Toán học - Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức cauchy

PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY
Bất đẳng thức CauChy:
Cho . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b
Cho . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c
Cho . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ:
Cho 2 số dương a, b . Chứng minh rằng:
 a) 	b) 
Chứng minh: với a, b, c không âm.
Chứng minh: 
Chứng minh: với x, y, z > 0
Chứng minh:	a) với a, b, c > 0
b) 
Bài tập:
Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 
Cho là các số thực dương thoả . Chứng minh: 
Cho x, y, z > 0. Chứng minh 
Chứng minh: 	
Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh: 
Cho Chứng minh rằng: 
Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 
Chứng minh với x, y, z > 0
Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương. Chứng minh 
Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh 
Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh 
Chứng minh với mọi số thực a, ta có: 
Cho và thỏa . Chứng minh rằng 
Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh 
Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Chứng minh 
Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có: 
Chứng minh với 
Cho a, b, c > 0. Chứng minh 
Cho x, y, z > 0 Chứng minh 
Chứng minh 
Chứng minh 
Cho n số không âm thoả . Chứng minh 
Chứng minh 
Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Chứng minh : 
Cho và . Chứng minh 
Chứng minh: 
Chứng minh 
Cho Chứng minh 
Cho 3 số thực x, y, z thỏa . Chứng minh 
Cho với . Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN
Tìm GTNN của các hàm số sau:
a) với x > 0	b) với x > 1
Cho . Tìm GTLN của 
Tìm GTLN của biểu thức:
 với 	
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của (ĐHNT-1999)
Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức:
 (ĐHNN – 2000)
Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết :

Cho là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng (ĐH 2005)
Cho là các số dương. Chứng minh rằng (ĐH 2006)
Giả sử là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức 
(ĐH 2002)
Cho là các số dương và . Chứng minh rằng: 
(ĐH 2003)
Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
(ĐH 2005)
Chứng minh rằng với mọi thì (ĐH 2005)
Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
(ĐH 2005)
Chứng minh rằng với mọi thì (ĐH 2005)
Cho thỏa mãn . Chứng minh (ĐH 2005)
Cho là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
(ĐH 2005)
Cho thỏa mãn . Chứng minh
(ĐH 2006)
Tìm GTNN của hàm số (ĐH 2006)
Cho là hai số dương thỏa mãn điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức 
(ĐH 2006)
Ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: (ĐH 2001)
Giả sử và là hai số dương và . Tìm GTNN của (ĐH 2001)
Cho hai số thực thỏa mãn . Tìm GTLN của biểu thức 
(ĐH 2006)
Chứng minh rằng nếu thì (ĐH 2006)