Toán - Phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

Chuyên ðề gửi báo toán học tuổi trẻ 
 1 
Ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè 
 LÊ XUÂN ÐẠI 
 (GV Trýờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc) 
Trong các ðề thi tuyển sinh vào Ðại học, Cao ðẳng, chúng ta gặp khá nhiều bài toán chứng 
minh bất ðẳng thức (BÐT) ðại số. Và ðây cũng là bài toán thuộc dạng khó với các thí sinh. Ðể giúp 
các em có cách nhìn phong phú hõn về các phýõng pháp chứng minh BÐT, tôi xin giới thiệu thêm 
về phýõng pháp lýợng giác ðể chứng minh BÐT ðại số mà cõ sở xuất phát của chúng bắt nguồn từ 
các BÐT quen biết trong tam giác. 
Do khuôn khổ của bài viết nên các kết quả và BÐT cõ bản trong tam giác không chứng minh lại. 
Sau ðây, tôi xin ðýa ra một số dạng bài toán ðiển hình thể hiện cho phýõng pháp này 
Dạng 1: Trong BÐT có giả thiết “x,y,z là các số dýõng thoả mãn x+y+z= xyz ” 
Khi ðó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho x=tanA; y=tanB; z=tanC. 
Thật vậy, tồn tại , , 0;
2
A B C  
 

 sao cho x=tanA; y=tanB; z=tanC. 
Từ tan tan( )
1
C A B A B C
x y
x y z xyz z
xy
       

    

 
Thí dụ 1. Cho x,y,z là các số thực dýõng thoả mãn ðiều kiện x+y+z=xyz. 
Chứng minh rằng 3 3
2 2 2 21 1 1
x y z
x y z
  
  
Lời giải. Ta có tan sin
2 21 1 tan
 
 
x A
A
x A
. Týõng tự sin
21


y
B
y
 và sin
21


z
C
z
. 
Khi ðó BÐT cần chứng minh 3 3sin sin sin
2
   A B C (ðây là BÐT cõ bản trong tam giác). 
Bài toán ðýợc chứng minh. Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC ðều, hay 3x y z   . 
* Ðể ý thêm rằng 
1 1
2 21 1 tan
 
 
cosA
x A
 và do 
3
2
  cosA cosB cosC , nên ta có bài toán 
sau: 
Thí dụ 2. Cho x,y,z là các số thực dýõng thoả mãn ðiều kiện x+y+z=xyz. 
 Chứng minh rằng 1 1 1 3
2 2 2 21 1 1
  
  x y z
Chuyên ðề gửi báo toán học tuổi trẻ 
 2 
Dạng 2: Trong BÐT có giả thiết “x,y,z là các số dýõng thoả mãn xy+yz+zx= 1 ” 
Khi ðó tồn tại tam giác ABC sao cho tan , tan , tan
2 2 2
  
A B C
x y z (HS tự chứng minh) 
Thí dụ 3. Cho các số thực dýõng x,y,z thoả mãn xy+yz+xz=1. Chứng minh rằng 
2
3 3
2 2 41 1 1
x y z
x y z
  
  
Lời giải. Ta có 2 2 2 2
3 3
sin sin sin2 2 41 11
A B Cx y z
y zx
    
 
 (ðpcm). 
Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
3
x y z   . 
Thí dụ 4. Cho x,y,z dýõng thỏa mãn ðiều kiện x+y+z=1. 
Chứng minh rằng: xy yz xz 3
xy z yz x xz y 2
  
  
Lời giải. Viết lại giả thiết nhý sau: xy xz xy yz xz yz. . . 1
z y z x y x
   (*) 
Tồn tại tam giác ABC sao cho: 
yz xz xyA B C
tan ; tan ; tan2 2 2x y z
   
Lúc ðó 
C2xy tan
xy Cz 2 sin
xy 2Cxy z 21 tan 1z 2
  
  
. 
Cùng với BÐT cõ bản trong tam giác A B C 3sin sin sin
2 2 2 2
   , ta suy ra ðpcm. 
Nhận xét: Mấu chốt của lời giải trên là ðýa giả thiết x+y+z=1 về dạng (*). Cùng với ý týởng nhý 
vậy ta giải ðýợc bài toán sau: 
Thí dụ 5. Cho x,y,z dýõng thỏa mãn ðiều kiện x+y+z=1. 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y xyz
x yz y xz z xy
  
  
Lời giải. Với phép ðổi biến nhý thí dụ 4, ta biến ðổi P nhý sau: 
2
xy
1 1 A B 1 12zP cos cos sin C 1 (cos A cos B sin C)yz xz xy 2 22 21 1 1
x y z
         
  
Ta có 2 3
C A B CA B 3 3cos A cos B sin C sin 2cos 2cos 4cos 4cos3 2 2 4 6

 
    
       
Chuyên ðề gửi báo toán học tuổi trẻ 
 3 
Do ðó 1 3 332 3 1
2 42
P 1
 
   
 
  . 
Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2A B, C A B , C
3 6 3
  
        
Dễ thấy khi ðó x y 2 3 3, z 7 4 3     . Vậy 3 3min P 1
4
  . 
Thí dụ 6. Cho các số dýõng a,b,c thoả mãn ðiều kiện abc+a+c=b. Chứng minh rằng 
10
2 3
2 2 3
2 21 1 1a b c
  
  
. 
Lời giải. Từ giả thiết suy ra 1  a cac
b b
, nên tồn tại tam giác ABC sao cho 
tan ; tan tan
2 2 2
  
A 1 B C
a ; c
b
. Khi ðó 2 2 22 2sin 3
2 2 2
  
A B C
P cos cos 
10
3
2
1 12 23sin 2sin 3 3 sin 3
2 2 2 2 3 2 3 2
C C A B C A B A B
P cos cos cos
  
           
 
10
P
3
  
1
sin 0
2 3 2 1
sin2 1 2 3
2

 



  
 
 
C A B
A Bcos
C
A B
cos
. Khi ðó 2
2

1
a ; b= 2 ; c=
2 2
. 
Dạng 3: Trong BÐT có giả thiết “x,y,z là các số dýõng thoả mãn 2 22 2x y z xyz=1   ” 
Khi ðó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho x cosA; y=cosB; z=cosC (HS tự chứng minh) 
Thí dụ 7. Cho các số dýõng x,y,z thoả mãn 2 22 2x y z xyz=1   . 
a) Chứng minh rằng: 3xy yz xz
4
   
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 2 2 2( )2 2 21 1 1
P x y z
x y z
    
  
. 
Lời giải. Tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho x cosA; y=cosB; z=cosC . 
a) Ta có 1 1 32 2(x y z) (cos A cos B cos C)
3 3 4
xy yz xz         (ðpcm). 
b) 1 1 1 2 2 2(sin sin sin ) 32 2 2
sin sin sin
P A B C
A B C
       
Ta có: 2
92 2
sin sin sin
4
A B C   và 2
1 1 1
42 2
sin sin sinA B C
   
Áp dụng BÐT cô si: 9 32sin2 216sin
A
A
  , cùng các BÐT týõng tự ta suy ra 
13
4
P  
Chuyên ðề gửi báo toán học tuổi trẻ 
 4 
Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1/2. Vậy 13min
4
P  . 
Dạng 4: Một số dạng giả thiết khác 
Thí dụ 8. Cho , b,c (0;1)a  . Chứng minh rằng: abc (1 a)(1 b)(1 c) 1     
Lời giải. Ðặt 2 2 2a sin x, b sin y,c sin z; x, y, z 0;
2

     
 
Vế trái của BÐT trở thành P sin x.sin y.sin z cos x.cos y.cos z  
Ta có P sin x.sin y cos x.cos y cos(x y) 1     , suy ra ðpcm. 
Thí dụ 9. Cho a,b,c,d dýõng thoả mãn 4 4 4 4
1 1 1 1
1
1 1 1 1a b c d
   
   
 Chứng minh rằng 3abcd . 
Lời giải. Ðặt 2 2 2 2tan ; tan ; tan ; tan   a x b y c z d z , trong ðó , , , 0;
2
  
 
x y z t

. 
Giả thiết ðã cho trở thành 2 2 2 2 1   cos x cos y cos z cos t 
Áp dụng BÐT Côsi cho các số thực dýõng ta ðýợc 
2 2 2 2 2 3
sin 1 3( )    2x cos x=cos y cos z cos t cosy.cosz.cost . Suy ra 2 2 3sin 3( )x cosy.cosz.cost . 
Nhân từng vế của các BÐT týõng tự ta ðýợc: 
2 4 2(s .sin ) 3 ( . )inx y.sinz.sint cosx cosy.cosz.cost 2 2 2 2 4tan .tan .tan .tan 3 3  x y z t hay lµ abcd . 
Cuối cùng xin ðýa ra một số bài tập cho các bạn luyện tập. 
Bài 1. Cho các số thực dýõng x,y,z thoả mãn x+y+z =xyz. 
 Chứng minh rằng ( 1)( 1)( 1) 6 3 10    x y z 
Bài 2: Cho các số thực dýõng x,y,z dýõng thỏa mãn 2 22 2x y z xyz=1   . Chứng minh 
a) 1xyz
8
 b) 32 2 2x y z
4
   
Bài 3: Cho a,b,c thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng 
2 2 2
a b c 3 1 a 1 b 1 c
2 2 2 4 a b c1 a 1 b 1 c
  
    
  
 
  
 
Bài 4. Cho các số dýõng a,b,c thoả mãn 2009ac+ab+bc=2009. Tìm giá trị lớn nhất của 
2
22 2 3
2 2 21 2009 1
b
P
a b c
  
  
.