5 Chuyên đề toán hay thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi – thi đại học

5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HAY THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI – THI ĐẠI HỌC
Chuyên đề 1: Phương pháp tìm số hạng tổng quát 
Phần 1 : XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DỰA TRÊN CẤP SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG CUẢ DÃY :
Loại 1 :
            Dãy số () xác định bởi : 
Vì  nên là cấp số cộng.
Do đó  + (n-1)d =  + (n-1)d 
Loại 2 
            Dãy số xác định bởi :   
Vì  nên là một cấp số nhân do đó 
Loại 3 
            Dãy số () xác định bởi     
Ta có : ó – = a( – ) (*)
Đặt – ; – 
Thay vào (*) : = a suy ra là một cấp số nhân q = a . Vậy.= với – – 
Do đó – ) ó – = ( – )
ó = + (– ) + b ( )
Các trường hợp a = 0 và a = 1 , b= 0 quy về loại 1 và 2 .
Loại 4
            Dãy số () xác định bởi :   
Xét phương trình – cx – d = 0 (1) ( phương trình đặc trưng của dãy ).
a)      nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và thì 
trong đó : e1 , e2 là nghiệm của hệ  
b)      Nếu phương trình (1) có nghiệm kép r khác 0 thì :
Trong đó e1 , e2 là nghiệm của hệ 
Chứng minh công thức (*) , (**) dựa trên phương pháp chứng minh quy nạp .
ta cũng có thể là như sau với dạng 4 để mọi người hiểu rõ hơn  , ta tìm 2 số a,b sao cho a + b = c và ab= -d ,a ,b sẽ là nghiệm của phương trình   lúc này ta có tương đương với ) đặt ta được dãy số với n = 2,3 ... vậy theo loại 2 và kết hợp với trên ta được (1); lý luận tương tự ta cũng có   (2); lấy (2) - (1 ) vế theo vế ta được số theo n , chuyển vế là được số hạng tổng quát
 Ví dụ minh họa :
VD1 : Xác định số hạng tổng quát của dãy fibonacci .
                                                giải :
Phương trình đặc trưng của dãy ::
là nghiệm của hệ  
do đó theo (*) : 
hay 
VD2
Xác định số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi :
                           Giải
giả thuyết ta có : 
  (1)
rtrong (1) thay n+1 bởi n ta có :
  (2)
(1) - (2) theo vế , ta có : = 0 (3)
Giả thuyết : (4)
trong (4) thay n+1 bởi n :   (5)
từ (4) và (5)    ( do > 0 )
do đó từ (3) 
từ giả thuyết 
như vậy dãy đã cho xác định lại như sau :
bài toán rơi vào loại 4 giải tương tự ví dụ 1
Sau đây là bài tập áp dụng từ các đề thi
1 
2   
3 
4   
5    
6 
Phần 2 : XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DỰA VÀO DÃY SỐ PHỤ :
VD1 :
dãy số ( n = 1,2,3,...) được sác định bởi ,
với mọi n = 1,2,3,...
hãy tìm công thức tổng quátcuar theo n .
giải
từ giả thuyết suy ra với mọi n thuộc N*và với n =1 ,2,...
đặt ta có 
và với n = 1,2,...
suy ra : 
hay : (1)
đặt và b = 2002 , từ (1) ta có :
= .....
= 
= 
suy ra : với n = 1,2 ...
từ đó 
VD2
cho dãy số ( ) xác định bởi    n= 1,2...
hãy xác định số hạng tổng quát () của dãy :
giải
đặt ( n=1,2,...)  (1)
ta có   (2)
(3)
từ (1),(3) suy ra 
nên ( ) và cấp số cộng có công sai d = -1 từ (2) , suy ra : 
kết hợp với (1) ta được 
phew xong rùi giờ là bài tập ứng dụng
 bài 1 cho dãy số () , n thuộc N* ,xác định như sau :
   với mọi n thuộc N*
hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy số
(HSGQG 2000-2001 bảng B ; TH và TT 10/2001)
bài 2 dãy số được xác định bởi 
a) hãy xác đinh số hạng tổng quát của dãy số trên
b) chứng minh rằng số có otheer biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp ( với n >= 1)
( đề olimpic 30-4 2001 lương văn chánh phú yên )
bài 3 : cho số thực a khác 0 cva fcho dãy số với mọi x thuộc N*
xác đinh bởi với mọi n thuộc N*
a) tìm số hạng tổng quát cảu dãy trên
b) chứng minh rằng dãy trên có giới hạn hữu hạn khi n tiến về dương vô cùng , Hãy tìm giới hạn đó .
(HSGQG 2002-2003 bảng b TH và TT 1/2004
bài 4 cho dãy số   n thuôc N thỏa điều kiện với n thuôc N
tính 
( đề thi olimpic đong bằng sông cửu long năm 2000)
Chuyên đề 2: Sử dụng tính chất đơn điệu giải phương trình chứa căn
Phương trình vô tỉ là mảng kiến thức thường gặp trong các đề thi đại học , cách giải của phương trình vô tỉ rất đa dạng và sau đây mình xin giới thiệu phương pháp sử dụng tính đơn điệu.
I)Dạng I:
Giả sử 
Vậy phương trình đã cho tương đương với 
Ví dụ 1)Giải phương trình :
Điều kiện 
Giả sử 
Vậy 
II)Dạng II
trong đó 
Ví dụ II)Giải phương trình:
Điều kiện:
Phương trình đã cho tương đương với:
Giả sử:
suy ra 
Vậy phương trình có nghiệm là x=1.
Sau đây là một số bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
Bài 1)
Bài 2)
Bài 3)
Bài 4:
Bài 5)
Chuyên đề 3: Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu
Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu.
 Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:
Bài giải:
Ta luôn có :
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
  (2)
  (3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức 
Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:
Ta có:
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên
(1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng:
Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:
Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:
Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
Chuyên đề 4: Bàn về một dạng phương trình
Trước đây trong diễn đây đã trao đổi về cách giải phương trình chứa hai hàm ngược nhau. 
Cụ thể ở đây: 
Và ở đây:
Trong bài viết này tôi muốn trao đổi với các bạn một cách tiếp cận khác qua đó các bạn thấy được lời giải tự nhiên hơn và phát triển thêm một số bài khó hơn.
Ví dụ 1: Giải phương trình: .
Giải: 
Đặt .
Vậy ta có hệ phương trình : 
. Trừ hai phương trình của hệ: 
(Do ) Thay vào hệ ta có:
.
 Vậy phương trình có ba nghiệm: .
Bình luận: Bài toán trên là bài toán khá đơn giản và có lẽ nhiều bạn không mấy khó khăn để giải bài toán này. Tuy nhiên từ bài toán trên ta có thể tổng quát được dnagj phương trình trên như sau:
* Dạng tổng quát bài toán trên:   (I) 
Để giải  phương trình này ta đặt   ta có hệ: . Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y.
* Từ dạng trên ta cho bằng những biểu thức cụ thể và biến đổi đi ta có được những phương trình mà ta thường gọi là chứa hai hàm ngược nhau. Do đó khi gặp phương trình chứa hai hàm ngược nhau ta tìm cách biến đổi về dạng trên. Ta xét một số ví dụ sau: 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 
Giải: Điều kiện : 
PT  
Đặt . 
Ta có hệ :  
*  
  (thỏa  ).
* 
  (thỏa đk ). 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: .
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Giải: ĐK: 
PT 
Đặt  
 Ta có hệ phương trình:   
. Do   nên Từ (2) ta có: thay vào (1) ta được: 
  .Vậy phương trình đã cho có nghiệm: .
Chú ý : Ở (II) nếu ta thay hằng số b bằng một biểu thức   thì ta vẫn giải phương trình  bằng cách làm tương tự như trên.
Ví dụ 4: Giải phương trình :   .
Giải: Điều kiện : 
Phương trình 
Đặt   và .
Ta có : .
*  .
* .
Vậy phương trình có hai nghiệm: .
Ví dụ 5: Giải phương trình :  
Giải:
Ta thấy không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế phương trình cho ta được: . 
Đặt , ta có: 
.
Đặt , ta có hệ phương trình :
Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trình 
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .
 Những ví dụ trên ta đã thay b ở (II) bằng một biểu thức chứa x. Vậy nếu thay a bằng một biểu thức chứa x thì như thế nào ? ta còn giải quyết được theo cách trên nữa hay không?. Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 6: Giải phương trình : .
Giải:
PT 
Đặt , 
Ta có hệ phương trình : 
*  
  phương trình vô nghiệm.
* 
  hệ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 Chuyên đề 5: 1 số phương pháp giải PT nghiệm nguyên 
Phương pháp 1 Phân tích 
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình
...
*Phân tích thành tổng các bình phương, lập phương :
Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phương trình
....
Phương pháp 2 Nhận xét về ẩn số
1,Nếu các ẩn x,y,z,t... có vai trò như nhau thì ta có thể giả sử
hoặc ngược lại.
2, Nếu các ẩn có cấu trúc giống nhau như lũy thừa cùng bậc, các số nguyên liên tiếp thì ta sẽ khử ẩn để đưa về dạng quen thuộc hoặc PT ít ẩn hơn
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên các phương trình :
a,x+y+z=xyz
b, 5(xy+yz+xz)=4xyz
Phương pháp 3 "Kẹp" giữa 2 số bình phương, lập phương, các tích các số nguyên liên tiếp
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình sau:
Ta thấy ...
Phương pháp 4 Sử dụng phép chia hết và phép chia có dư
(còn nữa)
Bài tập (Phương pháp 4) : Tìm x,y Z
a, =304197519751995
b, =
c, =1995
d, (x,y Z+)
e, (x,y Z+)
g, (x,y Z+)
Phương pháp 5 Phương pháp xuống thang :
Ví dụ : Tìm x,y,z Z thỏa mãn
Ta thấy chỉ có x=y=z=0 thỏa mãn 
*Với phương pháp này thường cho ta bộ nghiệm bằng 0
Phương pháp 6 Phương pháp thế
Ví dụ như bài toán cho dữ kiện a+b+c=0 thì ta có thể viết a=-(b+c) ; b=-(a+c) ; c-(a+b) rồi áp dụng vào bài toán
Phương Pháp 7 : Tích 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số chính phương thì 1 trong 2 số có 1 số bằng 0.
Vd : ( )
=> hoặc là hoặc là 
Bài tập áp dụng :
1/ () 
2/ ()
Phương pháp 8 : Sử dụng tính chẵn lẻ: (Phương pháp này ko chắc ko cần VD )
Phương pháp 9 : Dùng cách viết dưới dạng liên phân số
VD :Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
= 
(x+y)+=5+ 
(x+y)+=5+
Vì sự phân tích trên là duy nhất nên
Bài tập : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
a, =z
b, 
c, 
Trích:
-Vận dụng tính chất của tập số nguyên 
-Vận dụng tính chất số nguyên tố, số vô tỉ để tìm nghiệm
Sử dụng 1 số mệnh đề sau
Với mọi số nguyên a thì +1 có ước số nguyên tố dạng 4k+3(k là số nguyên)
Cho P là số nguyên tố dạng 4k+3(k là số nguyên dương). a, b là số nguyên. Khi đó nếu +chia hết cho P thì a và b chia hết cho P