Bài giảng môn toán lớp 12 - Bài tập số phức

BÀI TẬP SỐ PHỨC
TÓM TẮC LÝ THUYẾT
1.Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di Û a = c và b = d
 Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì = a – bi 
2.Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| = 
3.Các phép toán với số phức 
 (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i 
 (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ; = . ; z.= |z|2
 = ; = z1. 	
4.Căn bậc hai của một số phức:
Cho số phức z = a + bi
*nếu b ≥ 0 thì = ±
*nếu b < 0 thì = ±
4.Dạng lượng giác của số phức 
*Cho z = a + bi thì môđun r và argument j được tính bởi công thức sau:
r = ; cosj = ; sinj = 
* Cho z = a + bi thì có thể viết z = r(cosj + i.sinj)
5.Công thức MOAVRƠ
Cho hai số phức z1 = r1(cosj1 + i.sinj1) và z2 = r2(cosj2 + i.sinj2) 
khi đó: z1.z2 = r1.r2[cos(j1 + j2) + i.sin(j1 + j2)] 
	 = [cos(– j) + i.sin(– j)]
	 = [cos(j1 – j2) + i.sin(j1 – j2)]
Công thức MOAVRƠ:
Cho z = r(cosj + i.sinj) thì zn = rn(cosnj + i.sinnj)
căn bậc n của z có n giá trị là n số phức được xác định như sau:
 zk = (cos+ i.sin) với k = 0,1,.n – 1	
BÀI TẬP
1.Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 – 5i) + (2 + 4i) b) (11 – 6i) – (2 – 4i) c) (2 – 4i)(3 + i)
d) – 2i(3 – 8i) e) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i) 
f) g) h) g) + 
h) g) + 4 – 3i
2.Tính các biểu thức sau:
a) i15,i30 ,i37 ,i28. Từ đó suy ra cách tính i n với n Î N
b) (1 + i)2 ,(1 + i)3 ,(1 + i)4 ,(1 + i)5 , (1 + i)2006 , (1 – i)2006 
c) ()33 + (1 – i)10 + (2 + 3i)(2 – 3i) + 
e) (– 4i)
f) 
4.Giải các phương trình sau:
a) (3 + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i) b) 2ix + 3 = 5x + 4
c) 3x(2 – i) + 1 = 2ix(1 + i) + 3i d) x = 
e) [(2 – i) + 3 + i](iz + ) = 0 f) x + 2 = 2 – 4i
4.a)Chứng minh rằng số phức z là số thực Û z = 
 b)không thực hiện các phép tính,hãy giải thích vì sao các số phức sau là số thực: + và – 
3.Giải các phương trình sau trong C:
a) z2 + |z| = 0 b) z2 + = 0 c) z2 + 2 = 0
b) 2ix2 – 3x + 4 + i = 0
c) x2 – x + 3 = 0
d) x6 – 9x3 + 8 = 0
e) x2 + 2(1 + i)x – (3 + 2i) = 0
f) 2x2 + 3x + 5 = 0
g) x2 – (2 + i)x + (7i – 1) = 0
h) x2 + (3 – 2i)x + (5 – 5i) = 0
i) x4 – 3x2 + 4 = 0
j) x3 – 2(1 + i)x2 + 3ix + 1 – i = 0
k) z2 + ( – 1 – i)z – (1 + i) = 0
l) z4 – 8(1 – i)z2 + 63 – 16i = 0
m) z4 – 24(1 – i)z2 + 308 – 144i = 0
n)z4 – z3 + + z + 1 = 0 o)z3 + + – = 0
p) 8z4 + 8z3 – z – 1 = 0 p) 
3.a) Cho z = Tính |z|
 b) Tìm số phức z sao cho z2 = 
4.Tính z = và tìm căn bậc 5 của – i
5.Cho z1, z2 là hai nghiệm của phương trình : x2 + (2 – i)x + 3 + 5i = 0
Không giải phương trình ,hãy tính:
a) z12 + z22 b) z14 + z24 c) d) z14z2 + z24z1
6.Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a) 8 + 6i b) – 1 + 2i c) 16 – 30i d) i e) 1 – i
7.Tính các giá trị của các căn thức sau trong C
a) b) c) d) 
7.Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) – 1 + i b) – 1 – i c) 1 – i d) 1 e) 8i f) 3+ 4i g) 1 + i 
h) 4 – 4i i) – 125i 
8.Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) (cos– i.sin) b)– (cos+ i.sin) c)3(– cos+ i.sin) 
d) – cos+ i.sin e) 2(sin+ i.cos) f) – sin– i.cos)g) sinj + 2i.sin2 h) cosj + i(1+ sinj) i) ( – i)100
j) []6 k) l) ()20 m) 
9.Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a) (1 – i)6.( + i)8 b) (cos – i.sin).i5.(1 + i)6 
c) d) e) z2006 + biết z + = 1
10.Cho số phức z có mođun bằng 1,biết một acgumen của z là j
Hãy tìm một acgumen của số phức sau:
a) 2z2 b) – c) d) – z2.
e) z + f) z2 + z g) z2 – z h) z2 + 
11. Tìm số nguyên n để cácsố phức sau là số thực hoặc số ảo:
a) b) 
12.Giải hệ phương trình sau:
a) b) 
13.a)Tìm các số thực a, b sao cho: 
z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z2 – 2z – 4)(z2 + az + b) , " z ÎC
 b) Giải phương trình : z4 – 4z2 – 16z – 16 = 0
14.Tìm số nguyên dương n sao cho 
a) là một số thực b) là một số ảo
15.Cho z = cosj + sinj
a) Hãy tìm zn + n ; zn – n n ÎZ+
b)Dùng các khai triển của (z + )3 và (z – )3 để tìm sin3j và cos3j theo sinj và cosj
c)Tìm các biểu diễn của sin4j , cos4j , sin5j , cos5j theo sinj và cosj
16.a) Cho z = cosj + sinj, chứng minh rằng " n ÎZ+ ta có:
 zn + = 2cosnj zn – = 2isinnj
b)Chứng minh rằng: cos4j = (cos4j + 4cos2j + 3)
 sin5j = (sin5j – 5sin3j + 10sinj)
17.Tính các tổng sau:
a) f(x) = 1 + cosx + cos2x +  + cosnx n Î Z
b) f(x) = sinx + sin2x + sin3x +  + sinnx
c) f(x) = cosx + cos3x + cos5x +  + cos(2n – 1)x
d) f(x) = sinx + sin3x + sin5x +  + sin(2n – 1)x
e) f(x) = cos2x + cos22x + cos23x +  + cos2nx
f) f(x) = sin2x + sin22x + sin23x +  + sin2nx