Tuyển tập các bài Hệ phương trình hay và khó luyện thi Đại học
Bạn đang xem nội dung tài liệu Tuyển tập các bài Hệ phương trình hay và khó luyện thi Đại học, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tốn Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 1 Bài Tốn 1. Giải hệ phương trình sau: x4 - 4x2 + y2 - 6y + 9 = 0 (1) x2 y + x2 + 2y - 22 = 0 (2) (I) (Chuyên Vĩnh Phúc) ⇒ HD giải: Từ (1) ⇔ x4 - 4x2 + y2 - 6y + 9 = 0 ⇔ (x4 - 4x2 + 4) + (y2 - 6y + 9) = 4 ⇔ (x2 - 2)2 + (y - 3)2 = 4 Từ (2) ⇔ (x2 + 2)y + x2 - 22 = 0 ⇔ (x2 - 2 + 4)(y - 3 + 3) + (x2 - 2) - 20 = 0 ■ Đặt u = x 2 - 2 v = y - 3 thì hệ (I) thành u 2 + v2 = 4 (3) (u + 4)(v + 3) + u - 20 = 0 (4) (II) Từ (4) ⇔ uv + 4v + 3u + u + 12 - 20 = 0 ⇔ uv + 4v + 4u - 8 = 0 ⇔ uv + 4(u + v) - 8 = 0 ■ Đặt S = u + v P = uv thì hệ (II) thành S2 - 2P = 4 (5) P + 4S - 8 = 0 (6) Từ (6) ⇔ P = 8 - 4S thay vào (5) ta được: S2 - 2(8 - 4S) = 4 ⇔ S2 + 8S - 20 = 0 ⇔ S = 2⇒ P = 0 S = -10 ⇒ P = 48 ►Khi đĩ u, v là hai nghiệm của phương trình X2 - 2X = 0 hay X2 + 10X + 48 = 0 ⇔ X = 0 X = 2 Vậy hệ (II) cĩ nghiệm là u = 0 v = 2 hay u = 2 v = 0 ⇔ x 2 - 2 = 0 y - 3 = 2 hay x 2 - 2 = 2 y - 3 = 0 ⇔ x = ± 2 y = 5 hay x = ± 2 y = 3 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;3) (-2;3), ( 2;5), (- 2;5) ⇒ HD giải: (Cách khác) ☺Ý tưởng: HPT trên cĩ bậc khá cao nhưng cĩ thể giảm bậc bằng cách đặt t = x2 . Vậy cách tự nhiên nhất chính là ta đưa về PT bậc 2. Để đảm bảo ∆ chính phương ta sẽ dùng hệ số bất định như sau: ⇒ HD giải: Ta cĩ (1) + k.(2) ⇔ x4 - 4x2 + y2 - 6y + 9 + k(x2 y + x2 + 2y - 22) = 0 ⇔ x4 + (k + ky - 4)x2 + y2 - 6y + 9 + 22ky - 22k = 0 Xem đây là PT bậc hai theo ẩn là x2 , ta cĩ ∆ = (k2 - 4)y2 + (2k2 - 16k + 24)y + k2 + 80k - 20 Để ∆ là một bình phương thì trước hết hệ số của y2 phải là số chính phương, nghĩa là ta phải giải PT nghiệm nguyên k2 - 4 = α2 ( với α ∈ Z). Khi α = 0 ⇒ k = 2 ⇒ 2k2 - 16k + 24 = 0 k2 + 80k - 20 = 144 Và như vậy ta chọn k = 2 Lấy (1) + 2.(2) ta cĩ: x4 + (2 + 2y - 4)x2 + y2 - 6y + 9 + 4y - 44 = 0 Tốn Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 2 ⇔ x4 + 2(y - 1)x2 + y2 - 2y - 35 = 0 Xét ∆' = (y - 1)2 - (y2 - 2y - 35) = 36 ≥ 0 Khi đĩ x 2 = - y - 5 x 2 = 7 - y ■ Với y = - x2 - 5 thay vào (2) ta được: x2 (- x2 - 5) + x2 + 2(- x2 - 5) - 22 = 0 ⇔ - x4 - 6x2 - 32 = 0 (PT vơ nghiệm) ■ Với y = 7 - x2 thay vào (2) ta được: x2 (7 - x2 ) + x2 + 2(7 - x2 ) - 22 = 0 ⇔ - x4 + 6x2 - 8 = 0 ⇔ x 2 = 4 x 2 = 2 (Việc giải tiếp xin dành cho bạn đọc !) Như vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;3), (-2;3); (- 2;5), ( 2; 5). Bài Tốn 2 Giải hệ phương trình sau: x(x + y) + y2 = 4x - 1 (1) x(x + y)2 - 2y2 = 7x + 2 (2) (I) ⇒ HD giải: Từ (1) ⇔ x(x + y) + y2 + 1= 4x (Nhận xét x = 0 khơng là nghiệm của pt (1) nên ta chia 2 vế PT cho x) ⇔ (x + y) + y 2 + 1 x = 4. Từ (2) ⇔ x(x + y)2 - 2y2 = 7x + 2 ⇔ x(x + y)2 - 2y2 - 2 = 7x ⇔ x(x + y)2 -2(y2 + 1) = 7x (Nhận xét x = 0 cũng khơng là nghiệm của PT (2)) ⇔ (x + y)2 - 2y 2 + 1 x = 7. ■ Đặt u = x + y v = y2 + 1 x thì hệ (I) thành u + v = 4 (3) u2 - 2v = 7 (4) (II) Từ (3) ⇔ v = 4 - u thay vào (4) ta được: u2 - 2(4 - u) = 7 ⇔ u2 + 2u - 15 = 0 ⇔ u = 3 ⇒ v = 1 u = -5 ⇒ v = 9 ►Với u = 3 v = 1 ⇔ x + y = 3 y2 + 1 x = 1 ⇔ x = 3 - y y2 + 1 = 3 - y ⇔ x = 3 - y y2 + y - 2 = 0 ⇔ x = 2 y = 1 hay x = 5 y = -2 ►Với u = -5 v = 9 ⇔ x + y = -5 y2 + 1 x = 9 (hệ vơ nghiệm) Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;1), (5;-2) Bài Tốn 3. Giải hệ phương trình sau: 2 x2 + 3y - y2 + 8x - 1 = 0 (1) x(x + 8) + y(y + 3) - 13 = 0 (2) (I) ⇒ HD giải: Điều kiện x2 + 3y ≥ 0, y2 + 8x ≥ 0 (1;1) (-5;-7) Từ (2) ⇔ x(x + 8) + y(y + 3) - 13 = 0 ⇔ (x2 + 3y) + (y2 + 8x) = 13. ■ u = x2 + 3y v = y2 + 8x (u,v ≥ 0) thì hệ (I) thành 2u - v = 1 (3) u 2 + v2 = 13 (4) Từ (3) ⇔ v = 2u - 1 thay vào (4), ta được (4) ⇔ u2 + (2u - 1)2 = 13 ⇔ 5u2 - 4u - 12 = 0 ⇔ u = 2 (nhận) u = -6 5 (loại) Tốn Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 3 ►Với u = 2 ⇒ v = 3. vậy x 2 + 3y = 4 y2 + 8x = 9 ⇔ y = 4 - x2 3 4 - x2 3 2 + 8x = 9 ⇔ y = 4 - x 2 3 x 4 - 8x2 + 72x - 65 = 0 ⇔ y = 4 - x 2 3 (x - 1)(x3 + x - 7x + 65) = 0 ⇔ y = 4 - x 2 3 x = 1 x = -5 ⇔ x = 1⇒ y = 1 x = -5 ⇒ y = -7 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;1), (-5;-7) Bài Tốn 4. Giải hệ phương trình sau: x - 1 + y + 1 = 4 (1) x4 + (y + 1)2 = x3 (y + 2) + xy + 1 (2) (I) ⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1, y ≥ -1 Từ (2) ⇔ x4 + (y + 1)2 = x 3 (y + 2) + xy + 1 ⇔ x4 + y2 + 2y + 1 = x3 y + 2x3 + xy + 1 ⇔ y2 + (2 - x - x3 )y + x4 - 2x3 = 0. Xét ∆ = (2 - x - x3 )2 - 4(x4 - 2x3 ) = (4 + x2 + x6 - 4x - 4x3 + 2x4 ) - 4x4 + 8x3 = (4 + x2 + x6 - 4x + 4x3 - 2x4 ) = (x3 - x + 2)2 ≥ 0 Vậy PT (2) ⇔ y = x - 2 y = x3 ►Với y = x - 2 thay vào (1), ta được: (1) ⇔ x - 1 + x - 1 = 4 ⇔ x - 1 = 2 ⇔ x = 5⇒ y = 3 ►Với y = x3 thay vào (1), ta được: (1) ⇔ x - 1 + x3 + 1 = 4 ⇔ x - 1 - 1 + x3 + 1 - 3 = 0 ⇔ x - 2 x - 1 + 1 + x3 - 8 x3 + 1 + 3 = 0 ⇔ (x - 2) 1 x - 1 + 1 + x 2 + 2x + 4 x3 + 1 + 3 = 0 ⇔ x = 2 hay 1 x - 1 + 1 + x 2 + 2x + 4 x 3 + 1 + 3 = 0 (vơ nghiệm) Do đĩ x = 2 ⇒ y = 8. Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;8), (5;3) Bài Tốn 5. Giải hệ phương trình sau: 8(x + 1)3 = 8y3 - 12y2 + 2y - 3 + 12x2 + 10x + 3 (1) 2y - 4(x2 + 2) + y2 - 6x + 3 = 0 (2) (I) ⇒ HD giải: Điều kiện y ≥ 32, 2y - 4(x 2 + 2) ≥ 0. Từ (1) ⇔ 8(x + 1)3 - 12x2 - 10x - 3 = 8y3 - 12y2 + 2y - 3 ⇔ 8x3 + 12x2 + 14x + 5 = 4y2 (2y - 3) + 2y - 3 ■ Xét VP = 2|y| 2y - 3 + 2y - 3 (do y ≥ 32) = (2y + 1) 2y - 3 = (2y - 3 + 4) 2y - 3 = (2y - 3) 2y - 3 + 4 2y - 3 ■ Xét (2x + b)3 + 4(2x + b) = 8x3 + 12x2 + 14x + 5 ⇔ 8x3 + 12bx2 + (6b + 8)x + 4b + b3 = 8x3 + 12x2 + 14x + 5 ⇔ 12b = 12 6b + 8 = 14 b3 + 4b = 5 ⇔ b = 1 Tốn Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 4 Vậy từ (1) ⇔ (2x + 1)3 + 4(2x + 1) = ( 2y - 3)3 + 4 2y - 3 ⇔ f (2x + 1) = f ( 2y - 3) (3) ■ Xét hàm đặc trưng: f (t) = t3 + 4t (t ∈ R) cĩ f '(t) = 3t2 + 4 > 0 ∀t ∈ R. Do đĩ (3) tương đương 2x + 1 = 2y - 3 ⇔ 2x + 1 ≥ 0 4x2 + 4x + 1 = 2y - 3⇔ x ≥ -12 2y = 4x2 + 4x + 4 Thay vào (2) ta được: 4x2 + 4x + 4 - 4(x2 + 2) + x2 + x + 1 - 6x + 3 = 0 (với x ≥ -12 ) ⇔ 4x - 4 + x2 - 5x + 4 = 0 ⇔ 2 x - 1 + (x - 1)(x - 4) = 0 (x ≥ 1) ⇔ 2 x - 1 + (x - 1)(x - 1 - 3) = 0 ⇔ 2 x - 1 + (x - 1)2 - 3(x - 1) = 0 (4) ► Đặt t = x - 1 ≥ 0 thì (4) ⇔ 2t + t4 - 3t = 0 ⇔ t(t3 - 3t + 2) = 0 ⇔ t = 0 (nhận) t = 1 (nhận) t = -2 (loại) Với t = 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 6 Với t = 1 ⇔ x - 1 = 1 ⇔ x = 2 ⇒ y = 14 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (2;14), (1;6) Bài Tốn 6. Giải hệ phương trình sau: (x + x2 + 4)(y + y2 + 1) = 2 (1) 12y2 - 10y + 2 = 2 3 x3 + 1 (2) (TTL1 - 2014 - Amsterdam) ⇒ HD giải: ■ Ta cĩ y2 + 1 > y2 = ± y ⇒ y2 + 1 + y > 0. Xét (y + y2 + 1)( y2 + 1 - y) = 1 ⇔ y2 + 1 - 1= 1 y + y2 + 1 Từ (1) ⇔ (x + x2 + 4)(y + y2 + 1) = 2 ⇔ x + x2 + 4 = 2 1 y + y2 + 1 ⇔ x + x2 + 4 = 2( y2 + 1 - y) ⇔ x + x2 + 4 = (-2y)2 + 4 + (-2y) ⇔ f (x) = f(-2y) (3). ■ Xét hàm đặc trưng: f (t) = t + t2 + 4 (t ∈ R) cĩ f '(t) = 1 + t t2 + 4 = t2 + 4 + t t2 + 4 > |t| + t t2 + 4 ≥ 0 ∀t Do đĩ (3) tương đương với x = - 2y. ► Thay 2y = -x vào (2) ta được: 3x2 + 5x + 2 = 2 3 x3 + 1 ⇔ x3 + 1 + (3x2 + 5x + 2) = 2 3 x3 + 1 + x3 + 1 Xét VT = x3 + 3x2 + 5x + 3 = (x + b)3 + 2(x + b) ⇔ x3 + 3x2 + 5x + 3 = x3 + 3bx2 + (3b2 + 2)x + b3 + 2b ⇔ 3 = 3b 5 = 3b2 + 2 3 = b3 + 2b ⇔ b = 1 Vậy (2) ⇔ (x + 1)3 + 2(x + 1) = x3 + 1 + 2 3 x3 + 1 ⇔ g(x + 1) = g(3 x3 + 1) (4). ■ Xét hàm đặc trưng: g(u) = u3 + 2u (u ∈ R) cĩ g '(u) = 3u2 + 2 > 0 ∀u ∈ R. Do đĩ (4) tương đương với x + 1 = 3 x3 + 1 Tốn Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 5 ⇔ x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 1 ⇔ 3x2 + 3x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0 x = -1 ⇒ y = 12 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (0;0), (-1; 12) Bài Tốn 7. Giải hệ phương trình sau: x4 - x3 y + x2 y2 = 1 (1) x3 y - x2 + xy = - 1 (2) (I) ⇒ HD giải: Cộng vế theo vế hai phương trình (1) và (2) ta được: x4 + x2 y2 - x 2 + xy = 0 (khơng đi tiếp được → "kẹt") Trừ vế theo vế hai PT (1) và (2), ta được: x4 - 2x3 y + x2 y2 + x2 - xy - 2 = 0 ⇔ (x4 - 2x3 y + x2 y2 ) + (x2 - xy) - 2 = 0 ⇔ x2 (x2 - 2xy + y2 ) + x(x - y) - 2 = 0 ⇔ x2 (x - y)2 + x(x - y) - 2 = 0. ( đặt t = x(x - y)) Thì PT thành t2 + t - 2 = 0 ⇔ t = 1 t = -2 ⇔ x 2 - xy = 1 x 2 - xy = -2 ■ TH1: với x2 - xy = 1 ⇔ xy = x2 - 1. Thay vào pt (2) ta được: (2) ⇔ x3 y - x2 + xy = - 1 ⇔ x2 (xy) - x2 + xy + 1 = 0 ⇔ x2 (x2 - 1) - x2 + x2 - 1 + 1 = 0 ⇔ x 2 = 0 x 2 = 1 Với x = 0 ⇒ vơ nghiệm Với x = 1 ⇒ y = 0, x = -1 ⇒ y = 0. ■ TH2: với x2 - xy = -2 ⇔ xy = x2 + 2. Thay vào pt (2) ta được: (2) ⇔ x2 (xy) - x2 + xy + 1 = 0 ⇔ x2 (x2 + 2) - x2 + x2 + 2 + 1 = 0 ⇔ x4 + 2x2 + 3 = 0 (vơ nghiệm). Kết luận, từ hai trường hợp thì hệ phương trình cĩ hai nghiệm là x = 0 y = 1 hay (x;y) = (0;-1). ⇒ HD giải: ( Giải bằng cách thử rút thế) Ta cĩ phương trình (2)⇒ (x3 + x)y = x2 - 1. Nhận xét x = 0 khơng là nghiệm của phương trình (2) nên ta cĩ y = x 2 - 1 x(x2 + 1) Thay vào (1) ta được: x4 - 1 - x3 x2 - 1 x(x2 + 1) + x 2 x2 - 1 x(x2 + 1) 2 = 0 ⇔ (x2 - 1)(x2 + 1) - (x2 - 1) x 2 x 2 + 1 + (x 2 - 1) x2 - 1 x 2 + 1 2 = 0 ⇔ (x2 - 1) (x2 + 1) - x 2 x 2 + 1 + x2 - 1 x 2 + 1 2 = 0 ⇔ x2 = 1 hay (x2 + 1) - x 2 x 2 + 1 + x 2 - 1 (x2 + 1)2 = 0 ■ TH1: x2 = 1 ⇒ x = 1 ⇒ y = 0 x = - 1 ⇒ y = 0 ■ TH2: (x2 + 1)3 - x 2 (x2 + 1) + (x2 - 1) = 0 (Đặt t = x2 > 0) Tốn Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 6 ⇔ (t + 1)3 - t2 - t + t - 1 = 0 ⇔ (t + 1)3 - t2 - 1 = 0 ⇔ t3 + 3t2 + 3t + 1 - t2 - 1 = 0 ⇔ t3 + 2t2 + 3t = 0 ( loại vì t > 0) Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (0;1), (0; -1) Bài Tốn 8. Giải hệ phương trình sau: x + 1 + y - 1 = 4 (1) x + 6 + y + 4 = 6 (2) (I) ⇒ HD giải: ( Giải bổ sung!!!! ^^^) Điều kiện x ≥ -1, y ≥ -1. Cộng trừ hai PT (1) và (2) vế theo vế ta được: (I) ⇔ x + 1 + x + 6 + y + 4 + y - 1 = 10 x + 6 - x + 1 + y + 4 - y - 1 = 2 (II). Đặt u = x + 6 + x + 1 v = y + 4 + y - 1 ⇔ x + 6 - x + 1 = 1u y + 4 - y - 1 = 1 v Do đĩ (II) thành: u + v = 10 5 u + 5 v = 2 (Đây là hệ Đối xứng loại 1 - việc giải hệ này xin dành cho bạn đọc !) ⇔ u = 5 v = 5 ⇔ x + 6 + x + 1 = 5 y + 4 + y - 1 = 5 (Việc giải các PT căn này cũng xin dành cho bạn đọc!) ⇔ x = 3 y = 5 (Nhận) Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (3;5) Bài Tốn 9. Giải hệ phương trình sau: x4 + 2x3 y + x2 y2 = 2x + 9 (1) x2 + 2xy = 6x + 6 (2) (I) (ĐH Khối B - 2008) ⇒ HD giải: ( Giải bằng cách rút thế ) Nhận xét, khơng hẳn trong một bài hệ PT ta sẽ rút x theo y (hoặc y theo x) mà cũng cĩ thể rút "một cụm" - một nhĩm của PT này sao cho nĩ cĩ mối liên hệ với PT kia. Từ PT (2) ⇔ xy = 3x + 3 - x 2 2 thay vào (1) ta được: (1) ⇔ x4 + 2x2 (3x + 3 - x 2 2 ) + 3x + 3 - x 2 2 2 = 2x + 9 ( khai triển thu gọn PT ta được) ⇔ x(x3 + 12x2 + 48x + 64) = 0 ⇔ x = 0 x = -4 Với x = 0 thì (2) vơ nghiệm Với x = -4 thì (2) ⇒ y = 174 . Vậy hệ PT cĩ một nghiệm là (x;y) = (0; 17 4 ) ⇒ HD giải: ( Giải bằng cách rút thế ) Nhận xét x = 0 khơng nghiệm của (2) nên từ (2) ⇔ y = 6x + 6 - x 2 2x (với x ≠ 0) Thay vào (1) ta được: x4 + 2x3 . 6x + 6 - x2 2x + x 2 6x + 6 - x2 2x 2 = 2x + 9 ( khai triển thu gọn PT ta được) ⇔ x(x3 + 12x2 + 48x + 64) = 0 ⇔ x = 0 x = -4 (tương tự như cách làm trên). Bài Tốn 10. Giải hệ phương trình sau: x 2 + 1 + y2 + yx = 4y (1) x+ y - 2 = y x2 + 1 (2) (I) Tốn Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 7 ⇒ HD giải: Từ (1) ⇔ x2 + 1 = - y2 - yx + 4y = y(4 - x - y) thay vào (2), ta được (2)⇔ x + y - 2 = yy(4 - x - y) ( nhận y = 0 khơng là nghiệm của PT (2)) ⇔ (x + y) - 2 = 14 - (x + y) (3). Đặt t = x + y thì (3) ⇔ 6t - t 2 - 9 = 0 ⇔ t = 3 = x + y (Việc giải tiếp xin dành cho bạn đọc !) Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1; 2), (-2 ; 5) Bài Tốn 11. Giải hệ phương trình sau: x2 - 4y2 - 8x + 4y + 15 = 0 (1) x2 + 2y2 - 2xy = 5 (2) (I) ⇒ HD giải: ( Giải bằng cách xét delta ) (1) ⇔ x2 - 8x - 4y2 + 4y + 15 = 0. (xem x là ẩn, y là tham số). Xét ∆' = 16 - (- 4y2 + 4y + 15) = 4y2 - 4y2 + 1 = (2y - 1)2 ≥ 0 Vậy x = -b' ± ∆' a ⇔ x = 5 - 2y x = 3 + 2y ■ TH1: với x = 5 - 2y thay vào (2), ta được: (2) ⇔ (5 - 2y)2 + 2y2 - 2y(5 - 2y) = 5 ⇔ 10y2 - 30y + 20 = 0 ⇔ y = 1 ⇒ x = 3 y = 2 ⇒ x = 1 ■ TH2: với x = 3 + 2y thay vào (2), ta được: (2) ⇔ (3 + 2y)2 + 2y2 - 2y(3 + 2y) = 5 ⇔ 2y2 + 6y + 4 = 0 ⇔ y = -1 ⇒ x = 1 y = -2 ⇒ x = -1 Kết luận: hệ phương trình (I) cĩ 4 nghiệm là (1;-1), (-1;-2), (3;1), (1;2) Bài Tốn 12. Giải hệ phương trình sau: 2x2 + y2 - 3xy + 3x - 2y + 1 = 0 (1) 4x2 - y2 + x + 4 = 2x + y + x + 4y (2) (I) (ĐH khối B - 2013) ⇒ HD giải: ( Giải bằng cách xét delta ) Điều kiện: 2x + y ≥ 0, x + 4y ≥ 0. (1) ⇔ 2x2 + 3(1 - y)x + y2 - 2y + 1 = 0 Xét ∆ = 9(1 - y)2 - 4.2.(y2 - 2y + 1) = y2 - 2y + 1 = (y - 1)2 ≥ 0 Khi đĩ x = y - 1 x = y - 1 2 ■ TH1: thay y = x + 1 vào (2) ta được: 3x2 - x + 3 = 3x + 1 + 5x + 4 (Việc giải này xin dành cho bạn đọc) ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 x = 1⇒ y = 2 ■ TH2: thay y = 2x + 1 vào (2) ta được: 3 - 3x = 4x + 1 + 9x + 4 (HSTL) ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 Vậy hệ phương trình cĩ 2 nghiệm là (0;1), (1;2). Bài Tốn 13. Giải hệ phương trình sau: y + xy2 = 6x2 1 + x2 y2 = 5x2 (I) ⇒ HD giải: Khi x = 0 thì hệ phương trình (I) thành y = 0 1 = 0 (vơ nghiệm) ⇒ x = 0 là khơng là nghiệm của (I) Tốn Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 8 Khi x ≠ 0 nên chia hai vế của hệ phương trình cho x2 ta được: (I) ⇔ yx2 + y2 x = 6 1 x 2 + y2 = 5 ⇔ yx (1x + y) = 6 1 x 2 + y2 = 5 (II) Đặt u = 1x + y v = y x thì hệ (II) thành: uv = 6 u2 - 2v = 5 ⇔ v = u2 - 5 2 (1) uv = 6 (2) Thay (1) vào (2), ta được (2) ⇔ (u2 - 5)u = 12 ⇔ u3 - 5u - 12 = 0 ⇔ u = 3 ⇒ v = 2 Với u = 3 v = 2 ⇔ 1x + y = 3 y x = 2 ⇔ y = 2x 2x2 - 3x + 1 = 0 ⇔ y = 2x x = 1 v x = 12 ⇔ x = 1 y = 2 hay x = 1 2 y = 1 Vậy nghiệm (x;y) của hệ là (1;2), (12;1). Bài Tốn 14. Giải hệ phương trình sau: xy + x + 1 = 7y (1) x2 y2 + xy + 1 = 13y2 (2) (I) (ĐH Khối B - 2009) ⇒ HD giải: Khi y = 0 thì (2) vơ nghiệm. Khi y ≠ 0 thì hệ (I) ⇔ x + xy + 1 y = 7 x 2 + x y + 1 y2 = 13 ⇔ x + 1 y + x y = 7 x + 1 y 2 - x y = 13 (II) Đặt S = x + 1y và P = x y thì hệ (II) thành S + P = 7 S2 - P = 13 ⇔ P = 7 - S S2 + S - 20 = 0 ⇔ S = -5 P = 4 hay S = 4 P = 5 Khi đĩ x và 1y là 2 nghiệm của phương trình X 2 + 5X + 4 = 0 hay X2 - 4X + 5 = 0 (Đối xứng loại 1) ⇔ X = -1 X = -4 ⇔ x = -1 1 y = -4 hay x = -4 1 y = -1 ⇔ x = -1 y = -14 hay x = -4 y = -1 Kết luận vậy hệ (I) cĩ 2 nghiệm là (-1; -14 ) hay (-4;-1) Bài Tốn 15. Giải hệ phương trình sau: x + 1 + 4 x - 1 - 4 y4 + 2 = y (1) x2 + 2x(y - 1) + y2 - 6y + 1 = 0 (2) (I) (ĐH Khối A - 2013) ⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 1. Đặt u = 4 x - 1 suy ra u ≥ 0. PT (1) trở thành: u4 + 2 + u = y4 + 2 + y (3). (Như bạn thấy u ≥ 0, nhưng liệu y ≥ 0 ??? cái khĩ của bài tốn nằm ở đây ! Vì nếu các em học sinh xét hàm đặc trưng thì sẽ khơng chỉ rõ được tập xác định cho cả 2 biến u và y). Từ (2) ta được x2 + 2xy + y2 - 2x - 2y + 1 = 4y ⇔ 4y = (x + y - 1)2 ⇒ y ≥ 0. Tốn Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 9 Xét f(t) = t4 + 2 + t với t ≥ 0. Ta cĩ f '(t) = 2t 3 t4 + 2 + 1 > 0 ∀t > 0. Do đĩ PT (3) tương đương với y = u, nghĩa là x = y4 + 1. Thay vào PT (2) ta được y(y7 + 2y4 + y - 4) = 0 ⇔ y = 0 y7 + 2y4 + y - 4 = 0 Với y = 0 ⇒ x = 1 Với y7 + 2y4 + y - 4 = 0 (4). Xét hàm g(y) = y7 + 2y4 + y - 4 (y ≥ 0) g'(y) = 7y6 + 8y3 + 1 > 0 ∀y ≥ 0 Mà g(1) = 0 nên (4) cĩ nghiệm khơng âm là y = 1⇒ x = 2 . Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;0) và (2;1) Bài Tốn 16. Giải hệ phương trình sau: (8x - 3) 2x - 1 - y - 4y3 = 0 (1) 4x2 - 8x + 2y3 + y2 - 2y + 3 = 0 (2) (I) ⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ 12 Từ PT (1) ⇔ (8x - 3) 2x - 1 = 4y3 + y. (Do VP cĩ dạng f(t) = 4t3 + t nên ta sẽ biến đổi VT cĩ dạng như VP). Đặt u = 2x - 1 ≥ 0 ⇒ u2 = 2x - 1 ⇒ 2x = u2 + 1 thay vào PT (1) ta được: (1) ⇔ (4u2 + 4 - 3)u = 4y3 + y ⇔ 4u3 + u = 4y3 + y (3). Xét hàm f(t) = 4t3 + t (t ∈ R) thì cĩ f '(t) = 12t2 + 1 > 0 ∀t ∈ R. Do đĩ PT (3) ⇔ u = y ⇔ 2x - 1 = y ⇔ y2 = 2x - 1 (Do u ≥ 0 ⇒ y ≥ 0) ■ Cách 1: thay vào PT (2) ta được: 4x2 - 8x + 2y(y2 - 1) + y2 + 3 = 0 ⇔ 4x2 - 8x + 2 2x - 1(2x - 2) + 2x + 2 = 0 ⇔ 2x2 - 3x + 1 + 2 2x - 1(x - 1) = 0 ⇔ 2(x - 1)(x - 12) + 2 2x - 1(x - 1) = 0 ⇔ (x - 1) 2x - 1 + 2 2x - 1 = 0 ⇔ x = 1 2x - 1 + 2 2x - 1 = 0 (4) Với x = 1⇒ y2 = 1 ⇒ y = 1 (nhận) y = -1 (loại) Với PT (4), đặt t = 2x - 1 ≥ 0 nên (4) ⇔ t2 + 2t = 0 ⇔ t = 0 ⇔ x = 12 ⇒ y = 0 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (12; 0), (1;1). ■ Cách 2: PT (2) ⇔ 4x2 - 8x + 2y3 + y2 - 2y + 3 = 0 ⇔ (4x2 - 4x + 1) - 4x + 2 + 2y3 + y2 - 2y = 0 ⇔ (2x - 1)2 - 2(2x - 1) + 2y3 + y2 - 2y = 0 Thay 2x - 1 = y2 ≥ 0 vào PT (2) ta được: y4 + 2y3 - y2 - 2y = 0 ⇔ y(y3 + 2y2 - y - 2) = 0 ⇔ y = 0 ⇒ x = 12 y = 1⇒ x = 1 y = -1 (loại) y = -2 (loại) Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (12; 0), (1;1). Tốn Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 10 Bài Tốn 17. Giải hệ phương trình sau: x 5 + xy4 = y10 + y6 (1) 4x + 5 + y2 + 8 = 6 (2) (I) ☺Nhận xét: nhìn vào hệ trên ta thấy rằng khơng thể dùng "PP rút thế ". PT (1) cĩ 2 ẩn độc lập với nhau nên ta nghĩ tới việc thử nhĩm lại và phân tích nhận tử, lại cĩ x - y2 là một nhân tử chung, tuy vậy việc phân tích ra là tương đối phức tạp khi dùng hằng đẳng thức liên quan tới A5 - B5 . Ta cùng xét cách khác đơn giản hơn, với dự đốn x = y2 là mối quan hệ duy nhất của x, y ⇒ ta nghĩ tới dùng tính đơn điệu của hàm số. Thử nhé ! ⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ -54 Dễ thấy y = 0 khơng là nghiệm của hệ (I). Với y ≠ 0, chia cả 2 vế của PT (1) cho y5 , ta được: (1) ⇔ x 5 y5 + x y = y 5 + y (3). Xét hàm đặc trưng f (t) = t5 + t (t ∈ R) cĩ f '(t) = 5t4 + 1 > 0 ∀t ∈ R. Do đĩ PT (3) ⇔ xy = y ⇔ x = y 2 ≥ 0 Thay x = y2 vào (2) ta được 4x + 5 + x + 8 = 6 (việc giải PT vơ tỉ này xin dành cho bạn đọc !) ⇔ ... ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 y = -1 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;1), (1;-1) Bài Tốn 18. Giải hệ phương trình sau: 4x4 + y4 = 4x + y (1) x3 + y3 = xy2 + 1 (2) (I) ☺Nhận xét: Giả sử kí hiệu DEG là bậc của PT. ta cĩ Deg(VTPT1) = 4 > Deg(VPPT1) = 1 PT (2) ⇔ x3 + y3 - xy2 = 1 cĩ Deg(VTPT2) = 3 > Deg(VPPT2) = 0. Như vậy để PT (1) trở thành PT ĐẲNG CẤP, ta sẽ nhân thêm một lượng để VPPT(1) cĩ Deg = 4. ⇒ HD giải: Ta cĩ 4x4 + y4 = (4x + y).1 = (4x + y)(x3 + y3 - xy2 ) ⇔ 4x4 + y4 = (4x + y)(x3 + y3 - xy2 ) ⇔ 3xy3 - 4x2 y2 + yx3 = 0 ⇔ xy(3y2 - 4xy + x2 ) = 0 ⇔ x = 0 hay y = 0 hay 3y2 - 4xy + x2 = 0 ■ Với x = 0, thay vào (2) ta được y = 1. ■ Với y = 0, thay vào (2) ta được x = 1. ■ Với 3y2 - 4xy + x2 = 0 (3). + Xét x = 0 ⇒ y = 0 khơng là nghiệm của hệ (I) + Xét x ≠ 0 thì (3) ⇔ 3 y 2 x 2 - 4 y x + 1 = 0 ⇔ y = x y = x3 Thay y = x vào (2) ta được x = 1 = y Thay y = x3 vào (2) ta được x = 1⇒ y = 1 3 Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (1;0), (0;1), (1;1), (1; 13). Bài Tốn 19. Giải hệ phương trình sau: x3 - 8x = y3 + 2y (1) x2 - 3y2 = 6 (2) (I) ⇒ HD giải: Hệ (I) cĩ thể viết lại x 3 - y3 = 2(4x + y) x 2 - 3y2 = 6 Ta nghĩ đến cách đồng bậc PT (1) bằng phép thế từ PT (2). Nhưng trước đĩ ta phải làm xuất hiện số 6 ở PT(1) nên ta làm như sau. Tốn Học [3K]- Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm Thy Lâm Phong Nghề nghiệp khơng làm nên sự cao quý của con người mà chính con người làm nên sự cao quý của nghề nghiệp. (Theo Dấu Ước Mơ - trích đề thi Cao đẳng khối C & D 2012 ) 11 (1) ⇔ x3 - y3 = 2(4x + y) ⇔ 3(x3 - y3 ) = 6(4x + y) ⇔ 3x3 - 3y3 = (x2 - 3y2 )(4x + y) ⇔ x3 + x2 y - 12xy2 = 0 ⇔ x(x2 + xy - 12y2 ) = 0 ( giải tương tự như bài tốn 6.1) ⇔ x = 0 x = 3y x = -4y (việc giải tiếp xin dành cho bạn đọc) Vậy nghiệm (x;y) của hệ (I) là (3;1), (1;3), ( -4 613; 6 13), (4 6 13; - 6 13) Bài Tốn 20. Giải hệ phương trình sau: x + 1 + x + 2 + x + 5 = y - 1 + y - 3 + y - 5 (1) x2 + y2 + x + y = 80 (2) (I) ⇒ HD giải: Điều kiện x ≥ -1, y ≥ 5. ►Nếu x + 1 > y - 5 thì x + 3 > y - 3 và x + 5 > y - 1 Nên x + 1 + x + 2 + x + 5 > y - 1 + y - 3 + y - 5 ⇒ PT(1) vơ nghiệm. ►Nếu x + 1 < y - 5 thì x + 3 < y - 3 và x + 5 < y - 1 Nên x + 1 + x + 2 + x + 5 < y - 1 + y - 3 + y - 5 ⇒ PT(1) vơ nghiệm. ►Do đĩ từ (1) ta suy ra x + 1 = y - 5 ⇔ x = y - 6. Thay vào (2) ta được: y - 6 + y + (y - 6)2 + y2 = 80 ⇔ ... ⇔ y = 5 - 1252 (loại) y = 5 + 1252 (nhận) ⇒ x = y - 6 = 125 - 7 2 Vậy nghiệm (x;y) của hệ là ( 125 - 72 ; 5 + 125 2 ) Bài Tốn 21. Giải hệ phương trình sau: x + 4 32 - x - y2 = - 3 (1) 4 x + 32 - x + 6y = 24 (2) (I) ⇒ HD giải: Cộng vế theo vế hai PT (1) và (2) ta được: ( x + 32 - x) + (4 32 - x + 4 x) = y2 - 6y + 21 (3). Lại cĩ: ■ VP = y2 - 6y + 21 = (y - 3)2 + 12 ≥ 12 ■
File đính kèm:
TUYEN TAP HPT - PT - BPT HAY KHO 2014.pdf
