Bài giảng môn toán lớp 12 - Tập xác định-Tập giá trị của hàm số

Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
Chương I: HÀM SỐ 
1. ðịnh nghĩa: Cho D là tập con khác rỗng của R (D ≠ ∅ ). 
Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số ∈x D với một và chỉ 
một số, kí hiệu f(x) 
 *Ta kí hiệu hàm số như sau : ( )=y f x hoặc 
( )
:
=
→
֏
ℝ
x y f x
f D 
* x gọi là đối số (hay biến số); y gọi là giá trị của hàm số f tại x: ( )=y f x 
* D: là tập xác định của hàm số (hay là miền xác định của hàm số). 
* ( ) { | ( )}= = ∈Y f D x D f x : gọi là tập giá trị hàm số (hay miền giá trị của hàm số). 
2. ðồ thị hàm số 
Cho hàm số ( )=y f x xác định trên D. ðồ thị của hàm số là tập hợp (G) gồm các đểm 
( ; ( ))M x f x ( với ∈x D ) nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 
Vậy 00 0
0 0
( ; ) ( )
( )
∈
∈ ⇔ 
=
x D
M x y G
y f x
. 
2.Tập xác định của hàm số: 
 1.1:ðịnh nghĩa: Tập xác định của hàm số ( )=y f x là tập tất cả các giá trị của x mà 
làm cho biểu thức ( )f x cĩ nghĩa. 
 1.2: Cách tìmTXð của hàm số 
Ta thường gặp các dạng sau: 
 *
( )( ) ( )=
P xf x Q x ðiều kiện: ( ) 0≠Q x Trong đĩ ( )P x và ( )Q x là các đa thức 
 * 2( ) ( )= kf x P x ðiều kiện : ( ) 0≥P x . Với ( )P x là đa thức 
 * ( ) tan ( )=f x u x ðiều kiện : cos ( ) 0 ( )
2
pi
pi≠ ⇔ ≠ +u x u x k . 
 * ( ) cot ( )=f x u x ðiều kiện : sin ( ) 0 ( ) pi≠ ⇔ ≠u x u x k . 
 * ( ) log ( )= af x g x ðiều kiện : ( ) 0>g x (0 1< ≠a ) 
. 
 1.3:Các ví dụ: 
Ví dụ 1: Tìm tập xác định các hàm số sau: 
2
2
21)
3 2
=
− +
xy
x x
2
2
12) 5 2 2 ln
1
= − − +
−
y x x
x
13) ln
1
=
−
y
x
24) 1= + − +y x x x 2 225) 4 3 log (25 4 )= − + −y x x x 
1
36)
4 2 3 2 2+
−
=
− − −
x x
xy 7) ( ) tan(2 )
3
pi
= +f x x 2
28) ( ) cot
tan
= +f x x
x
Giải: 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
1) Hàm số cĩ nghĩa 2
1
3 2 0
2
<
⇔ − + > ⇔ 
>
x
x x
x
. 
2) Hàm số cĩ nghĩa 
2
2
1 2
22 5 2 0
1 211 0
1
 ≤ ≤
− + − ≥ 
⇔ ⇔ ⇔ < ≤  < − 
− >  >
x
x x
x
x
x
x
. 
3) Hàm số cĩ nghĩa 
1 1ln 0 1 1 1
1 1 1 2
11 0 1
 ≥ ≥ 
− ≤  
− −⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤  
>  
− > > 
x
x x x
x
x x
. 
4) Hàm số cĩ nghĩa 
22
2 2
1 3( ) 01 0 2 4
1 0 1

− + ≥
− + ≥ 
⇔ ⇔ 
 + − + ≥
− + ≥ −
xx x
x x x x x x
2 2
0
0
1
≥

<⇔ ⇔ ∀ ∈

 − + ≥
x
x x R
x x x
. 
5) Hàm số cĩ nghĩa 
2
2
3
4 3 0 51 1
225 4 0 5 5
2 2
≥

− + ≥  ≤⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ 
 
− >
− < <

x
x x x
x
x
x
. 
6) Hàm số cĩ nghĩa 21
21
3 0 3
log 3 3
4 2 3 0 2 3
log 5
4 2 3 12 2 5
+
+
− ≥ ≤ 
  ≤ ≤  
⇔ − − ≥ ⇔ ≥ ⇔  
≠  
− − ≠ ≠  
x x x
x x x
x x
x
x
. 
7) Hàm số xác định 2
3 2 12 2
pi pi pi pi
pi⇔ + ≠ + ⇔ ≠ +x k x k . 
8) Hàm số xác định 
sin 0
sin 2 0
2cos 0
pi≠
⇔ ⇔ ≠ ⇔ ≠
≠
x
x x k
x
. 
Ví dụ 2: Cho hàm số: 
( 1)
2 1
+ −
=
− + −
m x m
y
mx m
1. Tìm tập xác định của hàm số khi 1
2
=m 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
2. Tìm m để TXð của hàm số là [0; )= +∞D 
Giải: 
1) Với 1
2
=m ta cĩ: 3 1
3 2
−
=
+ −
xy
x
⇒Hàm số cĩ nghĩa 
3 1 0
13 0
3
3 2 0

− ≥

⇔ + ≥ ⇔ ≥

+ − ≠
x
x x
x
. 
2) Hàm số xác định 
( 1) 0
2 0
2 1
+ − ≥

⇔ − + ≥

− + ≠
m x m
mx m
mx m
(I) 
Dễ thấy để TXð của hàm số là nửa đoạn [0; )+∞ thì trước hết 0≥m . 
* Nếu 0 ( ) 0 0= ⇒ ⇔ ≥ ⇒ =m I x m thỏa mãn 
*Nếu 
1
20 ( )
1
1
 ≥ +

 −
> ⇒ ⇔ ≥ ⇔ ≥
+

−
≠

m
x
m
m m
m I x x
m m
m
x
m
ðể TXð của hàm số là nửa đoạn [0; )+∞ thì 0
1
=
+
m
m
 vơ nghiệm . 
Vậy 0=m là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số sau 2( 1) 2( 1) 3 3= + − − + −y m x m x m xác định với trên R. 
Giải: 
Hàm số xác định trên R 2( 1) 2( 1) 3 3 0 (1)⇔ + − − + − ≥ ∀ ∈m x m x m x R 
* 
31 (1) 4 6 0
2
= − ⇒ ⇔ − ≥ ⇔ ≥m x x 
* 
1 0
1 (1) 1
' ( 1)( 2 4) 0
+ >
≠ − ⇒ ⇔ ⇔ ≥
∆ = − − − ≤
m
m m
m m
. 
Vậy 1≥m là những giá trị cần tìm. 
Bài tập: 
Bài 1. Tìm TXð của các hàm số sau 
2 2
21) 2 8.log ( 3)= − − −y x x x 2
2 12) ln 2
2
−
= + −
−
xy x x
x
1 sin3)
1 cos
−
=
+
xy
x
2 2
54) 2 3 1 log (3 )= − + − + −y x x x x 25) ln( 4)= + −y x x 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
1
2
3 26) log ( )| 1|
−
=
−
xy
x
2
2
17) 3 1
lg(2 1)
= + − −
−
y x x
x
 8) tan(2 1)= −y x 
Bài 2: Cho hàm số 2.9 ( 1).3 1+= + − + −x xy m m m 
 1) Tìm TXð của hàm số khi 1
2
=m . 
 2) Tìm m để hàm số xác định trên R. 
Bài 3: Cho hàm số 
2 2 22 2 2
2log ( .9 (2 1)6 .4 )− − −= − + +x x x x x xy m m m . Tìm m để hàm số 
xác định với mọi 1 1[ ; ]
2 2
∈ −x . 
2)Tập giá trị 
 ðể tìm TGT của hàm số ( )=y f x xác định trên D ta cĩ các cách sau 
* Tìm y sao cho phương trình : ( ) =f x y cĩ nghiệm trên D .Khi đĩ tập các giá trị y tìm 
được là tập giá trị của hàm số. 
* Dùng các bất đẳng thức 
* Dùng khảo sát hàm số 
Ví dụ 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau: 
 1) 2 3 2= − +y x x 12)
1
−
=
+
xy
x
 2
13) 
1
+
=
− +
xy
x x
2
2
14)
1
− +
=
+ +
x xy
x x
Giải: 
1) TXð: =D R 
Cách 1: Ta cĩ 2 23 2 3 2 0= − + ⇔ − + − =y x x x x y . Phương trình này cĩ nghiệm 
11 4 0
2
⇔ ∆ = + ≥ ⇔ ≥ −y y . Vậy tập giá trị: 1[ ; )
4
= − +∞T 
Cách 2: Ta cĩ 2 23 1 13 2 ( )
2 4 4
= − + = − − ≥ −y x x x . Vậy 1[ ; )
4
= − +∞T . 
2) TXð: \ { 1}= −D R 
Cách 1: Xét phương trình 1 ( 1) 1
1
−
= ⇔ − = − −
+
xy y x y
x
(*) 
*Nếu y=1 ta thấy (*) vơ nghiệm 
*Nếu 1≠ ⇒y (*) cĩ nghiệm 1 1
1
+
= − ≠ −
−
y
x
y
. 
Vậy tập giá trị của hàm số là: \ {1}=T R 
Cách 2: Ta cĩ 1 21
1 1
−
= = −
+ +
xy
x x
. Vì 2
1+x
 nhận mọi giá trị khác 0 nên y nhận mọi giá 
trị khác 1. Vậy \ {1}=T R 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
3) Vì 2 21 31 ( ) 0 
2 4
− + = − + > ∀ ∈x x x x R nên hàm số xác định trên R 
Xét phương trình 22
1
 ( 1) 1 0
1
+
= ⇔ − + + + =
− +
xy yx y x y
x x
 (*) 
* 0 (*) 1= ⇒ ⇔ =y x 
* 0 (*)≠ ⇒y cĩ nghiệm 1( 1)(1 3 ) 0 1
3
⇔ ∆ = + − ≥ ⇔ − ≤ ≤y y y . 
Vậy TGT của hàm số là 1[ 1; ]
3
= −T . 
4) TXð: =D R . 
Xét phương trình: 
2
2
2
1 ( 1) ( 1) 1 0(*)
1
− +
= ⇔ − + + + − =
+ +
x xy y x y x y
x x
* 1 (*)= ⇒y cĩ nghiệm x=0. 
* 1≠ ⇒y (*) cĩ nghiệm 2 13 10 3 0 3
3
⇔ ∆ = − + − ≥ ⇔ ≤ ≤y y x 
Vậy tậ giá trị của hàm số là 1[ ;3]
3
=T . 
Chú ý: * Nếu TGT của hàm số ( )=y f x trên D là đoạn [ ; ]a b thì max ( ) =
D
f x b và 
min ( ) =
D
f x a . 
* ðối với hàm số bậc hai 2
 ( 0)= + + ≠y ax bx c a thì miền giá trị là [ ; )
4
∆
− +∞
a
 với 
0>a và ( ; ]
4
∆
−∞ −
a
 với 0<a . 
* Phương trình sin cos 0a x b x c+ + = cĩ nghiệm 2 2 2a b c⇔ + ≥ 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau 
21) 2sin 3sin 2 1y x x= + + sin 2cos 12)
sin cos 2
x xy
x x
+ +
=
+ +
23) (2sin 3cos ) 2(2sin 3cos ) 4y x x x x= + + + + . 
Giải: 
1) TXð: D R= . 
Xét phương trình 22sin 3sin 2 1 3sin 2 cos2 2 0y x x x x y= + + ⇔ − + − = 
Phương trình cĩ nghiệm 2 2 23 ( 1) (2 ) 2 10 2 10y y⇔ + − ≥ − ⇔ − ≤ ≤ + 
Vậy max 2 10, min 2 10
x Rx R
y y
∈∈
= + = − . 
2) Vì sin cos 2 sin( ) 2 sin cos 2 0
4
x x x x x
pi
+ = + ≥ − ⇒ + + > nên hàm xác định trên 
R. 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
Xét phương trình: sin 2cos 1 ( 1)sin ( 2)cos 2 1 0
sin cos 2
x xy y x y x y
x x
+ +
= ⇔ − + − + + =
+ +
Phương trình cĩ nghiệm 2 2 2 2( 1) ( 2) (2 1) 2 0y y y y y⇔ − + − ≥ − ⇔ + − ≤ 
2 1y⇔ − ≤ ≤ . 
Vậy max 1, min 2
x Rx R
y y
∈∈
= = − . 
3) ðặt 2 2 22sin 3cos 2 3 13 13 13t x x t t= + ⇒ ≤ + = ⇔ − ≤ ≤ . Khi đĩ 
2 2( ) 2 4 ( 1) 3y g t t t t= = + + = + + . Do [ 13; 13]t ∈ − nên ta cĩ: 
max ( 13) 17 2 13, min ( 1) 3y g y g= = + = − = . 
Chú ý: Khi gặp hàm số cĩ dạng sin cos
'sin 'cos '
a x b x cy
a x b x c
+ +
=
+ +
 ta cĩ thể đặt tan
2
x
t = . 
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin 1
sin 2cos 3
xy
x x
+
=
+ +
 trên 
khoảng ( ; )
2 2
pi pi
− . 
Giải: ðặt tan ( ; )
2 2 2
x
t t R x pi pi= ⇒ ∈ ∀ ∈ − . Khi đĩ 
2
2
2
4 1 ( 1) 2( 2) 5 1 0 (1)
2 5
t ty y t y t y
t t
+ +
= ⇔ − + − + − =
+ +
* 1 (1) 2 4 0 2y t t= ⇒ ⇔ − + = ⇔ = vơ nghiệm 
* 1 (1)y ≠ ⇒ cĩ nghiệm 2 2( 2) ( 1)(5 1) 0 4 2 3 0y y y y y⇔ ∆ = − − − − ≥ ⇔ − − ≤ 
1 13 1 13
4 4
y− +⇔ ≤ ≤ . Vậy 1 13max
4
y += đạt được khi 7 13tan
2 13 3
x −
=
−
1 13
min
4
y −= đạt được khi 7 13tan
2 13 3
x +
= −
+
Ví dụ 4: Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 1
cos 2
k xy
x
+
=
+
 nhỏ hơn -1. 
Giải: TXð: D R= . 
Xét phương trình sin 1 sin cos 1 2 0
cos 2
k xy k x y x y
x
+
= ⇔ − + − =
+
Phương trình cĩ nghiệm 2 2 2 2 2(1 2 ) 3 4 1 0k y y y y k⇔ + ≥ − ⇔ − + − ≤ 
2 2 22 1 3 2 1 3 2 1 3
min
3 3 3
k k ky y− + + + − +⇔ ≤ ≤ ⇒ = . 
Yêu cầu bài tốn 
2
22 1 3 1 1 3 5 | | 2 2
3
k k k− +⇔ ⇔ > . 
Vậy 2 2 2 2k k là những giá trị cần tìm. 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
Ví dụ 5: Tìm a,b để tập giá trị của hàm số 2 1
ax by
x
+
=
+
 là đoạn [ 1;1]− . 
Giải: TXð: D R= 
Ta cĩ: 22 . 01
ax by y x ax y b
x
+
= ⇔ − + − =
+
 (1) 
* Nếu 0 (1) 0y ax b= ⇒ ⇔ + = cĩ nghiệm 0a⇔ ≠ 
* Với 0y ≠ ⇒ (1) cĩ nghiệm 2 2 24 ( ) 0 4 4 0a y y b y by a⇔ ∆ = − − ≥ ⇔ − − ≤ 
2 2 2 2
2 2
b a b b a by− + + +⇔ ≤ ≤ . 
Yêu câu bài tốn 
2 2
2 2
1 02
2
1
2
b a b
b
ab a b

− +
 = −
= 
⇔ ⇔ 
= ± + +
=

. 
Vậy 
0
2
b
a
=

= ±
 là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 6: Tìm tập giá trị của các hàm số sau 
1) 6 4y x x= − + + 2 2
12) lg
lg 2
y x
x
= +
+
 3) 2007 2007 1x xy −= + + 
Giải: 
1) TXð: [ 4;6]D = − 
Ta cĩ 0y ≥ và 2 210 2 (6 )( 4) 10 10y x x y y= + − + ⇒ ≥ ⇒ ≥ (khi x=-4 hoặc x=6). 
Mặt khác: Áp dụng BðT Cơ si: 22 (6 )( 4) 10 20 2 5x x y y− + ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ . ðẳng thức 
xảy ra khi x=1. 
Vậy tập giá trị của hàm số là [ 10;2 10]T = . 
2) (0; )D = +∞ 
Ta cĩ 2 2 22 2
1 1 3 1 1 1 1(lg 2) lg (lg 2)
4 4 2 4 2lg 2 lg 2
y x x x
x x
= + + + − ≥ + + −
+ +
Áp dụng BðT Cơ si: 2 2
1 1 1(lg 2) 1
4 2lg 2
x y
x
+ + ≥ ⇒ ≥
+
 . ðẳng thức xảy ra khi 
lg 0 1x x= ⇔ = . 
Mặt khác lim
x
y
→+∞
= +∞ . Vậy tập giá trị của hàm số là: 1[ ; )
2
T = +∞ . 
3) TXð: D R= 
ÁP dụng BðT Cơ si: 2007 2007 2 3x x y−+ ≥ ⇒ ≥ . ðẳng thức cĩ khi x=0 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
Mặt khác: lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞ 
Vậy tập giá trị của hàm số là: [3; )T = +∞ . 
Bài tập: 
Bài 1: Tìm tập giá trị các hàm số sau: 
21) 3 2 1y x x= − + 2
2 12)
3 4
xy
x x
−
=
+ +
 3) 6 2 2y x x= − + + 
2 2
2
sin 2cos 14)
sin 2 3cos 2
x xy
x x
− +
=
+ +
25) ln(2 3 4)y x x= − + sin 16)
3sin cos 5
xy
x x
−
=
+ +
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 
2
2
20 10 31)
3 2 1
x xy
x x
+ +
=
+ +
22) 3sin 2sin 2 2y x x= + + 2
2sin 13)
cos 2sin 3
xy
x x
+
=
+ +
. 
Bài 3: Tìm m,n để hàm số cos sin
2 cos
x m x ny
x
+ +
=
+
 cĩ tập giá trị là [ 2;2]T = − . 
Bài 4: Tìm m để hàm số sin
sin 2cos 5
x my
x x
+
=
+ +
 cĩ tập giá trị là một đoạn . 
3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ 
ðịnh nghĩa: Cho hàm số ( )=y f x xác định trên D. 
 * Hàm số ( )=y f x gọi là hàm số chẵn nếu :
( ) ( )
∈ ⇒ − ∈

− =
x D x D
f x f x
. 
 * Hàm số ( )=y f x gọi là hàm số lẻ nếu : 
( ) ( )
∈ ⇒ − ∈

− = −
x D x D
f x f x
. 
Chú ý: x D x D∈ ⇒ − ∈ thì D gọi là tập đối xứng qua x=0 hay gọi tắt là tập đối xứng. 
Tính chất: 
* ðồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng 
* ðồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 
Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: 
4 21) ( ) 1f x x x= + + 32) ( ) 3 2sin 2f x x x= + | 1| | 1|3) ( ) | 2 1| | 2 1|
x xf x
x x
− − +
=
− + +
24) ( ) ln( 1)f x x x= + + 25) ( ) 3 2f x x x= − + | 2 | | 3 |6) ( ) | 1| | 1|
x xf x
x x
+ + −
=
− − +
Giải: 
1) TXð: D R= suy ra D là tập đối xứng 
Ta cĩ: 4 2 4 2( ) ( ) ( ) 1 1 ( )f x x x x x f x− = − + − + = + + = 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. 
2) TXð: D R= ⇒D là tập đối xứng 
3 3( ) 2sin 2 ( 2sin 2 ) ( ) ( )f x x x x x f x y f x− = − − = − + = − ⇒ = là hàm số lẻ. 
3) TXð: D R= ⇒D là tập đối xứng 
| 1| | 1| | 1| | 1|( ) ( )| 2 1| | 2 1| | 2 1| | 2 1|
x x x xf x f x
x x x x
− − − − + − − +
− = = − = −
− − + − + − + +
là hàm số lẻ. 
4) Vì 2 1 | | 0 x x x x x+ + > + ≥ ∀ ⇒TXð: D=R là tập đối xứng. 
Ta cĩ: 2 2
2
1( ) ln( 1) ln( ) ln( 1) ( )
1
f x x x x x f x
x x
− = − + + = = − + + = −
+ +
Vậy ( )f x là hàm số lẻ. 
5) Tập xác định 
Ta cĩ 2 3 2 0 ( ;1] [2; ) ( ;1] [2; )x x x D− + ≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ ⇒ = −∞ ∪ +∞ . 
Vì 3
2
x D= − ∈ nhưng 3
2
x D− = ∉ . Vậy ( )f x là hàm khơng chẵn cũng khơng lẻ. 
 Ví dụ 2: Tìm m để các hàm số sau là hàm số chẵn 
4 3 2 2 21) ( ) 2 ( 1) ( 1) 2( 3 2) 2f x x m x m x m m x= + − + − + − + + . 
2 22) ( ) (3 2) ln( 2)g x m x m x x= + + + + . 
Giải: 
1) Tập xác định: D R= . 
Hàm số ( )f x là hàm số chẵn ( ) ( ) f x f x x R⇔ − = ∀ ∈ 
3 2
2
1 0
( 1) 2( 3 2) 0 1
3 2 0
m
m x m m x x R m
m m
− =
⇔ − + − + = ∀ ∈ ⇔ ⇔ =
− + =
. 
2) Vì 2 2 | | 0x x x x+ + > + ≥ ⇒ hàm số xác định với mọi x thuộc R. 
Hàm số ( )g x là hàm số chẵn ( ) ( ) g x g x x R⇔ − = ∀ ∈ 
2 2 2
2
2ln( 2 ) ln( 2 ) ln ln( 2) 
2
m x x m x x m m x x x R
x x
+ − = + + ⇔ = + + ∀ ∈
+ +
22 ln( 2) ln 2 0 0m x x m x R m⇔ + + − = ∀ ∈ ⇔ = . 
Vậy 0m = là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 3: Cho hàm số ( )f x cĩ tập xác định D là tập đối xứng. Chứng minh rằng ( )f x 
cĩ thể phân tích thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. 
Giải: 
Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
f x f x f x f xf x h x g x+ − − −= + = + . 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
Dễ thấy các hàm ( ), ( )h x g x đề xác định trên D 
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
f x f xh x h x h x− +− = = ⇒ là hàm số chẵn. 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
f x f x f x f xg x g x g x− − − −− = = − = − ⇒ là hàm số lẻ. 
Từ đĩ ta cĩ đpcm. 
Ví dụ 4: Cho hàm số 2 2 12 2 1 1 0( ) ...n nn nf x a x a x a x a−−= + + + .Chứng minh rằng: 
 1) ( )f x là hàm số chẵn 1 3 2 1... 0na a a −⇔ = = = = . 
 2) ( )f x là hàm số lẻ 0 2 2... 0na a a⇔ = = = = . 
Giải: 
Tập xác định: D R= . 
1) ( )f x là hàm số chẵn ( ) ( ) f x f x x R⇔ − = ∀ ∈ 
2 2 1 2 2 1
2 2 1 1 0 2 2 1 1 0... ...
n n n n
n n n na x a x a x a a x a x a x a
− −
− −
⇔ − + − + = + + + + . 
2 1 2 3 3
2 1 2 3 3 1... 0 
n n
n na x a x a x a x x R
− −
− −
⇔ + + + + = ∀ ∈ 
1 3 2 3 2 1... 0n na a a a− −⇔ = = = = = . 
2) Chứng minh tương tự như câu 1 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
4. Hàm số tuần hồn 
ðịnh nghĩa: Hàm số ( )=y f x xác định trên D, gọi là hàm số tuần hồn nếu tồn tại số 
thực dương T sao cho 
( ) ( )
∈ ⇒ ± ∈

± =
x D x T D
f x T f x
. T gọi là chu kì. 
Số 0>T nhỏ nhất (nếu cĩ) thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kì cơ sở. 
Nhận xét: * Nếu T là chu kì thì ( , 0)nT n Z n∈ ≠ cũng là chu kì. 
*Nếu hai hàm số ( )f x là hai hàm số tuần hồn và cĩ cùng chu kì cơ sở T0, thì hàm số 
( )f ax cũng là hàm tuần hồn với chu kì cơ sở 0| |
T
a
. 
* Hàm số sin( ), cos( )y ax b y ax b= + = + ( 0a ≠ ) tuần hồn với chu kì cơ sở: 2| |a
pi
. 
* Hàm số tan( ), cot( )y ax b y ax b= + = + ( 0a ≠ ) tuần hồn với chu kì cơ sở | |a
pi
. 
Ví dụ 1: Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở (nếu cĩ) của các hàm số sau: 
21) 2cosy x= 2) tan coty x x= + 13) siny
x
= 4) cosy x= 
Giải: 
1) Ta cĩ 1 cos2y x= + ⇒ hàm tuần hồn với chu kì cơ sở 2
2
T pi pi= = . 
2) sin cos 2
cos sin sin 2
x xy
x x x
= + = ⇒ hàm số tuần hồn với chu kì cơ sở T pi= . 
3) TXð: \ {0}D R= . 
Giả sử hàm số tuần hồn với chu kì 0T > . Ta cĩ ,T T D− ∈ nhưng ( ) 0T T D+ − = ∉ 
vậy hàm số đã cho khơng tuần hồn. 
4) TXð: [0;+ )D = ∞ . 
Ta cĩ với T D T D∈ ⇒ − ∉ . Vậy hàm số đã cho khơng tuần hồn. 
Nhận xét:Từ hai ví dụ 3 và 4 ta thấy : 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
• Nếu hàm số ( )f x khơng xác định tại hữu hạn điểm thì khơng tuần hồn 
• Nếu hàm số ( )f x cĩ tập xác định là một đoạn, một khoảng hay nửa khoảng thì 
khơng tuần hồn. 
Ví dụ 2:Chứng minh rằng hàm số 3sin 2( )
cos2 3
xf x
x
=
+
 là hàm tuần hồn. 
Giải: TXð: D R= 
Với x R∀ ∈ ta cĩ: 3sin(2 2 ) 2sin 2( ) ( )
cos(2 2 ) 3 cos2 3
x xf x f x
x x
pi
pi
pi
+
+ = = =
+ + +
. 
Vậy ( )f x là hàm số tuần hồn. 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng các hàm số sau khơng tuần hồn. 
1) ( ) cosf x x x= + 22) ( ) sinf x x= . 
Giải: 
1) Tập xác định: =D R . 
Giả sử hàm số tuần hồn với chu kì 0T > .Khi đĩ với mọi x ta cĩ: 
( ) ( ) cos( ) cos cos( ) cos+ = ⇔ + + + = + ⇔ + + =f x T f x x T x T x x T x T x 
Cho 1 cos= − ⇒ + =x T T T vơ lí (Vì 1 1,cos 1+ > ≤T T ). 
Vậy hàm số đã cho khơng tuần hồn. 
2) Tập xác định: =D R . 
Giả sử hàm số tuần hồn với chu kì 0T > .Khi đĩ với mọi x ta cĩ: 
2
2 2
2 2
2 2 0 (1)( ) ( ) sin( ) sin
2 2 2 0 (2)
pi
pi pi
 + − =
+ = ⇔ + = ⇔ 
+ + − − =
T xT kf x T f x x T x
T xT x k
Ta thấy nghiệm T ở cả hai phương trình (1) và (2) đều phụ thyuoocj vào x. Vậy hàm số 
2( ) sin=f x x khơng tuần hồn. 
Ví dụ 4: Cho hai hàm số 1( )f x và 2 ( )f x là những hàm tuần hồn với chu kì tương ứng 
là 1 2,T T . Chứng minh rằng nếu 1
2
T
T
 là số hữu tỉ thì các hàm số 1 2( ) ( ). ( )=f x f x f x và 
1 2( ) ( ) ( )= +g x f x f x là những hàm tuần hồn. 
Giải: 
Ta cĩ: 1
2
 ( , *)= ∈ℕT m m n
T n
. ðặt 1 2= =T nT mT . Khi đĩ: 
1 1 2 2 1 2( ) ( ). ( ) ( ). ( )+ = + + = ⇒f x T f x nT f x mT f x f x f(x) là hàm số tuần hồn 
Tương tự ta cũng chứng minh được g(x) là hàm số tuần hồn. 
Ví dụ 5: Cho hàm số ( )f x xác định trên R và thỏa mãn: ( 4) ( 4) ( )+ + − =f x f x f x . 
Chứng minh rằng ( )f x là hàm tuần hồn. 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
Giải: 
Từ giả thiết ta suy ra: ( 8) ( ) ( 4) ( 8) ( 4)+ + = + ⇒ + = − −f x f x f x f x f x 
Thay x bởi 4+x ta được: ( 12) ( ) ( 24) ( 12) ( )+ = − ⇒ + = − + =f x f x f x f x f x 
Vậy ( )f x là hàm tuần hồn. 
Bài tập: 
Bài 1: Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau 
21) sin 3=y x 2) cos2 .cos3=y x x 6 63) sin cos= +y x x 4) tan sin 2= +y x x . 
Bài 2: Chứng minh rằng các hàm số sau khơng tuần hồn 
31) =y x 2) cos=y x x 3) sin= +y x x . 
Bài 3: Cho hàm số ( )f x xác định trên R và thỏa mãn: ( 1) ( 1) 2 ( )+ + − =f x f x f x . 
Chứng minh rằng ( )f x là hàm tuần hồn. 
Bài 4: Cho hàm số ( )f x xác định trên R , thỏa mãn: 21( ) ( ) ( )
2
+ = + −f x a f x f x . 
Trong đĩ a là hằng số dương. Chứng minh rằng ( )f x là hàm tuần hồn. 
Bài 5: Cho hàm số ( )f x cĩ tính chất : Tồn tại số thực 0≠a : ( ) 1( ) ( ) 1
−
+ =
+
f xf x a f x tại 
tất cả mọi điểm mà ( ), ( )+f x a f x xác định. Chứng minh rằng ( )f x là hàm tuần hồn. 
5.Hàm số hợp 
ðịnh nghĩa: Cho hàm số ( )y f x= cĩ tập xác định D .Giả sử hàm ( )u x là một hàm số 
cĩ miền xác định X , cĩ tập giá trị T D⊂ . Khi đĩ biểu thức [ ( )]f u x cĩ nghĩa với mọi 
x X∈ . Ta nĩi 
 [ ( )]y f u x= là một hàm hợp. 
Các dạng tốn liên quan: 
Dạng 1: Xác định biểu thức của hàm hợp 
Cho hàm số ( )y f x= . Xác định hàm số [ ( )]y f u x= . 
Phương pháp: Thay x bởi ( )u x 
Ví dụ 1: Cho hàm số 2( ) 1
xf x
x
=
+
. Tính 2
2( )
1
tf
t +
. 
Giải: ðặt 2
2
1
t
x
t
=
+
, ta cĩ: 
2 32
2 2 2 2 4 22
2
2
2 2 ( 1) 2 21( ) 21 4 ( 1) 6 1( ) 1
1
t
t t t t ttf
tt t t t t
t
+ ++
= = =
+ + + + ++
+
. 
Vậy: 
3
2 4 2
2 2 2( )
1 6 1
t t tf
t t t
+
=
+ + +
. 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
Ví dụ 2: Cho hàm số 2( )
4 2
x
x
f x =
+
. 
1) Cho 1x y+ = . Tính ( ) ( )f x f y+ . 
2) Tính 1 2 2006( ) ( ) ... ( )
2007 2007 2007
A f f f= + + + . 
Giải: 
1) Ta cĩ: 
1
1
4 4 4 2( ) ( ) ( ) (1 ) 1
4 2 4 2 4 2 4 2
x x x
x x x x
f x f y f x f x
−
−
+ = + − = + = + =
+ + + +
. 
2) Ta cĩ 1 2006 2 2005 1003 1004... 1
2007 2007 2007 2007 2007 2007
+ = + = = + = . 
1 2006 1003 1004( ) ( ) ... ( ) ( ) 1003
2007 2007 2007 2007
A f f f f⇒ = + + + + = . 
Dạng 2: Xác định hàm khi biết hàm hợp 
Cho hàm ( ( ))f u x . Xác định hàm ( )f x ? 
Phương pháp: ðặt ( ) ( )t u x x g t= ⇒ = thay vào biểu thức của ( ( ))f u x ta cĩ hàm ( )f x 
Ví dụ 1: Xác định hàm số ( )f x biết : 1( ) 2 2 ( 1)
1
f x x
x
= + ≠
−
. 
Giải: 
ðặt 
1 1 11 ( 0)
1
t
t x x t
x t t
+
= ⇔ − = ⇒ = ≠
−
. 
Vậy 1 4 2( ) 2. 2t tf t
t t
+ +
= + = . Thay đổi kí hiệu x bởi t ta cĩ: 4 2( ) ( 0)xf x x
x
+
= ≠ . 
Ví dụ 2: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn: 4 4(tan 2 ) tan cot (0; )
4
f x x x x pi= + ∀ ∈ . xác 
định hàm ( )f x . 
Giải: 
 Ta cĩ: sin cos 1 2tan cot
cos sin sin cos sin 2
x x
x x
x x x x x
+ = + = = . 
4 4 2 2 2 2 2tan cot (tan cot ) 2 [(tan cot ) 2] 2x x x x x x+ = + − = + − − 
2 2 2
2 4 2
4 16 16[ 2] 2 [4cot 2 2] 2 2
sin 2 tan 2 tan 2
x
x x x
= − − = + − = + + 
Do đĩ: 4 2
16 16(tan 2 ) 2 (0; )
4tan 2 tan 2
f x x
x x
pi
= + + ∀ ∈ . 
ðặt tan 2 , 0t x t= > , ta được: 4 2
16 16( ) 2f t
t t
= + + .Thay kí hiệu t bởi kí hiệu x ta được: 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
4 2
16 16( ) 2 0f x x
x x
= + + ∀ > . 
Ví dụ 3: 1) Giải sử 2( ) 3 1f x x x= + + . Giải Bất phương trình: [ ( )] ( )f f x f x> 
 2) Cho tam thức 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ .Giả sử phương trình ( )f x x= vơ nghiệm. 
Chứng minh rằng phương trình [ ( )]f f x x= cũng vơ nghiệm. 
Giải: 
 1) 2 2[ ( )] ( ) [ ( )] ( ) 0 ( ) 3[ ( ) ] 0f f x f x f f x f x f x x f x x> ⇔ − > ⇔ − + − > . 
2 2 1[ ( ) ][ ( ) 3] 0 ( 2 1)( 4 4) 0
2
xf x x f x x x x x x
x
≠ −
⇔ − + + > ⇔ + + + + > ⇔ 
≠ −
. 
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: 
1
2
x
x
≠ −

≠ −
. 
2) Vì phương trình ( )f x x= vơ nghiệm nên ta cĩ các khả năng sau 
* ( ) f x x x R> ∀ ∈ thay x bởi ( )f x ta được: [ ( )] ( )f f x f x x> > ⇒ phương trình 
[ ( )]f f x x= vơ nghiệm. 
* ( ) f x x x R< ∀ ∈ thay x bởi ( )f x ta được: [ ( )] ( )f f x f x x< < ⇒ phương trình 
[ ( )]f f x x= vơ nghiệm. 
Vậy phương trình: [ ( )]f f x x= vơ nghiệm. 
Dạng 3: Biến đổi hàm hợp 
Cho hàm số [ ( )]f u x . Xác định hàm [ ( )]f v x ? 
Phương pháp: ðặt ( ) ( ) ( )v t u x x tϕ= ⇒ = . Thay vào hàm [ ( )]f u x ta được [ ( )]f v t , 
thay t bởi x ta được [ ( )]f v x . 
Ví dụ 1: Cho hàm 2
1 8 8( )
1 ( 1)
x xf
x x
+ −
=
− +
. Xác định 2( ) ?
1
f
x
=
+
Giải: 
ðặt 
1 2 3( 1) 1 2 2 ( 1)
1 1 1
x t
x t t x x t
x t t
+ +
= ⇒ + + + = − ⇒ = − ≠ −
− + −
. Suy ra 
2
2
2
38 82 ( 3)( 1) ( 1)1( ) 131 2( 1)
1
t
t t ttf t
tt
t
+
− −
+ − + −
−
= = − = −
++
− +
−
, thay t bởi x ta được 
22( ) 1
1
f x
x
= −
+
. 
Ví dụ 2: Cho hàm (cot ) sin 2 cos2f x x x= + với [0; ]x pi∀ ∈ . Tìm hàm ( )g x được xác 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
định bởi: ( )2 2( ) (sin ) cosg x f x f x= . 
Giải: 
ðặt 
2
2 2 2 2
2 tan 2cot 2 1
cot sin 2 ; cos2
1 tan 1 cot 1 1
x x t t
t x x x
x x t t
−
= ⇒ = = = =
+ + + +
Suy ra: 
2
2
2 1( )
1
t tf t
t
+ −
=
+
, thay t bởi 2 2sin , cosx x ta cĩ: 
4 2 4 2 4 4 2 2
4 4 4 4 2 2
(sin 2sin 1)(cos 2cos 1) sin cos 8sin cos 2( )
(sin 1)(cos 1) sin cos 2sin cos 2
x x x x x x x xg x
x x x x x x
+ − + − + −
= =
+ + − +
. 
Bài tập 
Bài 1: Cho hàm số 
2
2
( )
1
xf x
x
=
+
. Tính (tan )f x . 
Bài 2: Tìm hàm số ( )f x , biết: 
 1) 2( 1) 1f x x+ = − 4 3 212) ( ) 2 3 2 1f x x x x x
x
+ = − + − + 
2 23) ( 1) 2 1f x x x x+ − = + − − 2 24) ( 2 ) ( 4)( 4)f x x x x x+ = − + 
Bài 3: Cho hàm f xác định trên R thỏa mãn: (cot ) sin 2 cos2f x x x= + . Xác định hàm 
số ( ) ( ). (1 )g x f x f x= − và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )g x trên 
đoạn [ 1;1]− . 
Bài 4: Cho hàm 2( )
x
x
af x
a a
=
+
 ( 0)a > . 
1) Tính ( ) (1 )f u f u+ − 
2) Tính tổng 2 2 22 1003(sin ) (sin ) ... (sin )
2008 2008 2008
S f f fpi pi pi= + + + . 
Bài 5: Cho hàm 
22 2 1( )
2
xf x − −= . Giải phương trình 2008 ( ) 0f x = , trong đĩ 
1 1( ) ( ), ( ) ( ( )) 2n nf x f x f x f f x n−= = ∀ ≥ . 
Bài 6: Cho hàm 
3
2( ) 1 3 3
xf x
x x
=
− +
. Tính tổng 
2008
1
( )
2009i
iS f
=
= ∑ . 
Bài tập trắc nghiệm 
Câu 1: Tập xác định của hàm số 1 2 1
3
y x
x
= + −
−
 là 
I. 1[ ; )
2
D = +∞ II. \ {3}D R= III. 1[ ;3) (3; )
2
D = ∪ +∞ IV. 1\ { }
2
D R= . 
Tập xác định-Tập giá trị của hàm số  
GV: Nguyễn Tất Thu Biên Hịa- ðồng Nai 
Câu 2: Tập xác định của hàm số ( 1) ( 2)y x x x x= − + + là: 
I. \ {0}D R= II. {0}D = III. [1; )D = +∞ IV. ( ; 2] {0} [1; )D = −∞ − ∪ ∪ +∞ 
Câu 3: Hàm số 
2
1 2 1
3 2
y x
x x
= + −
− +
 xác định khi 
I. 1 2x x II. 1 2x x≤ ∪ ≥ III. 2 1x x≠ ∪ ≠ IV. 1x ≥