A,∈ hoặc tồn tại số thực C sao cho nu C, n A.≤ ∀ ∈ Dãy số hữu hạn hoặc tuần hồn thì luơn bị chặn. 
2. CẤP SỐ 
1) Cấp số cộng 
- Dãy số (un) được gọi là cấp số cộng nếu mọi số hạng đều thoả mãn n 1 nu u d+ − = (d: hằng số, gọi là cơng sai). 
- Cơng thức truy hồi: n 1 nu u d.+ = + Cơng thức số hạng tổng quát: n 1u u (n 1)d, n A.= + − ∀ ∈ Cơng thức tính 
tổng n số hạng đầu tiên: n 1 n 1 1
n n n(n 1)S (u u ) (2u (n 1)d) nu d.
2 2 2
−
= + = + − = + Tính chất các số hạng: 
k 1 k 1 ku u 2u .+ −+ = 
2) Cấp số nhân 
- Dãy số (un) được gọi là cấp số nhân nếu mọi số hạng đều thoả mãn n 1 nu u .q+ = (q: hằng số, gọi là cơng bội). 
- Cơng thức truy hồi: n 1 nu u .q.+ = Cơng thức số hạng tổng quát: 
n 1
n 1u u .q .
−
= Cơng thức tính tổng n số hạng 
đầu tiên: n 1S nu= nếu q = 1, 
n 1
n 1
1 qS u
1 q
+
−
=
−
 nếu q 1.≠ Tính chất các số hạng: 2k 1 k 1 ku .u u .+ − = 
3) Cấp số nhân cộng 
- Dãy số (un) được gọi là cấp số nhân cộng nếu mọi số hạng đều thoả mãn n 1 nu u .q d+ = + (q, d là hằng số). 
4) Cấp số điều hồ 
- Dãy số (un) được gọi là cấp số điều hồ nếu mọi số hạng của nĩ đều khác 0 và thoả mãn n 1 n 1n
n 1 n 1
2u u
u ,
u u
− +
− +
=
+
hay 
n n 1 n 1
1 1 1 1( ).
u 2 u u
− +
= + (Học sinh tự ơn tập các dạng tốn về cấp số) 
3. XÁC ðỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 
3.1. DỰ ðỐN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUI NẠP 
BÀI TẬP 
1) Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi: 
n
1 n 1 1 n 1 n
n
2 n
1 n 1 n n 1 n 1
n
u
a)u 1, u , n 1, 2,3,... b)u 2, u 2 u , n 1, 2,3,...
1 u
3 1 ( 3 1)u3 5 3 1
c)u 1, u u u 1, n 1, 2,3,... d)u , u , n 1, 2,3,.
2 2 3 1 3 1 ( 3 1)u
+ +
+ +
= = ∀ = = = + ∀ =
+
− + +−
= = − + + ∀ = = = ∀ =
+ + − −
 ..
xa.nguyenvan@gmail.com
www.VNMATH.com
2 2
1 n 1 n 1 n 1 n n
1 1
e)u ,u 2u 1, n 1,2,3,... f )u , u 2u 1 u , n 1, 2,3,...
2 2+ +
= = − ∀ = = = − ∀ = 
3.2. MỘT SỐ DẠNG TRUY HỒI ðẶC BIỆT 

 Với dãy số cho bởi cơng thức truy hồi dạng n 1 nu u f (n)+ = + thì n 1u u f (1) f (2) ... f (n 1).= + + + + − 

 Với dãy số cho bởi cơng thức truy hồi dạng n 1 nu u .g(n)+ = thì n 1u u .g(1).g(2)...g(n 1).= − 
BÀI TẬP 
2) Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi: 
2
n
1 n 1 n 1 n 1
3 2 n
1 n 1 n 1 n 1 n
1 n 1 n
(n 1) u
a)u 1, u u n!.n, n 1, 2,3,... b)u 1, u , n 1, 2,3,...
n(n 2)
c)u 1, u u n 3n 3n 1, n 1, 2,3,... d)u 3, u u 3 , n 1, 2,3,...
e)u 1, u u (n 1).
+ +
+ +
+
+
= = + ∀ = = = ∀ =
+
= = + + − + ∀ = = = + ∀ =
= = + + n 1 n 1
n
2
1 n 1 n 1 n 1 n
12 , n 1, 2,3,... f )u 2, u 2 , n 1, 2,3,...
u
n 1 ng)u 1, u u , n 1, 2,3,... h)u 0, u (1 u ), n 1, 2,3,...
n n 1
+
+ +
∀ = = = − ∀ =
−
= = ∀ = = = + ∀ =
+
3.3. PHƯƠNG TRÌNH ðẶC TRƯNG 
Ta chỉ xét hai trường hợp đơn giản sau đây: 
a) Xét dãy số (un) cho bởi 1 2 n 2 n 1 nu ,u ,u a.u b.u , n * (a,b const). + += + ∀ ∈ =ℕ Khi đĩ phương trình 2x ax b 0− − = 
được gọi là phương trình đặc trưng của dãy số đã cho. 

 Nếu phương trình trên cĩ hai nghiệm thực phân biệt 1 2x , x thì 
n n
n 1 2u A.x B.x .= + 

 Nếu phương trình trên cĩ hai nghiệm thực trùng nhau 1 2x x= thì 
n
n 1u (A nB).x .= + 

 Nếu phương trình trên cĩ 0∆ < , gọi hai nghiệm phức của nĩ là 1 2x , x , và biểu diễn hai số phức này ở dạng 
lượng giác 1 2x r(cos i.sin ), x r(cos i.sin ),= ϕ + ϕ = ϕ − ϕ với r, ϕ là các số thực, r là mơđun của 1x và 2x , 
[ )0;2 ,ϕ∈ pi i là đơn vị ảo, thì nnu r (A.cos n B.sinn ).= ϕ + ϕ (Ở đĩ các hằng số A, B được xác định nhờ 1 2u , u ) 
b) Xét dãy số (un) cho bởi 1 2 3 n 3 n 2 n 1 nu ,u ,u ,u a.u b.u c.u , n * (a,b,c const) + + += + + ∀ ∈ =ℕ cĩ phương trình đặc 
trưng 3 2x ax bx c 0.− − − = 

 Nếu phương trình trên cĩ ba nghiệm thực phân biệt 1 2 3x , x , x thì 
n n n
n 1 2 3u A.x B.x C.x .= + + 

 Nếu phương trình trên cĩ ba nghiệm thực 1 2 3x , x , x mà 1 2 3x x x≠ = thì 
n n
n 1 2u A.x (B nC).x .= + + 

 Nếu phương trình trên cĩ ba nghiệm thực 1 2 3x , x , x và 1 2 3x x x= = thì 
2 n
n 1u (A nB n C).x .= + + 

 Nếu phương trình trên cĩ ba nghiệm 1 2 3x , x , x trong đĩ 1x là nghiệm thực, cịn hai nghiệm 
2x r(cos i.sin ),= ϕ + ϕ 3x r(cos i.sin )= ϕ − ϕ là hai nghiệm phức (khơng phải là số thực) thì 
n n
n 1u A.x r (B.cos n C.sinn ).= + ϕ + ϕ (Ở đĩ các hằng số A, B, C được xác định nhờ 1 2 3u , u ,u ) 
VD1. Cho dãy số n(u ) xác định bởi 1 2 n 2 n 1 nu 1,u 0, u u u , n *.+ += = = − ∀ ∈ℕ Chứng minh n(u ) bị chặn. 
HD. Phương trình đặc trưng của dãy số đã cho là 2x x 1 0− + = cĩ hai nghiệm phức 1x cos i.sin ,3 3
pi pi
= + 
2x cos i.sin ,3 3
pi pi
= − nên nn
n n
u 1 (A.cos B.sin ), n *.
3 3
pi pi
= + ∀ ∈ℕ Do 1 2u 1,u 0,= = nên ta cĩ 
1
2
A B 3 A 11 A.cos B.sin ( u ) 1
3 3 2 2
.32 2 BA B 30 A.cos B.sin ( u ) 0 33 3 2 2
pi pi
== + = + =  
⇔ ⇔  
pi pi =  
= + =
− + =   
TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
xa.nguyenvan@gmail.com
www.VNMATH.com
Suy ra n
n 3 n
u cos .sin , n *.
3 3 3
pi pi
= + ∀ ∈ℕ Vậy 2 2n
n 3 n 3 2
u cos .sin 1 ( ) , n *,
3 3 3 3 3
pi pi
= + ≤ + = ∀ ∈ℕ hay 
n(u ) là dãy bị chặn. 
VD2. Cho n(u ) cĩ 1 2 3 n 3 n 2 n 1 nu 0,u 16,u 47,u 7u 11u 5u , n *.+ + += = = = − + ∀ ∈ℕ Tìm dư khi chia 2011u cho 2011. 
HD. Phương trình đặc trưng 3 2x 7x 11x 5 0− + − = cĩ 3 nghiệm thực 1x 5= (nghiệm đơn), 2 3x x 1= = (nghiệm 
kép) do đĩ n nnu A.5 (B nC).1 , n *.= + + ∀ ∈ℕ Vì 1 2 3u 0,u 16,u 47= = = nên 
1A ,B 13,C 12.
5
= = − = Suy ra 
n 1
nu 5 12n 13, n *.
−
= + − ∀ ∈ℕ Từ đĩ 20102011u 5 12.2011 13.= + − Theo định lí Phécma thì 
20105 1 2011− ⋮ (định 
lí Phécma: Nếu p là số nguyên tố, a là số nguyên và (a, p) = 1, thì p 1a 1 (mod p)). − ≡ Vậy 2011u chia cho 2011 dư 
12− (hay dư 1999). 
VD3. Cho hai dãy số n n(x ), (y ) thoả mãn 1 1 n 1 n n n 1 n nx y 1, x 4x 2y , y x y , n *.+ += = = − = + ∀ ∈ℕ Xác định cơng 
thức của n nx , y . 
HD. Ta cĩ n 2 n 1 n 1 n 1 n n n 1 n n n 1 n n 1 nx 4x 2y 4x 2(x y ) 4x 2x 2y 4x 2x x 4x+ + + + + + += − = − + = − − = − + − hay 
n 2 n 1 nx 5x 6x ( n *). + += − ∀ ∈ℕ Dãy n(u ) cĩ phương trình đặc trưng 2x 5x 6 0 x 2− + = ⇔ = hoặc x = 3. Suy ra 
n n
nx A.2 B.3 , n *.= + ∀ ∈ℕ Mà 1 2 1 1x 1, x 4x 2y 2,= = − = nên 
1A , B 0,
2
= = và ta cĩ n 1nx 2 , n *.
−
= ∀ ∈ℕ Từ 
đĩ và n 1n 1 n n nx 4x 2y y 2 .
−
+ = − ⇒ = Vậy 
n 1
n nx y 2 , n *.
−
= = ∀ ∈ℕ 
3.4. PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ 
VD4. Cho dãy số n 1 2 n 2 n 1 n(u ) : u 1,u 2,u 2.u u 1, n *.+ += = = − + ∀ ∈ℕ ðặt n n 1 nv u u .+= − Chứng minh n(v ) là 
cấp số cộng và tìm nu . 
HD. a) Ta cĩ 1 2 1v u u 1.= − = Và n 2 n 1 n n 2 n 1 n 1 nu 2.u u 1, n * u u u u 1, n *+ + + + += − + ∀ ∈ ⇔ − = − + ∀ ∈ℕ ℕ 
n 1 nv v 1, n *.+⇔ = + ∀ ∈ℕ Vậy n(v ) là cấp số cộng với số hạng đầu tiên 1v 1,= cơng sai d = 1. 
b) Từ câu a ta cĩ n 1v v (n 1).d 1 (n 1).1 n,= + − = + − = hay n 1 nu u n, n *.+ − = ∀ ∈ℕ Suy ra n n n 1 n 1 n 2u (u u ) (u u )− − −= − + − + 
2
2 1 1
(n 1).n n n
... (u u ) u [(n 1) (n 2) ... 2 1] 1 1 1, n *.
2 2 2
−
+ + − + = − + − + + + + = + = − + ∀ ∈ℕ 
VD5. Cho dãy số n 1 2 n 2 n 1 n
2 1(u ) : u 0, u 1,u .u u , n *.
3 3+ +
= = = + ∀ ∈ℕ ðặt n n 1 nv u u .+= − Chứng minh n(v ) là 
cấp số nhân và tìm nu . 
HD. Ta cĩ 1 2 1v u u 1.= − = Và n 2 n 1 n n 2 n 1 n
2 1
u .u u , n * 3u 2u u , n *
3 3+ + + +
= + ∀ ∈ ⇔ = + ∀ ∈ ⇔ℕ ℕ 
n 2 n 1 n 1 n3(u u ) (u u ), n *+ + +− = − − ∀ ∈ℕ n 1 n
1
v v , n *.
3+
−
⇔ = ∀ ∈ℕ Vậy n(v ) là cấp số nhân với số hạng đầu tiên 
1v 1,= cơng bội 
1q .
3
 = − 
Ta cĩ n 1 n 1n 1
1
v v .q ( ) ,
3
− −
= = − n *.∀ ∈ℕ Suy ra n n n 1 n 1 n 2 2 1 1 n 1 n 2u (u u ) (u u ) ... (u u ) u v v− − − − −= − + − ++ + − + = + + 
n 1
2 n 2
2 1 1 n
11 ( )1 1 1 3 93
... v v u 0 1 ( ) ( ) ... ( ) 1. , n *.13 3 3 4 4.( 3)1 ( )
3
−
−
− −
+ + + + = + + − + − + + − = = + ∀ ∈
−
− −
ℕ 
VD6. Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( nu ) cĩ 1 1, . , *,+= = + + ∀ ∈ℕnnu c u q u an d n ở đĩ a, c, d, q là hằng số. 
xa.nguyenvan@gmail.com
TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
www.VNMATH.com
HD. Với q = 1 thì 1 , *nnu u an d n+ = + + ∀ ∈ℕ . Ta nhận thấy 2 1 3 2u u a d,u u 2a d,...,= + + = + + 
n 1 n 2 n n 1 2 3 n 1 n 1 2 n 2 n 1
n 1 n
... ...
n(n 1) n(n 1)
a(1 2 ... (n 2) (n 1)) (n 1)d a (n 1)d c a (n 1)d, (n *).
2 2
u u (n 2)a d,u u (n 1)a d u u u u u u u u
u u u
− − − − − −
⇒ + + + + = + + + + +
− −
+ + + + − + − + − = + + − ⇒ = + + − ∈
= + − + = + − +
⇒ ℕ
Khi q ≠ 1, ta sẽ xét một dãy phụ ( nv ) thỏa mãn , *,n nu v bn e n= + + ∈ℕ ở đĩ b, e là những hằng số, và ta cố 
gắng chọn b, e thích hợp để ( nv ) là cấp số nhân. Từ đẳng thức truy hồi ban đầu ta cĩ 
1 ( ) ( ), *,+ = + + − + + − − ∈ℕn nv qv qb a b n qe d b e n và dễ thấy để ( nv ) là cấp số nhân thì cần cĩ 
qb a b+ − = qe d b e+ − − = 0 2 ,(q 1),1 ( 1)
a d a qdb e
q q
≠
− −
⇔ = =
−
−
. Lúc này (với b, e như trên) do 1n nv qv+ = 
nên ( nv ) là cấp số nhân cĩ cơng bội q. Suy ra nv = 1 1. nqv − = 11 2( ).( 1)
naq dq du q
q
−
+ −
+
−
, từ đĩ ta tính được số hạng 
tổng quát của ( nu ) là 11 2 2
.( ). 1 ( 1)( 1)
n
n
aq dq d d a qda n
u u q q qq
−
=
+ − − −
+ + +
−
−
−
 (n ≥ 2). 
Vậy, số hạng tổng quát của ( nu ) đã cho là : 
1
2 2
( 1) ( 1) , 1
2
, 1.( ). 1 ( 1)( 1)
−
−
+ + − =
= 
 ≠

+ − − −+ + +
−
−
−
n
n
n n
c a n d khi q
khi q
u
aq dq d d a qda n
c q q qq
. 
BÀI TẬP 
3) Cho n(u ) : n1 n 1
n
3 2u
u 0,u , n *.
4 u+
+
= = ∀ ∈
+
ℕ ðặt nn
n
u 1
v .
u 3
−
=
+
 Chứng minh n(v ) là cấp số nhân và tìm nu . 
4) Cho n(u ) : n1 n 1
(n 1)u1
u , u , n *.
3 3n+
+
= = ∀ ∈ℕ ðặt nn
u
v .
n
= Chứng minh n(v ) là cấp số nhân và tìm nu . 
5) Cho n(u ) : n1 n 1 nu 1, u u 2.(1 3 ), n *. += = + + ∀ ∈ℕ ðặt nn nv u 3 .= − Chứng minh dãy số n(v ) là cấp số 
cộng và tìm nu . 
6) Nêu cách xác định số hạng tổng quát của dãy số ( nu ) cho bởi 1 ,u c= 1 ( ) . , *nn P nu q u n+ = + ∀ ∈ℕ , ở đĩ c, q 
là các hằng số, cịn P(n) là một đa thức bậc k cho trước. 
3.5. TUYẾN TÍNH HỐ MỘT SỐ DÃY PHI TUYẾN 
a) Với dãy số n(x ) cho bởi n1 n 1
n
px q
x a, x , n *,
rx s
+
+
= = ∀ ∈
+
ℕ và a, p, q, r, s là các hằng số, ta xét hai dãy n(u ), 
n(v ) thoả mãn 1 1 n 1 n n n 1 n nu a, v 1, u pu qv , v ru sv , n *,+ += = = + = + ∀ ∈ℕ thì nn
n
u
x .
v
= Từ đĩ tìm ra n n nu , v , x . 
b) Với dãy số n(x ) cho bởi 
2
n
1 n 1
n
x d
x a, x , n *,
2x+
+
= = ∀ ∈ℕ và a, d là các hằng số, d 0,≠ ta xét hai dãy n(u ), 
n(v ) thoả mãn 2 21 1 n 1 n n n 1 n nu a, v 1, u u dv , v 2u v , n *,+ += = = + = ∀ ∈ℕ thì nn
n
u
x .
v
= Từ đĩ tìm ra n n nu , v , x . 
VD7. Cho dãy n(x ) cĩ n1 n 1
n
x
x 1, x , n *,
2 x+
= = ∀ ∈
+
ℕ tìm nx và chứng minh n
1
x , n 2.
n
< ∀ ≥ 
HD. Xét hai dãy n(u ), n(v ) thoả mãn 1 1 n 1 n n 1 n nu v 1, u u , v u 2v , n *,+ += = = = + ∀ ∈ℕ thì nn
n
u
x .
v
= Ta thấy 
nx 1, n *.= ∀ ∈ℕ Và n 1 n n 1 nv 2v 1, n * v 1 2(v 1), n *.+ += + ∀ ∈ ⇔ + = + ∀ ∈ℕ ℕ Suy ra 2n n 1 n 2v 1 2.(v 1) 2 (v 1)− −+ = + = + = 
TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
xa.nguyenvan@gmail.com
www.VNMATH.com
n 1 n n
1 n... 2 (v 1) 2 v 2 1, n *.−= = + = ⇒ = − ∀ ∈ℕ Vậy nn n
n
u 1
x , n *.
v 2 1
= = ∀ ∈
−
ℕ Ta cĩ n 0 1 nn n n2 C C ...C= + + > 
0 1
n nC C 1 n, n 2,> + = + ∀ ≥ tức là n n
1 1
x , n 2.
n2 1
= < ∀ ≥
−
VD8. Cho dãy n(x ) cĩ n0 n 1
n
2x 1
x 2, x , n ,
2 x+
+
= = ∀ ∈
+
ℕ tìm nx và tìm phần nguyên của 1 2 nS x x ... x .= + + + 
HD. Xét hai dãy n(u ), n(v ) thoả mãn 0 0 n 1 n n n 1 n nu 2, v 1,u 2u v , v u 2v , n ,+ += = = + = + ∀ ∈ℕ thì nn
n
u
x .
v
= Ta 
cĩ 1 0 0 n 2 n 1 n 1 n 1 n n n 1 n n 1 n n 2 n 1 nu 2u v 5,u 2u v 2u u 2v 2u u 2(u 2u ) u 4u 3u ,+ + + + + + + += + = = + = + + = + + − ⇒ = − 
phương trình 2x 4x 3 0 x 1, x 3,− + = ⇔ = = nên nnu A B.3 , n .= + ∀ ∈ℕ Do 0 1u 2, u 5= = nên 
1 3A , B .
2 2
= = 
Suy ra 
n 1
n
3 1
u , n .
2
+ +
= ∀ ∈ℕ Tính được 
n 1
n
3 1
v , n .
2
+
−
= ∀ ∈ℕ Vậy 
n 1
n n 1
3 1
x , n .
3 1
+
+
+
= ∀ ∈
−
ℕ ðặt 
2 3 n n 1
1 2 n 2 3 n n 1
3 1 3 1 3 1 3 1S x x ... x ... .
3 1 3 1 3 1 3 1
+
−
+ + + +
= + + + = + + + +
− − − −
 Lưu ý 
n 1
n n 1 n 1
3 1 2
x 1 1, n .
3 1 3 1
+
+ +
+
= = + > ∀ ∈
− −
ℕ Ta cĩ 
n 1 0 1 2 2 n 1 n 1 0 2 2
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
1(1 2) C C .2 C .2 ... C .2 C C .2 1 (n 1)n. .4 2n(n 1) 1, n *.
2
+ + +
+ + + + + ++ = + + + + ≥ + = + + = + + ∀ ∈ℕ 
Dẫn tới n 1 n n 1
2 1 1 13 1 2n(n 1), n * x 1 1 1 , n *.
n(n 1) n n 13 1
+
+
− ≥ + ∀ ∈ ⇒ = + ≤ + = + − ∀ ∈
+ +
−
ℕ ℕ Do vậy với 
n *∀ ∈ℕ thì 1 2 n
1 1 1 1 1 1 1S x x ... x (1 ) (1 ) ... (1 ) n 1 n 1.
1 2 2 3 n n 1 n 1
= + + + ≤ + − + + − + + + − = + − < +
+ +
 Mặt khác 
1 2 nS x x ... x n, n *.= + + + > ∀ ∈ℕ Như vậy n S n 1, *,< < + ∀∈ℕ nên [ ]S n, *.= ∀∈ℕ 
4. MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ 
VD9. Cho các số dương 1 2 13a ,a ,..., a thoả mãn 1 2 13a a ... a 13.+ + + ≥ Chứng minh dãy (un) cho bởi 
n n n
n 1 2 13u a a ... a , n *,= + + + ∀ ∈ℕ là dãy tăng khơng nghiêm ngặt. 
HD. Với mọi số dương a và số nguyên dương n ta cĩ n(a 1)(a 1) 0− − ≥ nên n 1 na a a 1.+ − ≥ − Từ đĩ suy ra 
n 1 n 1 n 1 n n n
n 1 n 1 2 13 1 2 13 1 2 13u u (a a ... a ) (a a ... a ) a a ... a 13 0, n *,+ + ++ − = + + + − + + + ≥ + + + − ≥ ∀ ∈ℕ hay n 1 nu u , n *.+ ≥ ∀ ∈ℕ 
Vậy (un) là dãy số tăng khơng nghiêm ngặt. 
VD10. Chứng minh dãy số (un) cho bởi u1 = 1, n
n 1
1
u , n 2,3,4...
3 u
−
−
= ∀ =
+
 là dãy số giảm và bị chặn. 
HD. * Trước hết ta chứng minh n
3 5
u , n *.
2
− +
> ∀ ∈ℕ Thật vậy, với n = 1 thì 1
3 5
u 1 .
2
− +
= > Giả sử 
k
3 5
u .
2
− +
> Khi đĩ k k 1
k k
3 5 1 2 3 5 1 3 53 u u .
2 3 u 2 3 u 23 5 +
+ − − − +
+ > ⇒ 
+ ++
 Theo nguyên lí 
qui nạp tốn học, ta cĩ n
3 5
u , n *,
2
− +
> ∀ ∈ℕ tức là (un) bị chặn dưới bởi 3 5 .2
− +
* Bây giờ ta xét hiệu 
2
n n
n n 1 n n
n n
u 3u 11 3 5
u u u 0, n *, do u , n *.
3 u 3 u 2+
+ + − +
− = + = > ∀ ∈ > ∀ ∈
+ +
ℕ ℕ Vậy (un) 
là dãy số giảm. 
* Vì (un) giảm nên 1 2 n n 11 u u ... u u ...+= > > > > > suy ra (un) bị chặn trên bởi 1. Vậy (un) là dãy số bị chặn. 
TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
xa.nguyenvan@gmail.com
www.VNMATH.com
Nhận xét. Ta cĩ kết luận tương tự đối với dãy số (un) cho bởi u1 = α , n
n 1
a
u , n 2,3,4...
b cu
−
−
= ∀ =
+
, với a, b, c 
dương, 
2
2 b b 4acb 4ac 0, .
2c
− + −
− > α > 
VD11. Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy số (un) cĩ 1 n 1 n
n
1 a
x 0, x (x ), n *,
2 x+
> = + ∀ ∈ℕ ở đĩ a > 0 là hằng số. 
HD. Do 1x 0,a 0> > và n 1 n
n
1 a
x (x ), n *,
2 x+
= + ∀ ∈ℕ nên bằng qui nạp ta chứng minh được nx 0, n *,> ∀ ∈ℕ 
tức là dãy (un) bị chặn dưới. Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta cĩ n n 1
n 1
1 a
x (x ) a , n 2.
2 x−
−
= + ≥ ∀ ≥ Do đĩ n 1
n
x
x
+
= 
2
n
1 a 1 a 1, n 2.
2 2 2a2x
= + ≤ + = ∀ ≥ Suy ra (un) là dãy giảm khơng nghiệm ngặt, kể từ số hạng thứ 2 trở đi. Dễ thấy 
(un) bị chặn trên. Vậy (un) là dãy bị chặn. 
BÀI TẬP. 
7) Cho dãy n 1 2 n 2 n 1 n(x ) : x 7, x 50, x 4x 5x 1975, n *.+ += = = + − ∀ ∈ℕ Chứng minh 1996x 1997.⋮ 
8) Cho dãy các số nguyên n 1 2 3 n 3 n 2 n 1 n(x ) : x 15, x 35, x 405, x 6x 13x 42x , n *.+ + += = = = + − ∀ ∈ℕ Tìm những 
số hạng của dãy mà chữ số tận cùng của số hạng đĩ là số 0. 
5. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 

 Chúng tơi lưu ý kí hiệu n là một biến số nguyên dương, cịn n0 là một hằng số nguyên dương (trừ trường hợp 
cĩ chú thích cụ thể). 

 Một dãy số cĩ giới hạn hữu hạn được gọi là dãy số hội tụ, nếu nĩ cĩ giới hạn vơ cực hoặc khơng cĩ giới hạn 
thì ta nĩi nĩ phân kì. 

 Khi xét giới hạn của dãy số (un) ta cĩ thể chỉ xét các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ n0 trở đi, tức là việc 
thay đổi hữu hạn số hạng đầu tiên của dãy số khơng làm ảnh hưởng đến tính hội tụ, và khơng làm ảnh hưởng đến 
giới hạn (nếu cĩ) của dãy số đĩ. 

 Giới hạn của dãy số (nếu cĩ) là duy nhất. Tức là nếu limun = u thì limun+k = limun-k = u, với k là số nguyên 
dương tùy ý. 

 limun = 0 ⇔ lim|un| = 0. 

 limun = u ⇔ lim|un – u| = 0. 

 n 2n 2n+1limu u limu limu u= ⇔ = = . 

 Nếu limun = u thì lim|un| = |u| và lim knu = uk (k nguyên dương), lim
n
1
u
= 
1 (u 0)
u
≠ . 

 Nếu un < un+1 < M (∀n ≥ n0) thì (un) hội tụ, limun = u ≤ M, và un < u (∀n ≥ n0). 

 Nếu un ≤ un+1 ≤ M (∀n ≥ n0) thì (un) hội tụ, limun = u ≤ M, và un ≤ u (∀n ≥ n0). 

 Nếu un ≤ un+1(∀n ≥ n0) và (un) khơng bị chặn trên thì limun = + ∞. 

 Nếu un > un+1 > m (∀n ≥ n0) thì (un) hội tụ, limun = u ≥ m, và un > u (∀n ≥ n0). 

 Nếu un ≥ un+1 ≥ m (∀n ≥ n0) thì (un) hội tụ, limun = u ≥ m, và un ≥ u (∀n ≥ n0). 

 Nếu un ≥ un+1(∀n ≥ n0) và (un) khơng bị chặn dưới thì limun = – ∞. 

 Một dãy số hội tụ thì bị chặn. 

 Nếu xn ≤ yn ≤ zn (hoặc xn < yn < zn ) với ∀n ≥ n0, đồng thời limxn = limzn = a thì limyn = a (nguyên lí giới hạn 
kẹp). 

 Nếu un ≥ 0 (hoặc un > 0) với ∀n ≥ n0, và limun = u thì u ≥ 0 và lim nu u= . 
TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
xa.nguyenvan@gmail.com
www.VNMATH.com

 Giả sử un ≤ vn (hoặc un < vn) với ∀n ≥ n0. Khi đĩ: 
• Nếu limun = u, limvn = v thì u ≤ v. 
• Nếu limun = + ∞ thì limvn = + ∞. 
• Nếu limvn = – ∞ thì limun = – ∞. 

 Ta cĩ lim
n11
n
 
+ 
 
= e. Nếu limun = + ∞ hoặc limun = – ∞ thì lim
n
n
11
u
u
 
+ 
 
= e. 

 Nếu (un) bị chặn và limvn = 0 thì lim(unvn) = 0. 
VD12. Cho dãy số (an) thỏa mãn n 1 n 1n
n 1 n 1
2a .a
a
a a
− +
− +
=
+
, ∀ n > 1. Tìm lim an. 
HD. Nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho ak = 0 thì k k 2k+1
k k 2
2a .a
a 0
a a
+
+
= =
+
, suy ra k+1 k 3k+2
k+1 k 3
2a .a
a 0
a a
+
+
= =
+
, và 
dẫn tới k k 2k+1
k k 2
2a .a
a
a a
+
+
=
+
 khơng cĩ nghĩa. Do vậy an ≠ 0, ∀ n ∈ N *. Bây giờ ta đặt un = 
n
1
a
 (∀ n ∈ N *), thì un 
≠ 0 (∀ n ∈ N *), thay vào đẳng thức ở đề bài ta được un = 12 (un-1+ un+1), ∀n >1, suy ra (un) là cấp số cộng cĩ cơng 
sai d, và số hạng tổng quát un = u1 + (n – 1)d ≠ 0, với mọi n ∈ N *. Như vậy 1n
1
a
a
1 (n 1)da= + − (∀ n ∈ N *). 
Nếu d = 0 (⇔ u1 = u2 = ⇔ a1 = a2 = ) thì an = a1(∀ n ∈ N *) và lim an = a1. Nếu d ≠ 0 (⇔ các số hạng của 
dãy (un) phân biệt ⇔ các số hạng của dãy (an) phân biệt) thì 1n
1
alim a lim 0
1 ( n 1)d a= =+ − . 
 Vậy, nếu các số hạng của (an) bằng nhau thì lim an = a1, nếu các số hạng của dãy (an) phân biệt thì lim an = 0. 
VD13. Chứng minh rằng limqn = 
0, khi q 1
1, khi q = 1
+ , khi q > 1
khơng tơ`n tai, khi q 1
.
 <



∞

 ≤ −

. 
HD. Nếu q = 1 thì cĩ ngay limqn = 1. Và nếu q = 0 thì cũng cĩ ngay limqn = 0. 
 Nếu 0 0)⇒
n 0 1 n n
n n n
1 (1 a) C a.C ... a .C
q n
= + = + + + ≥1 + na > 0, với ∀ n ∈ N *. 
Do đĩ 
n 10 q
1 na
< ≤
+
, với ∀ n ∈ N *. Vì a > 0 nên lim
1
1 na+
= 0. Theo nguyên lí giới hạn kẹp thì lim|q|n = 0, 
hay limqn = 0. 
 Nếu q > 1 thì 0 < 
1
q < 1 nên theo chứng minh trên lim n
1
q
 = 0. Ta đi đến limqn = + ∞. 
 Nếu q = –1 thì limq2n = 1 cịn limq2n+1 = –1 nên khơng tồn tại limqn. 
 Nếu q 1 nên limq2n = lim(q2)n = + ∞, và limq2n+1 = lim[q.(q2)n] = – ∞, vì thế khơng tồn tại limqn. 
VD14. Cho dãy số (an) thỏa mãn an ≤ an+1 – 2n 1a + , n *∀ ∈ℕ . Tìm giới hạn liman. 
TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
xa.nguyenvan@gmail.com
www.VNMATH.com
HD. Từ an ≤ an+1 – 2n 1a + , n *∀ ∈ℕ , suy ra an ≤ an+1 và an ≤ 
1
4
, n *∀ ∈ℕ . Tức là (an) là dãy bị chặn trên và khơng 
giảm. Do đĩ (an) cĩ giới hạn hữu hạn liman = a. Lấy giới hạn hạn hai vế bất đẳng thức đề bài cho, được a ≤ a – a2, 
hay a = 0. Vậy liman = 0. 
VD15. Cho dãy số (xn) thỏa mãn x1 = 3, 3n+1 n 1 nx 3x 2 x+− = + , ∀ n ∈ N *. Tìm giới hạn lim xn. 
HD. Ta thấy x1 = 3 > 2. Giả sử xk > 2, lúc này 3k+1 k 1 kx 3x 2 x+− = + > 2 2 2+ = nên 
3
k+1 k 1x 3x 2 0+− − > ⇔ (xk+1 + 1)2(xk+1 – 2) > 0 ⇔ xk+1 > 2. Tức là xn > 2, ∀ n ∈ N *. Xét hàm số f(t) = t3 – 3t, 
cĩ f ’(t) = 3t2 – 3 = 3(t + 1)(t – 1) > 0, ∀ t > 2, suy ra f(t) đồng biến trên khoảng (2; + ∞). Kiểm tra thấy 
3
1 1x 3x 18− = > 32 2x 3x 5− = ⇒ f(x1) > f(x2) ⇒ x1 > x2. Giả sử xk > xk+1 ⇒ k2 x+ > 
> k+12 x+ ⇒
3
k+1 k 1x 3x +− > 3k+2 k 2x 3x +− ⇒ f(xk+1) > f(x k +2) ⇒ xk+1 > xk+2. Do đĩ xn > xn+1 với ∀ n ∈ N *. Dãy 
(xn) giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn = x ≥ 2. Lấy giới hạn hai vế đẳng thức đề bài 
ta được x3 – 3x = 2 x+ ⇔ x6 – 6x4 + 9x2 = x + 2 (vì x ≥ 2 nên x3 – 3x > 0) ⇔ x6 – 6x4 + 9x2 – x – 2 = 0 ⇔ 
(x – 2).(x5 + 2x4 – 2x3– 4x2 + x + 1) = 0 ⇔ (x – 2).(x2(x3 – 4) + 2x3(x – 1) + x + 1) = 0 ⇔ x = 2 (do x ≥ 2). Vậy 
limxn = 2. 
VD16. Tính giới hạn: 
a) lim
n
n
[(2+ 3) ]
(2+ 3) , trong đĩ [x] là phần nguyên của số thực x, tức là số nguyên lớn nhất khơng vượt quá x. 
b) lim( 2 3 n
1 3 5 2n 1
...
2 2 2 2
−
+ + + + ). c) lim 
c
n
n
a
 (a > 1, c > 0). d)lim n n . e) lim
n
1
n!
. 
HD. a) ðặt 
n n
n
(2 3) (2 3)
a ,
2
+ + −
=
 nhờ cơng thức khai triển nhị thức Niuton ta thấy ngay an là số nguyên 
dương. Mặt khác – 1< – n(2 3)− < 0 nên cĩ n[(2+ 3) ] = [2an – n(2 3)− ] = 2an +[– n(2 3)− ] = 2an – 1. 
Vậy lim
n
n
[(2+ 3) ]
(2+ 3) = lim
n
n
2a 1
(2+ 3)
−
= lim
n n
n
(2 3) (2 3) 1
(2+ 3)
+ + − −
= lim(
n n
1 11 (7 4 3) (2+ 3)+ −+ ) = 1. 
Nhận xét. Với x, y, n, r nguyên dương, r khơng là số chính phương thì tồn tại hai dãy số nguyên dương (an) và 
(bn) sao cho (x +y r )n = an + nb r ; (x - y r )n = an - nb r ; với 
n n n n
n n
(x y r) (x y r) (x y r) (x y r)
a , b
2 2
+ + − + − −
= = . 
b) Ta đặt xn = 2 3 n
1 3 5 2n 1
...
2 2 2 2
−
+ + + +
 ⇒ 2xn = 2 n-1
3 5 2n 11 ...
2 2 2
−
+ + + +
. Ta cĩ xn = 2xn – xn = 
= 2 n 2 n
1 1 1 1 2n2 ...
2 2 2 2−
−
+ + + + + = 3 – n 2
1
2 −
+ n
1
2 – n 1
n
2 −
. Dễ thấy lim
n 2
1
2 −
= lim n
1
2
= 0. Với mọi n > 2 
ta cĩ n 12 − = 0 1 2 n 1n 1 n 1 n 1 n 1C C C ... C
−
− − − −
+ + + + ≥ 2n 1C − =
2n 3n 2
2
− +
 > 0. Từ đĩ suy ra 
n 1 2
n 2n0
2 n 3n 2−
< <
− +
, ∀ n > 2. 
Mà lim 2
2n
n 3n 2− +
= 0 nên lim n 1
n
2 −
 = 0. Vậy lim xn = 3. 
TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 
xa.nguyenvan@gmail.com
www.VNMATH.com
c) Với hai số a > 1 và c > 0 ta biến đổi 
c
n
n
a
=
c
n
c
n
a
 
 
  
 
=
c
n
n
(1+b)
 
 
 
ở đĩ b = 
1
ca – 1 > 0. Nhận thấy với mọi n ≥ 2 thì 
n(1 + b) = 0 1 2 2 n nn n n nC bC b C ... b C+ + + + ≥ 2 2nb C = 
2 2(n n)b
2
−
 > 0 suy ra 0 < 
n
n
(1+b) < 2
2
(n 1)b− , ∀ n ∈ N *. 
Từ đây và do lim 2
2
(n 1)b− = 0 nên lim n
n
(1+b) = 0, dẫn tới lim
c
n
n
a
= lim
c
n
n
(1+b)
 
 
 
= 0. 
d) Với mọi n ≥ 9 ta cĩ 
n 1 2 3 n 2
0 n n n n
n
n
1 C C C C n 1 n 3n 21 C ... 1 n
n 2n n n n 6 nn
− − + 
+ = + + + + + ≥ + + + = 
 
1 1 n n n 1 n n n n n n n( n 3)
n n n
2 2 2 6 2 6 6 2 63 n
−
= + + + + > + = + − = + ≥ n . Dẫn đến n 11 n 1
n
< < + với 
mọi n ≥ 9. Mà lim ( 11
n
+ ) = 1 nên suy ra lim n n = 1. 
Nhận xét. Với a >0, a ≠ 1, thì lim alog n
n
= 0. 
e) Trước hết ta cĩ n! = 1.2.3n ≤ nn ⇒
n
1 1
n n!
≤ , ∀ n ∈ N *. Mặt khác ∀k = 1, n ta luơn cĩ 
(n k)(k 1) 0 k(n k 1) n− − ≥ ⇒ − + ≥ , cho k chạy từ 1 đến n ta thu được n bất đẳng thức mà hai vế đều dương, nhân 
n bất đẳng thức này, vế với vế tương ứng, ta được (n!)2 ≥ nn hay 
n
1 1
, n *
n! n
≤ ∀ ∈ℕ . Từ 
n
1 1 1
, n *
n n! n
≤ ≤ ∀ ∈ℕ , và lim 1
n
 = lim 1
n
 = 0 suy ra lim
n
1
n!
= 0. 
VD17. Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = – 2, un+1 = n
n
u
1 u−
, ∀ n ∈ N *. 
a. Chứng minh un < 0, ∀ n ∈ N *. 
b. ðặt vn = n
n
1+ u
u
, ∀ n ∈ N *. Chứng minh (vn) là cấp số cộng. 
c. Tìm cơng thức số hạng tổng quát của (un), (vn), và tính các giới hạn limun, limvn. 
HD. a) Ta chứng minh un < 0 (∀ n ∈ N *) bằng phương pháp quy nạp tốn học. Rõ ràng u1 = – 2 < 0. Bây giờ giả 
sử uk 0. Dẫn tới uk+1 = k
k
u
1 u−
< 0. Vậy un < 0 (∀ n ∈ N *). 
b) ðặt vn = n
n
1+ u
u
 thì vn ≠ 1 và un = 
n
1
v 1−
. Ta cĩ v1 = 
1 2 1
2 2
−
=
−
. Từ un+1 = n
n
u
1 u−
 ta cĩ 
n+1 n n
1 1 1
: (1 )
v 1 v 1 v 1
= −