10 Chuyền đề bồi dưỡng kiểm tra môn Toán Lớp 4

GIẢI TOÁN TẠO LẬP SỐ
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi ở tiểu học, dạng toán “Tạo lập số” được đề cập ngay từ lớp 1. Càng lên lớp trên thì cấu trúc của dạng toán này yêu cầu phức tạp hơn. Vậy việc dạy và học toán “Tạo lập số” như thế nào cho có hiệu quả cao. Chúng ta hãy cùng trao đổi qua các bài toán sau :
Bài toán 1 : Cho các chữ số 1, 3, 5.
a) Lập các số có 3 chữ số từ những chữ số trên.
b) Lập các số có 3 chữ số khác nhau từ những chữ số trên.
Phân tích :
a) Các số lập được thỏa mãn các điều kiện :
- Có 3 chữ số.
- Từ các chữ số đã cho.
- Mỗi chữ số có thể lặp lại trong mỗi số.
Như vậy ta có sơ đồ hình cây như sau :
b) Các số lập được thỏa mãn các yêu cầu sau :
- Có 3 chữ số.
- Từ các chữ số đã cho.
- Mỗi chữ số chỉ xuất hiện một lần ở mỗi số (khác ý a).
Ta có sơ đồ sau :
Giải : Nhìn vào sơ đồ hình cây (1) ta thấy :
a) Các số có 3 chữ số thỏa mãn yêu cầu đầu bài là : 111, 113, 115, 131, 133, 135, 151, 153, 155, 311, 313, 315, 331, 333, 335, 351, 353, 355, 511, 513, 515, 531, 533, 535, 551, 553, 555.
b) Nhìn vào sơ đồ hình cây (2) ta có ngay các số thỏa mãn đầu bài là :
135, 153, 315, 351, 513, 531.
Nhận xét : Phân tích theo sơ đồ hình cây ta nên vẽ theo thứ tự từ bé đến lớn (hoặc từ lớn đến bé). Như vậy sẽ rất thuận lợi nếu bài toán yêu cầu sắp xếp các số lập được theo một thứ tự.
Bài toán 2 :
a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập thành từ những chữ số lẻ ?
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ những chữ số lẻ ?
Phân tích : 
- Bài toán này không cho trước các chữ số để lập số, vì vậy ta phải có bước tìm ra chữ số cần lập hoặc tìm ra số lượng chữ số.
- Bài toán không yêu cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu cầu tìm ra số lượng số.
Lời bàn : Ta có nên lập các số đó ra rồi đếm không ?
- Nếu đề toán cho ít chữ số thì ta có thể làm theo cách đó. Nhưng có nhiều chữ số thì làm theo cách đó quả là mất thời gian thậm chí không liệt kê ra hết được. Vậy có cách nào và lập luận thế nào cho chuẩn xác ?
Nhìn vào bài toán 1 ta thấy nếu các chữ số đã cho mà khác 0 thì :
- Có bao nhiêu chữ số sẽ có bấy nhiêu cách chọn hàng cao nhất, có bấy nhiêu cách chọn hàng cao thứ nhì cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất, có bấy nhiêu cách chọn hàng cao thứ ba cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất, thứ nhì... (Nếu là các chữ số không nhất thiết phải khác nhau ở mỗi số).
- Có bao nhiêu chữ số thì có bấy nhiêu cách chọn hàng cao thứ nhất, số cách chọn hàng cao thứ nhì cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất sẽ kém đi 1, số cách chọn hàng cao thứ ba cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất, thứ nhì sẽ kém đi 2,... Nếu là các chữ số phải khác nhau ở mỗi số)
- Số lượng số chính bằng tích của các cách chọn.
Giải : Từ sự phân tích trên ta có thể đưa ra một cách giải chuẩn xác như sau :
a) Có 5 chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9. Với 5 chữ số đó ta có đúng 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm ta có đúng 5 cách chọn chữ số hàng chục. Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm, hàng chục ta có đúng 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Mỗi cách chọn cho ta đúng một số. Vậy có tất cả : 5 x 5 x 5 = 125 (số) thảo mãn đề bài.
b) Với 5 chữ số trên ta có đúng 5 cách chọn chữ số làm hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số làm hàng trăm ta còn 5 - 1 = 4 (chữ số) nên có đúng 4 cách chọn chữ số làm hàng chục. Sau khi đã chọn chữ số làm hàng trăm, hàng chục rồi ta còn 5 - 2 = 3 (chữ số) nên có đúng 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Mỗi cách chọn cho ta đúng 1 số.
Vậy có tất cả : 5 x 4 x 3 = 60 (số) thỏa mãn đề bài.
Đáp số : a) 125 số ; b) 60 số
Chú ý : Nếu trong các chữ số đã cho có chữ số 0 thì cần lưu ý chữ số 0 không được đứng làm hàng cao nhất.
Các em thử vận dụng linh hoạt cách giải trên để giải các bài toán tạo lập số gắn với nhiều điều kiện khác xem nhé. Thành thạo loại toán này các em sẽ giải được nhiều bài toán thực tế rất lí thú đấy.
Chúc các em thành công !
Trần Thị Kim Cương (GV trường TH Thị Trấn, Vũ Thư, Thái Bình)
ĐI TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN
Trong chương trình toán Tiểu học, chúng ta đã được làm quen với một số dạng toán điển hình. Tuy nhiên trong thực tế chúng ta thường gặp một số bài toán không chỉ dừng lại ở mức độ đơn giản mà người ra đề thường làm thay đổi một số dữ kiện để bài toán hay hơn, hấp dẫn hơn. Việc tìm ra hướng giải các bài toán dạng này như thế nào, các bạn hãy tham khảo một số ví dụ sau : 
Ví dụ 1 : Tìm 3 số có trung bình cộng lớn hơn số thứ nhất 540, bé hơn số thứ hai là 1260 và gấp 31 lần số thứ ba. 
Phân tích : Khác với các bài toán cơ bản, bài toán này ta không thể xác định ngay nó thuộc loại toán gì. Bài toán cho mối quan hệ giữa trung bình cộng (TBC) của ba số với từng số. Dựa vào điều kiện trung bình cộng gấp 31 lần số thứ ba ta biết được tỉ số của số trung bình cộng với số thứ ba. Mặt khác từ điều kiện còn lại của đầu bài, ta có thể tìm được hiệu số của trung bình cộng và số thứ ba rồi đưa bài toán về dạng tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số. Từ hướng phân tích ấy ta có thể giải bài toán đó như sau : 
Bài giải : 
Sơ đồ : 
Nhìn trên sơ đồ ta thấy trung bình cộng của ba số lớn hơn số thứ ba là : 260 - 540 = 720. 
Số thứ ba là : 720 : (31 - 1) = 24. 
Số trung bình cộng của ba số là : 24 x 31 = 744. 
Số thứ hai là : 744 + 1260 = 2004. 
Số thứ nhất là : 744 - 540 = 204. 
Ví dụ 2 : Đội tuyển học sinh giỏi khối 5 của một trường Tiểu học có 16 bạn. Biết rằng 2/5 số bạn nam nhiều hơn 1/2 số bạn nữ là 1 bạn. Hỏi đội tuyển có bao nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ ? 
Phân tích : Bài toán này cho biết tổng của số học sinh và hiệu giữa 2/5 số bạn nam với 1/2 số bạn nữ nên không thể coi là dạng toán tìm hai số biết tổng và hiệu được. Vì 2/5 số bạn nam nhiều hơn 1/2 số bạn nữ là 1 bạn nên 4/5 số bạn nam nhiều hơn số bạn nữ là : 1 x 2 = 2 (bạn). Từ hướng phân tích này ta có thể đưa bài toán về dạng tìm hai số biết tổng và tỉ của hai số đó. 
Bài giải : Vì 2/5 số bạn nam nhiều hơn 1/2 số bạn nữ là 1 bạn nên 4/5 số bạn nam nhiều hơn số bạn nữ là : 1 x 2 = 2 (bạn), ta có sơ đồ 1 : 
Nếu đội tuyển có thêm 2 bạn nữ thì số bạn nữ bằng 4/5 số bạn nam. Khi đó số học sinh của cả đội là : 16 + 2 = 18 (bạn), ta có sơ đồ 2 : 
Số bạn nam của đội tuyển là : 18 : (4 + 5) x 5 = 10 (bạn). 
Số bạn nữ của đội tuyển là : 16 - 10 = 6 (bạn). 
Ví dụ 3 : Một trường Tiểu học có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 40 học sinh. Trong đó 3/4 số bạn nam và 1/2 số bạn nữ đạt danh hiệu học sinh tiên tiến. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của trường đó. Biết số học sinh tiên tiến của trường đó là 530 bạn. 
Phân tích : Khi vừa đọc bài toán nhiều học sinh sẽ nghĩ ngay đây là loại toán tìm hai số biết tổng và hiệu. Tuy nhiên đầu bài không cho biết tổng số học sinh của cả trường mà cho biết tổng số học sinh tiên tiến của trường bao gồm 3/4 số bạn nam và 1/2 số bạn nữ. Vì số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 40 học sinh nên 3/4 số bạn nam nhiều hơn 3/4 số học sinh nữ là 30 học sinh. Từ đó ta có thể đưa bài toán về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ. 
Bài giải : Nếu coi số học sinh nữ toàn trường là 4 phần thì 3/4 số học sinh nữ là 3 phần, 3/4 số bạn nam (số học sinh nam đạt học sinh tiên tiến) là 3 phần cộng thêm một đoạn biểu thị 30 học sinh và số học sinh nữ đạt học sinh tiên tiến là 2 phần, ta có sơ đồ sau : 
Số học sinh nữ đạt danh hiệu tiên tiến là : (530 - 30) : (2 + 3) x 2 = 200 (học sinh) 
Số học sinh nữ của cả trường là : 200 x 2 = 400 (học sinh) 
Số học sinh nam của cả trường là : 400 + 40 = 440 (học sinh) 
Trên đây là 3 ví dụ cơ bản. Các bạn thử tìm ra hướng giải của một số bài toán sau nhé : 
Bài 1 : Một hình chữ nhật có chu vi là 120 m, chiều dài hơn hai lần chiều rộng là 15 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó. 
Bài 2 : Hai tổ trồng được tất cả 40 cây, trong đó số cây của tổ 2 ít hơn 3 lần số cây tổ 1 là 20 cây. Tính số cây của mỗi tổ. 
Bài 3 : Lớp 4A có 40 học sinh, trong đó 1/2 số bạn nữ ít hơn số bạn nam là 13 bạn. Tính số bạn nam, số bạn nữ của lớp 4A. 
Hi vọng các bạn sẽ tìm thêm được nhiều bài toán khác hay hơn với những cách giải độc và phù hợp. 
Chúc các bạn thành công ! 
ĐIỀU BẤT NGỜ NHO NHỎ
Là giáo viên Tiểu học tôi biết thêm rất nhiều cách giải từ các em. Có những cách giải rất thông minh, dễ hiểu và dễ nhớ. 
Tôi còn nhớ khi dạy bài “Diện tích hình tròn”, sau khi vẽ hình tròn lên bảng rồi xây dựng công thức tính : S = r x r x 3,14 (S là diện tích, r là bán kính), tôi cho các em vận dụng công thức đó để làm bài tập trong sách giáo khoa. Hôm sau giờ kiểm tra bài cũ, tôi nêu câu hỏi : “Em hãy vẽ hình tròn và nêu công thức tính chu vi, diện tích hình tròn ?”. Tôi mời em Mai lên bảng trình bày. Mai vẽ hình tròn và viết : 
C = r x 2 x 3,14 = d x 3,14 ; 
S = d/2 x d/2 x 3,14. 
Công thức mà em Mai viết không giống như công thức mà tôi đã dạy hôm trước. Em đã viết công thức tính chu vi và diện tích hình tròn qua đường kính d. Khi đó tôi cũng chỉ nghĩ hai cách viết đều đúng mà thôi... 
Tiết luyện toán hôm sau tôi đưa ra bài tập : Cho hình vuông ABCD, có BD = 12 cm và hình tròn như trên hình vẽ. Tính diện tích hình tròn. 
Không đợi hết 10 phút, em Mai đã xung phong lên bảng và làm rất nhanh AC = BD = 12 cm, OB = BD/2 = 6 cm. 
Diện tích hình vuông ABCD là 2 lần diện tích tam giác ABC, nên diện tích hình vuông sẽ là :
2 x (12 x 6) : 2 = 72 (cm2).
Độ dài cạnh AB đúng bằng độ dài đường kính hình tròn nên d x d = AB x BC = 72 cm2 . Do đó : 
S = (d x d) : 2 x 3,14 = 72 : 4 x 3,14 = 56,52 (cm2). 
Tôi đã khen em Mai vì biết vận dụng công thức : S = (d x d) : 4 x 3,14 để tính diện tích hình tròn qua diện tích hình vuông mà không cần phải tính bán kính hình tròn. 
Tôi đưa tiếp bài tập số 2 khó hơn : 
Cho hình vuông ABCD có diện tích là 128cm2. Lấy 4 điểm M, N, P, Q là điểm chính giữa của các cạnh hình vuông làm tâm vẽ 4 hình tròn có bán kính bằng nửa cạnh hình vuông MNPQ. Tìm diện tích phần tô màu. 
Hầu hết các em đều tính được diện tích hình vuông MNPQ bằng 1/2 diện tích hình vuông ABCD nên diện tích hình vuông MNPQ là : 128 : 2 = 64 (cm2). 
Tổng diện tích các hình 1 ; 2 ; 3 và 4 chính là diện tích hình tròn có bán kính là nửa cạnh hình vuông MNPQ. 
Diện tích hình vuông MNPQ là 64 cm2 nên cạnh hình vuông là 8 cm. Tổng diện tích các hình 1, 2, 3 và 4 là : 
(8 : 2) x (8 : 2) x 3,14 = 50,24 (cm2) 
Diện tích phần tô màu là : 
64 - 50,24 = 13,76 (cm2) 
Tôi gợi ý : Các em thử giải cách khác bằng cách áp dụng công thức tính diện tích hình tròn của Mai. Từ đó các em có lời giải : 
Diện tích hình tròn là : 
64 : 4 x 3,14 = 50,24 (cm2) 
Diện tích phần tô màu là : 
64 - 50,24 = 13,76 (cm2). 
Thêm một lần nữa, công thức tính diện tích : 
S = (d x d) : 4 x 3,14 được các em áp dụng rất nhanh và hiệu quả. 
Tôi phấn khởi vì các em đã biết các dạng khác nhau của công thức tính diện tích hình tròn và vận dụng một cách rất hợp lí khi giải các bài toán về diện tích hình tròn. 
Phát hiện của các em có thể là chưa lớn và điều bất ngờ mà các em mang đến cho tôi dù chỉ là nho nhỏ, nhưng đấy là cách học dám sáng tạo rất đáng quý. 
Trương Thanh Hương
(Giáo viên trường TH Liên Ninh, Thanh Trì, Hà Nội)
ĐIỀU BẤT NGỜ KHÔNG NHỎ
Xin viết ngay vài dòng dưới bài viết của cô giáo Trương Thanh Hương về một bất ngờ... không nhỏ. 
Vừa qua, tôi được dự một giờ trong Hội thi giáo viên giỏi bậc Tiểu học cấp Quốc gia. Đó là tiết 118 của môn Toán lớp 2. Bài học là “Một phần tư”. Sau khi bằng nhiều biện pháp dạy học khá thú vị, cô giáo đã mang đến cho học sinh cả lớp khái niệm về “một phần tư”. Khi củng cố bài học, cô giáo đã viết phân số 1/4 lên bảng và yêu cầu các em học sinh đọc. Khoảng vài em đọc : “Một phần bốn” và đều “bị” cô nhận xét là : “Các em đọc chưa chính xác !”. 
Tôi thầm nghĩ : Nếu cô giáo gọi mình thì không khéo mình cũng đọc... chưa chính xác như mấy em mà thôi... May mà có một em cuối cùng đọc được trúng ý cô (và cũng trúng nguyên văn sách giáo khoa !) 
- Thưa cô ! Một phần tư ! 
Em đó tất nhiên được cô khen. Nếu bất ngờ của em Mai là nho nhỏ thì bất ngờ của “pha” dạy này đối với tôi thật là không nhỏ. 
L.T.N 
KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN
Dạng toán có nội dung hình học liên quan đến diện tích tam giác là dạng toán khó đối với các em học sinh lớp 5. Để giúp các em có thêm kiến thức và có khả năng vận dụng khi gặp dạng toán này, tôi xin trao đổi một hướng khai thác một bài toán. 
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC, trên BC lấy M sao cho BM = MC, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2 x NA. Kéo dài MN cắt BA tại P. Hãy chứng tỏ AP = AB. 
Lời giải : Nối BN, CP, kí hiệu S là diện tích tam giác, ta có : SPBM = SMPC (vì có đáy BM = MC và chung chiều cao hạ từ P). SBNM = SMNC (vì có đáy BM = MC và chung chiều cao hạ từ N). 
Do đó SPBM - SBNM = SMPC - SMNC hay SPBN = SPNC. (1) 
SPNC = SAPN x 2. (2) (vì có đáy NC = 2 x NA và chung chiều cao hạ từ P). 
Từ (1) và (2) ta có SAPN x 2 = SPBN hay SAPN = SABN. Hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ N nên đáy của chúng bằng nhau tức là AP = PB. 
Thay đổi vị trí của M ; N ta có bài toán sau : 
Bài toán 2 : Cho tam giác ABC có AB = 2 cm ; M là một điểm trên BC sao cho BM = 3 x MC ; N là một điểm trên AC sao cho AN = 2 x NC ; MN cắt BA kéo dài tại P. 
a) Tính AP. 
b) So sánh PN với NM. 
Lời giải : Nối PC ; BN. 
a) Tương tự như bài 1 ta chứng minh được SPBN = 3 x SPNC. 
Nếu coi SPNC = a thì SPBN = 3 x a. Do SAPN = 2 x SNPC nên SAPN = 2 x a, suy ra SANB = a hay SAPN = 2 x SANB, mà hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ N, nên AP = AB x 2 hay 
AP = 2 x 2 = 4 (cm). 
b) Theo phần (a) ta có : SPBN = 3 x a, SABN = a ; SABN = 2 x SNBC (vì có AN = 2 x NC và chung chiều cao hạ từ B), do đó SNBC = a/2. (1) 
SNBM = 3/4SNBC (vì MB = 3 x MC 
nên MB = 3/4 BC ; và chung chiều cao hạ từ N). (2) 
Từ (1) và (2) ta có : SNBM = a/2 x 3/4 = (3x2)/8. 
Hai tam giác PBN và NBM có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống PM, có tỉ số diện tích là : (3 x a) :(3 x a)/8 = 8, nên tỉ số độ dài hai đáy cũng là 8 hay PN = 8 x NM. 
Thay đổi vị trí M, N ta có bài toán sau : 
Bài toán 3 : Cho tam giác ABC, M là điểm trên BC sao cho MC = 2 x MB ; N là điểm trên AC sao cho AN = 4 x NC ; NM cắt AB kéo dài tại P. 
a) So sánh SAPM với S,sub>MPC. 
b) So sánh AB với PB. 
Lời giải : Nối AM ; PC. 
a) Tương tự như bài 1 ta chứng minh được : SAPM = 4 x SMPC. 
b) Tương tự ta cũng chứng minh được AB = 8 x PB. 
Tiếp tục thay đổi vị trí của M, N, P để có bài toán sau : 
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC. Trên AB lấy M sao cho AM = 1/2 MB; trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 1/3 NC ; BN cắt CM tại P. 
a) So sánh diện tích tam giác PBC với diện tích tam giác ABC. 
b) Tính tỉ số độ dài PN so với PB. 
Hướng dẫn giải : 
Nối A với P ta có : SBCM = 2 x SMCA (vì có MB = 2 x MA và chung chiều cao hạ từ C). SBPM = 2 x SMPA (vì có MB = 2 x MA và chung chiều cao hạ từ P). Suy ra : SBPC = 2 x SCPA. (1) 
Tương tự như trên ta có : SCBN = 3 x SNBA (vì có CN = 3 x NA và chung chiều cao hạ từ B) ; SCPN = 3 x SNPA (vì có CN = 3 x NA và chung chiều cao hạ từ P). Suy ra : SBPC = 3 x SAPB. (2) 
Từ (1) và (2) ta thấy : nếu coi SPBC là 6 phần bằng nhau, thì S,sub>APB là 2 phần, SNPA là 3 phần. Khi đó SABC là : 6 + 2 + 3 = 11 (phần). 
Vậy SBPC : SABC = 6/11. 
Tương tự tính được PN : PB = 3/8. 
Bây giờ các bạn hãy thử sức của mình bằng 2 bài toán sau : 
Bài 1 : Cho tam giác ABC ; N là điểm trên AC sao cho AN = 3 x NC ; M là điểm trên BC sao cho BM = 1/2 MC. Nối MN cắt BA kéo dài tại P, biết AB = 6 cm. Tính PB. 
Bài 2 : Cho tam giác ABC ; M là điểm trên AB sao cho BM = 3 x MA ; N là điểm trên AC sao cho AN = 1/2 NC ; NB cắt MC tại O. 
a) So sánh diện tích tam giác AOB với AOC. 
b) Tính tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng OM và OC. 
Trần Xuân Dần
(Phòng GD - ĐT huyện Thanh Miện, Hải Dương)
PHƯƠNG PHÁP "GÁN ĐƠN VỊ - CHỈNH ĐÚNG"
Trong Toán Tuổi thơ số 2 (12/2000) đã giới thiệu phương pháp "Gán cho số phải tìm một giá trị sai bất kì rồi tìm cách chỉnh lại cho đúng" (gọi tắt là "gán sai - chỉnh đúng"). Trong các giá trị bất kì ấy nếu gán số 1 (tức đơn vị) ta có phương pháp "gán đơn vị - chỉnh đúng". Sau đây là vài ví dụ : 
Ví dụ 1.Tuổi ông hơn tuổi cháu là 66 năm. Biết rằng tuổi ông bao nhiêu năm thì tuổi cháu bấy nhiêu tháng . hãy tính tuổi ông và tuổi cháu (tương tự bài Tính tuổi - cuộc thi Giải toán qua thư TTT số 1) 
Giải 
Giả sử cháu 1 tuổi (tức là 12 tháng) thì ông 12 tuổi. 
Lúc đó ông hơn cháu : 12 - 1 = 11 (tuổi) 
Nhưng thực ra ông hơn cháu 66 tuổi, tức là gấp 6 lần 11 tuổi (66 : 11 = 6). 
Do đó thực ra tuổi ông là : 12 x 6 = 72 (tuổi) 
Còn tuổi cháu là : 1 x 6 = 6 (tuổi) 
thử lại 6 tuổi = 72 tháng ; 72 - 6 = 66 (tuổi) 
Đáp số :Ông : 72 tuổi 
Cháu : 6 tuổi 
*Ví dụ 2: Một vị phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo : "Thưa thầy, trong lớp có bao nhiêu học sinh ?" Thầy cười và trả lưòi :" Nếu có thêm một số trẻ em bằng số hiện có và thêm một nửa số đó, rồi lại thêm 1/4 số đó, rồi cả thêm con của quý vị (một lần nữa) thì sẽ vừa tròn 100". Hỏi lơp có bao nhiêu học sinh ? 
Giải: 
Theo đầu bài thì tổng của tất cả số HS và tất cả số HS và 1/2 số HS và 1/4 số HS của lớp sẽ bằng : 100 - 1 = 99 (em) 
Để tìm được số HS của lớp ta có thể tìm trước 1/4 số HS cả lớp. 
Giả sử 1/4 số HS của lớp là 1 em thì cả lớp có 4 HS 
Vậy : 1/4 số HS của lứop là : 4 : 2 = 2 (em). 
Suy ra tổng nói trên bằng : 4 + 4 + 2 + 1 = 11 9em) 
Nhưng thực tế thì tổng ấy phải bằng 99 em, gấp 9 lần 11 em (99 : 11 = 9) 
Suy ra số HS của lớp là : 4 x 9 = 36 (em) 
Thử lại: 36 + 36 = 36/2 + 36/4 + 1 = 100 
Đáp số: 36 học sinh. 
Phạm Đình Thực
TP.Hồ Chí Minh
PHƯƠNG PHÁP "GÁN SAI - CHỈNH ĐÚNG"
Đây là một trong những cách giải cổ xưa nhất. Trong đó, muốn tìm ra một số chưa biết người ta sứ "gán đại" cho số ấy một giá trị cụ thể nào đó rồi dựa vào giá trị ấy mà tính toán theo các diều kiện nêu trong đề toán. Vì khi "gán đại" một giá trị như vậy thì chẳng mấy khi gán đúng vào đáp số được nên thể nào thì các kết quả tính toáncũng không thể "ăn khớp" với các dữ kiện trong đề toán mà sẽ phải có một sự sai khác nào đấy. 
Sau đó ta tìm cách để điều chỉnh lại giá trị đã "gán lại" cho số phải tìm để loại trừ sự sai khkác nói trên. Giá trị được điều chỉnh sẽ là đáp số của bài toán. 
Sau đây là một số ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Tham gia hội khoẻ Phù Đổng huyện có tất cả 222 cầu thủ thi đấu hai môn: Bóng đá và bóng chuyền. 
Mỗi đội bóng đá có 11 người. Mỗi đội bóng chuyền có 6 người. Biết rằng có cả thảy 27 đội bóng, hãy tính số đội bóng đá, số đội bóng chuyền. 
Giải 
Giả sử có 7 đội bóng đá, thế thì số đội bóng chuyền là: 
27 - 7 = 20 (đội bóng chuyền) 
Lúc đó tổng số cầu thủ là: 
7 x 11 + 20 x 6 = 197 (người) 
Nhưng thực tế có tới 222 người nên ta phải tìm cách tăng thêm: 222 - 197 = 25 (người), mà tổng số dội vẫn không đổi. 
Ta thấy nếu thay một dội bóng chuyền bằng một đội bóng đá thì tổng số đội vẫn không thay đổi nhưng tổng số người sẽ tăng thêm: 11 - 6 = 5 (người) 
Vậy muốn cho tổng số người tăng thêm 25 thì số dội bống chuyền phải thay bằng đọi bóng đá là: 
25 : 5 = 3 (đội) 
Do đó, số đội bóng chuyền là: 20 - 5 = 15 (đội) 
Còn số đội bống đá là: 7 + 5 = 12 (đội) 
Đáp số: 12 đội bóng đá, 15 đội bóng chuyền. 
Ví dụ 2: 
Số gà nhiều hơn số thỏ là 28 con. số chân gà nhiều hơn số chân thỏ là 40 chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con thỏ? 
Giải 
Giả sử có 10 con thỏ, thế thì có : 10 + 28 = 38 (con) 
Số chân gà là : 38 x 2 = 76 (chân) 
Số chân thỏ là : 10 x 4 = 40 (chân) 
Hiệu số chân gà và thỏ là : 76 - 40 = 36 (chân) 
Vì thực tế thì số chân gà hơn số chân thỏ tới 40 chân nên ta phải tìm cách thêm vào hiệu trên : 40 - 36 = 4 (chân) 
Ta thấy nếu cùng bớt một con thỏ và một con gà thì hiệu số gà và thỏ vẫn không thay đổi song hiệu số chân gà và thỏ sẽ tăng thêm: 4 - 2 = 2 (chân) 
Để hiệu số chân tăng thêm 4 thì số thỏ và gà phải bớt đi là : 4 : 2 = 2 (con) 
Vậy số thỏ là: 10 - 2 = 8 (con thỏ) 
Số gà là : 38 - 2 = 36 (con gà) 
Đáp số là : 36 con gà và 8 con thỏ 
TOÁN VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
Chương trình Toán lớp 4 đã giới thiệu về hai đại lượng tỉ lệ thuận, đó là hai đại lượng mà đại lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần. Những cặp đại lượng tỉ lệ thuận thường gặp là: thời gian đi và quãng đường đi được (trong chuyển động đều), số lượng một loại hàng và số tiền hàng, độ dài cạnh hình vuông và chu vi hình vuông, số người làm và sản phẩm làm được (khi năng suất mọi người như nhau), số sản phẩm và lượng nguyên vật liệu để sản xuất ra sản phẩm,.... 
Nếu biết cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận và một giá trị nữa của đại lượng này thì ta có thể tìm được giá trị tương ứng của đại lượng kia (bài toán tìm giá trị đó thường gọi là bài toán tam suất đơn thuận). Chúng ta có 2 cách giải các bài toán dạng này, đó là phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tìm tỉ số. 
Ví dụ 1 : May ba bộ quần áo như nhau hết 15 mét vải. Hỏi may 9 bộ quần áo như thế hết mấy mét vải ? 
Tóm tắt : 
3 bộ quần áo hết 15 m vải 
9 bộ quần áo hết ? m vải 
Lời giải : 
* Cách rút về đơn vị 
May một bộ quần áo hết : 
15 : 3 = 5 (m) 
May 9 bộ quần áo như thế hết : 
5 x 9 = 45 (m) 
* Cách dùng tỉ số 
9 bộ quần áo gấp 3 bộ quần áo số lần là : 
9 : 3 = 3 (lần) 
Số mét vải may 9 bộ quần áo đó là : 
15 x 3 = 45 (m) 
Những bài toán cơ bản về hai đại lượng sẽ làm cơ sở để ta giải quyết các bài toán xuất hiện ba đại lượng mà hai đại lượng bất kì đều tỉ lệ thuận. 
Ví dụ 2 : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận 150000 đồng. Hỏi : Nếu 15 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người là như nhau). 
Phân tích : Ta tóm tắt bài toán như sau : 
5 người làm 6 giờ nhận 150000 đồng 
15 người làm 3 giờ nhận ? đồng 
Để giải bài toán có ba đại lượng, ta phải cố định một đại lượng (làm cho một đại lượng như nhau) để tìm giá trị chưa biết của một trong hai đại lượng kia. Việc giải ví dụ 2 đưa về giải liên tiếp hai bài toán sau : 
Bài toán 1a : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận 150000 đồng. Hỏi : Nếu 15 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người là như nhau). 
Lời giải : 
15 người so với 5 người thì gấp : 
15 : 5 = 3 (lần) 
15 người, mỗi người làm việc 6 giờ thì được nhận số tiền là : 
150000 x 3 = 450000 (đồng) 
Bài toán 2a : Nếu 15 người, mỗi người làm việc 6 giờ được nhận 450 000 đồng. Hỏi : Nếu 15 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người như nhau). 
Lời giải : 
6 giờ so với 3 giờ thì gấp : 
6 : 3 = 2 (lần) 
15 người mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận số tiền là : 
450000 : 2 = 225000 (đồng) 
Đáp số của bài toán 2 chính là đáp số của ví dụ 2. Chú ý : Có con đường khác để giải ví dụ 2 là đưa về việc giải liên tiếp hai bài toán sau : 
Bài toán 1b : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận 150000 đồng. Hỏi : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người là như nhau). 
Lời giải : 
5 người mỗi người làm việc 1 giờ thì được nhận số tiền là : 
150000 : 6 = 25000 (đồng) 
5 người mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận số tiền là : 
25000 x 3 = 75000 (đồng) 
Bài toán 2b : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận 75000 đồng. Hỏi : Nếu có 15 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mọi người như nhau). 
Lời giải : 
Mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận số tiền là : 
75000 : 5 = 15000 (đồng) 
15 người mỗi người làm việc trong 
3 giờ thì được nhận số tiền là : 
15000 x 15 = 225000 (đồng) 
Như vậy những bài toán phức tạp hơn, có nhiều đại lượng hơn sẽ được giải quyết nhờ đưa về các bài toán chỉ có hai đại lượng. Bây giờ các bạn hãy cùng giải các bài toán sau đây : 
Bài 1 : Người ta tính rằng cứ 3 xe cùng loại chở hàng, mỗi xe đi 50 km thì tổng chi phí vận chuyển hết 1200000 đồng. Hỏi 5 xe như thế, mỗi xe đi 100 km thì tổng chi phí vận chuyển là bao nhiêu ? 
Bài 2 : Có 5 người ăn trong 8 ngày hết 24 ki-lô-gam gạo. Hỏi 7 người ăn trong 10 ngày thì hết bao nhiêu ki-lô-gam gạo ? Biết rằng khẩu phần ăn của mỗi người là như nhau. 
Các bạn có thể trao đổi tiếp xung quanh bài toán về các đại lượng tỉ lệ nghịch. Mong nhận được nhiều ý kiến của các bạn. 
Đỗ Văn Thản
(Số nhà 129, đường 6, phố Khánh Thành, phường Tân Thành, 
thị xã Ninh Bình, Ninh Bình)
MỘT CON ĐƯỜNG SÁNG TẠO 
NHỮNG BÀI TOÁN
Mỗi năm các em học sinh đều trải qua nhiều kì thi. Các thầy cô cũng phải tự soạn, tự sáng tác nhiều đề thi, đề kiểm tra để rèn kĩ năng giải toán cho học sinh. Một trong những định hướng mà tôi rất tâm đắc là sáng tác những đề toán có gắn với con số chỉ năm. Ngoài việc sử dụng nó như một số tự nhiên khác, nếu khám phá thấy đặc điểm riêng của nó ta có được những bài toán thật bất ngờ, thú vị. Tôi xin trao đổi với bạn đọc một kinh nghiệm nhỏ qua hai ví dụ sau :
Ví dụ 1 : Phân tích số 1995 thành tích các thừa số ta có kết quả như sau :
1995 = 3 x 5 x 7 x 19 = 19 x 15 x 7. Thay các chữ bởi các chữ cái ta có :
Đặt thêm điều kiện cho chặt chẽ, ta có bài toán điền chữ số :
(a > 0).
Bài toán có nhiều cách giải, mỗi cách giải đều ẩn chứa nhiều điều lí thú và bổ ích. Xin nêu 2 cá