Chuyên đề Đại số lớp 9 Định lý Vi – et và một số ứng dụng

Chuyên đề đại số lớp 9
định lý vi – et và một số ứng dụng
Người viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên THCS Thị trấn Hưng hà , Thái bình
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Nhắc lại một số kiến thức có liên quan
ã một số hằng đẳng thức đáng nhớ:
1) (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ị a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
2) (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab = (a + b)2 – 4ab ị a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
3) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) ị a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
ã Nhắc lại một số kiến thức có liên quan: 
Cho 2 số A và B, khi xét dấu của 2 số này ta có các trường hợp sau đây:
A và B trái dấu Û AB < 0
A và B cùng dấu Û AB > 0
A và B cùng dương Û AB > 0
 A + B > 0 
 4) A và B cùng âm Û AB > 0
 A + B < 0
 * Nếu A + B > 0 thì ít nhất một trong 2 số phải dương.
 * Nếu A + B < 0 thì ít nhất một trong 2 số phải âm.
II. Định lý Vi – et:
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ạ 0) thì:
 S = x1 + x2 = 
 P = x1.x2 = 
III. Một số ứng dụng của định lý Vi – et:
1) Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai( có 2 trường hợp thường sử dụng)
 Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a ạ 0) (1)
a) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm là: x1 = 1 và x2 = 
b) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm là: x1 =- 1 và x2=- 
2) Tính giá trị một số biểu thức liên quan đến các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần tìm nghiệm. Ví dụ:
 ã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
 ã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
 ã (x1 – x2)3 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
	.v.v.
3) Tìm hai số khi biết trước tổng và tích:
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0
 ( ĐK để có hai số u và v là: S2 – 4P ≥ 0)
4) Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
 Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a ạ 0) (1)
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu Û ac < 0
Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu Û D ≥ 0 và P > 0
Phương trình có 2 nghiệm cùng dương Û D ≥ 0 và P > 0 và S > 0
Phương trình có 2 nghiệm cùng âm Û D ≥ 0 và P > 0 và S < 0
Phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương Û D ≥ 0 và S > 0
Phương trình có ít nhất một nghiệm âm Û D ≥ 0 và S < 0
B. Một số bài toán điển hình:
ã Bài toán 1: Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ạ 0) (1)
Có nghiệm x1 ; x2 thì tam thức f(x) = ax2 + bx + c phân tích được như sau: 
 f(x) = ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Bài giải
Ta có f(x) = ax2 + bx + c = a[ x2 – (- )2 + ] = a(x – x1)(x – x2)
*ứng dụng của bài toán trên:
ã Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử:
VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2x2 – 5x + 3 
3x2 + 8x + 2 
 Bài giải
a) Trước hết ta giải phương trình: 2x2 – 5x + 3 = 0	
 Có a + b + c = 0
 ị x1 = 1 ; x2 = 3/ 2
 * áp dụng kết quả bài toán trên ta được: 
 2x2 – 5x + 3 = 2(x – 1)(x – 3/ 2)
b) Trước hết ta giải phương trình: 3x2 + 8x + 2 = 0
 D’ = 42 – 3 . 2 = 10 > 0. Phương trình có 2 nghiệm 
 x1 = ; x2 = 
 Vậy 3x2 + 8x + 2 = 3( x + )(x + )
* Nhận xét: Với bài toán này ở lớp 8 ta đã biết cách giải đó là: phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách, tuy nhiên với phương pháp này đôi khi thực hiện sẽ gặp khó khăn (ví dụ như câu b). Song trong trường hợp tam thức bậc hai có nghiệm, nếu sử dụng kết quả bài toán trên thì bất kỳ tam thức bậc hai nào cũng phân tích được thành nhân tử một cách thuận lợi. 
ã Bài toán 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 2007x2 – 2008x + 1 = 0
b) x2 – ()x + = 0
 Bài giải
 a) Ta có a + b + c = 2007 – 2008 + 1 = 0
 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = 1 ; x2 = 1 / 2007
* Nhận xét: Với bài toán này, nếu dùng cách giải bằng công thức nghiệm thì việc tính toán sẽ cồng kềnh, đôi khi dẫn đến kết quả sai. Song nhờ ứng dụng của định lý Vi – et nên việc giải phương trình trên trở nên nhanh gọn, dễ dàng hơn.
ã Bài toán 3:
 Cho phương trình : x2 - x – 1 = 0 (1) 
Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 ( giả sử x2 < 0)
Không giải hãy tính giá trị các biểu thức sau:
 1) x1 + x2 ; x1.x2 5) x13 – x23
 2) 6) x1(1 – x2) + x2( 1 – x1)
 3) x12 + x22 7)* A = x14+ 2x23 + 3x12 + 8x2-8
 4) x12- x22 8)* B = + x1	
Bài giải
 7) x1 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:
 x12 – x1 – 1 = 0 Û x12 = x1+ 1
 x14 = (x1+ 1)2 = x1+ 2x1+ 2 = 3x1 +2
 2x23 = 2x22 + 2x2 = 4x2 +2
 Vậy A = 3x1 + 2 + 4x2+ 2 + 3x1 + 3 + 8x2 – 8
 = 6x1 + 12x2 – 1
 = 6( x1 + x2) + 6x2 – 1
 = 6. 1 + 6 x2 – 1 = 5 + 6( ) = 	 
 8) x18 = (x14)2 = 9x12 + 12x1 + 4 = 21x1 + 13
 = 21( ) + 13 = 
* Chú ý: Trước khi thực hiện các yêu cầu của bài toán phải kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không. VD: phương trình x2 – 2x + 2 = 0 vô nghiệm song vẫn tồn tại biểu thức và biểu thức .
* Nhận xét: Với bài toán này nếu dùng cách giải thông thường: tính cụ thể nghiệm rồi thay vào biểu thức cần tìm thì việc tính toán rất cồng kềnh, dài dòng, phức tạp, song nhờ định lý Vi – et, ta biểu diễn các biểu thức này thông qua tổng và tích các nghiệm, sau đó mới thực hành tính toán trên các con số, vì vậy việc tính toán sẽ ngắn gọn, chính xác hơn nhiều.
ã Bài toán 4: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
 a) và 
 b) 2 và 3 và 
 c) 0.5 và 2
Bài giải
 a) Ta có S = + = 2
 P = ()() = 1
Vậy và là 2 nghiệm của phương trình x2 - 2x + 1 = 0
ã Bài toán 5: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ạ 0) (1). 
 Giả sử phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2. Đặt Sn = x1n + x2n (n ẻ N)
a) Chứng minh rằng: a Sn+2 + bSn+1 + cSn = 0
b) áp dụng: Không khai triển, hãy tính: A = 
 B = 
Bài giải
a) Vì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) nên ta có:
ax21 + bx1 + c = 0 và ax22 + bx2 + c = 0
Ta có: a Sn+2 + bSn+1 + cSn = a(x1n+2 + x2n+2) + b(x1n+1 + x2n+1) + c(x1n + x2n) =
 = (ax1n+2 + bx1n+1 + cx1n) + (ax2n+2 + bx2n+1 + cx2n) = 
 = x1n(ax21 + bx1 + c) + x2n(ax22 + bx2 + c) = 0 (đpcm)
Đặt x1 = 1- và x2 = 1 + . Ta có x1 + x2 = 2; x1.x2 = - 2 
 ị x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 – 2x – 2 = 0.
áp dụng kết quả bài toán trên ta có: Sn+2 – 2 Sn+1 – 2Sn = 0
 ị Sn+2 = 2Sn+1 + 2Sn
 Ta có S0 = x10 + x20 = 2
 S1 = x1 + x2 = 2
 ị S2 = 2S1 + 2S0 = 4 + 4 = 8
 S3 = 2S2 + 2S1 = 16 + 4 = 20
 S4 = 2S3 + 2S2 = 40 + 16 = 56
 S5 = 2S4 + 2S3 = 112 + 40 = 152
 S6 = 2S5 + 2S4 = 304 + 112 = 416
 A = S7 = 2S6 + 2S5 = 832 + 304 = 1136.
 Tương tự ta cũng tính được giá trị của biểu thức B 
* Nhận xét: Với cách làm trên(ứng dụng của định lý Vi – et), ta đã tính được giá trị của biểu thức A không mấy khó khăn. Nhưng nếu tính trực tiếp bằng cách giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm, rồi khai triển luỹ thừa bậc 7 của nhị thức bậc nhất thì việc tính toán rất phức tạp, mất nhiều thời gian, dễ sai sót. 
ã Bài toán 6: 
 Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình ax2 + bx + c = 0(1) ( a ạ 0) 
có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là (k + 1)2 ac = kb2
Bài giải
* Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1, x2 thoả mãn: 
 x1 = kx2 hoặc x2 = k x1
 Ta có: (k + 1)2ac = kb2 Û (k + 1) = k 
 Û (k + 1)2kx22 = k(kx2 + x2)2	
 Û (k + 1)2kx22 = k(k + 1) x22 (hiển nhiên đúng)
 Vậy (k + 1)2ac = kb2	
* Điều kiện đủ: Giả sử có (k + 1)2ac = kb2 Û (k + 1)2ac - kb2 = 0
 Ta có D = b2 – 4ac = b2 – b2 = b2 ≥ 0
Do đó phương trình luôn có nghiệm. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình(1). Ta có: (x2 – k x1)(x1 – k x2) = x1x2 – kx22- k2x12 + k2x1x2
 = x1x2 – k[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + k2x1x2
 = 	 + k2 	
 = (ac – kb2 + 2kac + k2ac ): a2
 = = 0.
 ị (x2 – k x1)(x1 – k x2) = 0 ị x2 = kx1 hoặc x1 = kx2(đpcm)
ãBài toán 7: Cho Parabol (P) y = x2. Gọi A và B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là - 1 và 2. Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài giải
ã Cách 1: (giải thông thường). Ta có A ẻ(P) và xA = - 1 ị yA = 1ị A(- 1;1)
 	Bẻ(P) và xB = 2ị yB = 4 ị B( 2; 4)
 Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b. Ta có hệ phương trình:
- a + b = 1
 2a + b = 4. Giải hệ trên ta được a = 1 và b = 2
 Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = x + 2
ã Cách 2: (Sử dụng định lý Vi - et).
 Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b. 
 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 – ax – b = 0 (1)
 Có xA = - 1 ; xB = 2 là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Vi – et ta có: 
 xA + xB = a = - 1 + 2 = 1 ; xA. xB = - b = - 2
 Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = x + 2
ãBài toán 8: Cho (P): y = . Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại điểm A có hoành độ là 2
Bài giải
* Cách 1 (Giải thông thường)	
 *Ta có A ẻ (P) và xA = 2 ị yA = 1. A(2; 1)
 Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d)
 Ta có A ẻ (d) ị 2a + b = 1 ị b = 1 – 2a
Xét phương trình hoành độ giao điểm : ax + b = Û x2 – 4ax – 4b = 0 (1)
 *(d) tiếp xúc (P) Û phương trình (1) có nghiệm kép 
 Û D’ = 0 Û 4a2 + 4b = 0 Û 4a2 – 8a + 4 = 0 Û a = 1
ị b = - 1
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = x - 1
* Cách 2: (Sử dụng định lý Vi – et). 
 Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d)
Vì (d) tiếp xúc (P) nên phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép và nghiệm kép đó là xA = 2. Khi đó theo định lý Vi – ét có:
Û
 4a = 4 a = 1
 4 = - 4b b = - 1 
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = x - 1
ãBài toán 9: Tìm độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi là 50 m và diện tích là 150 m2.
Bài giải
 Gọi x và y là độ dài các cạnh của hình chữ nhật ( ĐK: x > y > 0)
 Theo bài ra ta có hệ phương trình:
 x + y = 25
 xy = 150	
 Vậy x, y là nghiệm của phương trình t2 – 25 t + 150 = 0
D’ = 252 – 4.150 = 25 > 0
Phương trình có 2 nghiệm là t1 = = 15; t2 = = 10
 Vậy chiều dài hình chữ nhật là 15 m, chiều rộng hình chữ nhật là 10 m
ãBài toán 10: Cho 2 phương trình bậc hai: x2 – 2x – m2 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm trái dấu với mọi m ạ 0.
b) Chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1) là nghịch đảo các nghiệm của phương trình: m2x2 + 2x – 1 = 0 (2)
Bài giải
a) Ta có ac =- m2 < 0 " m ạ 0. 
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu " m ạ 0
b)* Cách 1(Giải thông thường): 
Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm là x1 và x2. Khi đó ta có: x21 – 2x1 – m2 = 0.
Vì m ạ 0 nên x1 ạ 0 và x2 ạ 0, khi đó chia cả 2 vế của phương trình cho m2 ta được:
 = 0 Û = 0 chứng tỏ là nghiệm của phương trình (2)
 * Cách 2( ứng dụng định lý Vi – et):
Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm là x1 và x2. Khi đó theo định lý Vi – et ta có:
x1+x2 = 2
 x1. x2 = - m2
 Ta có: ; 
Vậy và là nghiệm của phương trình x2- x + = 0 Û m2x2 + 2x – 1 = 0 
VI. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho phương trình mx2 – 2 (m – 2)x + m – 3 = 0 (1). Tìm giá trị của m để:
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
Phương trình chỉ có 1 nghiệm âm.
Phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
Phương trình có 2 nghiệm là 2 số nghịch đảo của nhau
Phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 2: Cho phương trình x2 + mx + 2m – 4 = 0. Tìm các giá trị của m để:
 a) Phương trình có ít nhất 1 nghiệm âm
 b) Phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương
 c) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn T = x12 + x22 
 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 3: Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) có nghiệm này gấp 2008 lần nghiệm kia là 20092ac = 2008 b2
Bài 4: Cho Parabol(P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 1. Xác định m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(xA; yA) và B(xB; yB) sao cho:
 a) (xA – 1)2 + (xB – 1)2 đạt giá trị nhỏ nhất
 b) Độ dài AB là ngắn nhất.
Bài 5: Giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0. 
a) Không giải hãy tính theo a và b các biểu thức:
	 * A = 	 * B = 	
 * C = (2x1 + x2)(2x2 + x1)	* D = x13 + x23
	b) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: 
 * 2x1 + x2 và 2x2 + x1
 * x13 + x23 và x12 + x22.
* Gợi ý: Bài 1- Câu c). Ta xét 3 trường hợp: ã Trường hợp 1: Xét m = 0, m = 3.
Trường hợp 2: Phương trình chỉ có 1nghiệm âm Û ac < 0.
Trường hợp 3: Phương trình chỉ có 1nghiệm âm Û m ạ 0 
 D = 0
 - b/ a < 0 
 c/ a > 0